方程式と不等式 | きょうさい対策ブログ

(1) 方程式の解法

◯一次方程式

形式：$ \displaystyle ax + b = c $
解法：移項と両辺の除算で解を求める。
例：$ \displaystyle 2x – 5 = 7 \to 2x = 12 \to x = 6 $

◯連立方程式

定義：2つ以上の文字を含む方程式の組。加減法や代入法を用いて解く。
加減法：両辺を足したり引いたりして文字を消去する。
代入法：一方の式を一つの文字について解き、他方の式に代入する。

◯二次方程式

形式：$ \displaystyle ax^{2} + bx + c = 0 (a \ne 0) $
解法1 因数分解：$ \displaystyle (x-p)(x-q)=0 $の形にして、$ \displaystyle x=p, x=q $と求める。
解法2 解の公式：$ \displaystyle x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} $

◯二次方程式 $ \displaystyle ax^{2} + bx + c = 0 (a≠0)$

判別式：$ \displaystyle D = b^{2} – 4ac $。二次方程式 $ \displaystyle ax^{2} + bx + c = 0 $ の解の個数を判別する。
$ \displaystyle D > 0 $ ⇔ 異なる2つの実数解
$ \displaystyle D = 0 $ ⇔ 重解
$ \displaystyle D < 0 $ ⇔ 実数解なし

(2)不等式の解法　

◯一次不等式

形式：$ \displaystyle ax + b > c $など
解法：移項と除算で解く。負の数で割ったり掛けたりすると不等号の向きが逆になる点に注意。
例：$ \displaystyle -2x + 4 > 10 \to -2x > 6 \to x < -3 $

◯連立一次不等式

目的：複数の一次不等式を同時に満たす範囲を求める。
ポイント：数直線に整理して、重なる領域を求める。

◯二次不等式

二次不等式: $ \displaystyle ax^{2} + bx + c > 0 $など。$ \displaystyle y = ax^{2} + bx + c $のグラフと$ x $軸の位置関係で考える。
(例) $ \displaystyle (x-1)(x-2) > 0 $の解は、$ x < 1 $ または $ 2 < x $
　　$ \displaystyle (x-1)(x-2) < 0 $の解は、$ 1 < x < 2 $

◯「常に成り立つ」二次不等式(以下$ \displaystyle a≠0$ とする)

「すべての実数$x$について $ \displaystyle ax^{2} + bx + c > 0 $ 」が成り立つ条件は、
$ \displaystyle a > 0 $ かつ $ \displaystyle D = b^{2} – 4ac < 0 $
（グラフ $ \displaystyle y = ax^{2} + bx + c $ が$x$軸より常に上にある状態）

(演習問題ー準備中)

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