場合の数

◯よく使う性質

名称使うとき具体例
和の法則
\( \displaystyle m + n \)		同時に起こらない。
「または」「〜か、〜」		大小2つのサイコロを投げる時、目の和が4または5になる。
→和が4 (3通り) + 和が5 (4通り) = 7通り
積の法則
\( \displaystyle m \cdot n \)		連続して起こる。
「そして」「〜して、さらに〜」		A地点からB地点へ3通り、B地点からC地点へ2通りの道がある。AからBを経由してCと進む。
→ \( \displaystyle 3 \cdot 2 = 6 \)通り

◯順列と組合せ

名称（記号）使うとき具体例
順列 \( \displaystyle {}_n \mathrm{P}_r \)異なる\( \displaystyle n \)個から\( \displaystyle r \)個を選んで並べる場合の数（順番を気にする）
(例)役職(会長,副会長)決め、リレーの走順、整数の桁		5人から3人を選び一列に並べる
→ \( \displaystyle {}_5 \mathrm{P}_3 = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60 \)通り
組合せ \( \displaystyle {}_n \mathrm{C}_r \)異なる\( \displaystyle n \)個から\( \displaystyle r \)個を選ぶ場合の数（順番を気にしない）
(例)複数の代表決め、チームやグループ分け、同時に取り出す		5人から3人の代表を選ぶ
→ \( \displaystyle {}_5 \mathrm{C}_3 = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 10 \)通り

※一般的に表すと、

\( \displaystyle {}_n \mathrm{P}_r = n \cdot (n – 1) \cdot \dots \cdot (n – r + 1) \) 、\( \displaystyle {}_n \mathrm{C}_r = \frac{{}_n \mathrm{P}_r}{r!} \)
ただし，\( \displaystyle n! \)は階乗を表す記号で、 \( \displaystyle n! = n \cdot (n – 1) \cdot \dots \cdot 2 \cdot 1 \)

◯よく使う処理

条件考え方の手順計算例
隣り合う1.隣り合うものを1セットにする
2.全体を並べる(順列)
3.セット内の並び方(順列)を掛ける		(例)A,B,C,D,Eの5人が並ぶときA,Bが隣り合うのは何通り？
→(AB),C,D,Eの4つの並び：\( \displaystyle 4! \)通り、
ABの並び(AB,BA)：\( \displaystyle 2! \)通り
→ \( \displaystyle 4! \cdot 2! = 24 \cdot 2 = 48 \)通り
交互に並ぶ1.人数の多い(または同じ)グループを先に並べる
2.その間または両端にもう片方のグループを並べる		(例)男子3人,女子3人が交互に並ぶのは何通り？
→「男女…」で始まるパターンと、「女男…」で始まるパターンの2つを考える
「男女…」のパターンは、
男子3人の並び：\( \displaystyle 3! \)通り
間と両端の3か所から3か所に女子を並べる：\( \displaystyle 3! \)通り
→ \( \displaystyle 3! \cdot 3! = 6 \cdot 6 = 36 \)通り
「女男…」のパターンも同様で、合計: \( \displaystyle 36 + 36 = 72 \)通り
特定の位置が指定1.指定された位置を先に決める
2.残りのものを残りの位置に並べる		(例)5人のリレー走順は何通り？ただしアンカーはC。
→最後の走者はCで固定(1通り)
→残り4人の走順を決める：\( \displaystyle 4! = 24 \)通り
完全順列(プレゼント交換など、全てが元の位置と異なるように並ぶ並び方)数え上げで対応するのが現実的2つの場合：(2,1)の1通り。
3つの場合：(2,3,1),(3,1,2)の2通り。
4つの場合: (2,1,4,3),(2,3,4,1),(2,4,1,3),(3,1,4,2), (3,4,1,2), (3,4,2,1),(4,1,2,3),(4,3,1,2),(4,3,2,1)の9通り

(演習問題ー準備中)

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