◯式の展開と因数分解
| 種類 | 公式(左→右が展開、その逆が因数分解) |
| 分配法則 | \( \displaystyle a(b+c) = ab + ac \) |
| 乗法公式1 | \( \displaystyle (x+a)(x+b) = x^{2} + (a+b)x + ab \) |
| 乗法公式2 | \( \displaystyle (a+b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2} \) |
| 乗法公式3 | \( \displaystyle (a-b)^{2} = a^{2} – 2ab + b^{2} \) |
| 乗法公式4 | \( \displaystyle (a+b)(a-b) = a^{2} – b^{2} \) |
◯置き換えによる因数分解
(例) \( \displaystyle (x+2)^{2} – 5(x+2) – 6 \)
A=x+2とおくと\( \displaystyle A^{2} – 5A – 6 \)
\( \displaystyle (A-6)(A+1) \)と因数分解できる。
Aを戻して\( \displaystyle (x-4)(x+3) \)となる。
◯平方根の計算 (以下ではa>0,b>0とし、nは整数とする。)
◯対称式のよく使う変形
| 定義 | xとyを入れ替えても値が変わらない式（例：\( \displaystyle x+y, xy, x^{2}+y^{2} \)）。 |
| 変形公式1 | \( \displaystyle x^{2} + y^{2} = (x+y)^{2} – 2xy \) |
| 変形公式2 | \( \displaystyle (x-y)^{2} = (x+y)^{2} – 4xy \) |
◯剰余の定理
| 項目 | 内容 |
| 定理 | 多項式\( \displaystyle P(x) \)を一次式\( \displaystyle x-k \)で割ったときの余りは\( \displaystyle P(k) \)となる。 理由：商を\( \displaystyle B(x) \)とすると \( \displaystyle P(x) = B(x)(x-k) + (\text{余り}) \)と表される。\( \displaystyle x=k \)を代入すると、\( \displaystyle P(k) = (\text{余り}) \)となる。 |
| 具体例 |
\( \displaystyle P(x) = x^{2} + 3x + 5 \)を\( \displaystyle x-2 \)で割った余りは、 \( \displaystyle P(2) = 2^{2} + 3 \cdot 2 + 5 = 4 + 6 + 5 = 15 \) |
◯整数の性質の証明
| 整数の種類 | 文字式での表現 |
| 偶数 | \( \displaystyle 2n \) (\( n \)は整数) |
| 奇数 | \( \displaystyle 2n + 1 \) (\( n \)は整数) |
| 連続する3つの整数 | \( \displaystyle n, n+1, n+2 \) (\( n \)は整数) |
解説ー準備中
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