素数・約数・倍数

◯素数

定義1とその数自身以外に正の約数を持たない、1より大きい自然数。
具体例\( \displaystyle 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, \cdots \)

◯素因数分解

定義自然数を素数だけの積で表すこと。
具体例\( \displaystyle 360 \to 36 \cdot 10 \to (4 \cdot 9) \cdot (2 \cdot 5) \to (2^{2} \cdot 3^{2}) \cdot (2 \cdot 5) \to 2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 5 \)

◯約数の個数
自然数Nの素因数分解を利用して約数の個数が計算できる。

正の約数の個数を求める公式\( \displaystyle N = p^{a} \cdot q^{b} \cdot r^{c} \cdots \) の正の約数は \( \displaystyle (a+1)(b+1)(c+1) \cdots \)個
具体例：360の約数の個数\( \displaystyle 360 = 2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 5^{1} \to (3+1)(2+1)(1+1) = 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24 \)個

◯平方数にする計算

目的ある数に自然数を掛けて、ある自然数の2乗(平方数)にする。
手順素因数分解し、各素数の指数がすべて偶数になるように数を掛ければよい。
具体例：3150にできるだけ小さい自然数をかけて、平方数にしたい。何をかければよいか。\( \displaystyle 3150 = 2^{1} \cdot 3^{2} \cdot 5^{2} \cdot 7^{1} \)→指数が奇数の「2」と「7」を掛ければ平方数になる
→掛ける数は\( \displaystyle 2 \cdot 7 = 14 \)

◯最大公約数(GCD)と最小公倍数(LCM)

用語定義
最大公約数(GCD)複数の整数に共通する約数のうちで最も大きいもの。
最小公倍数(LCM)複数の整数に共通する倍数のうちで最も小さいもの。

◯既約分数

用語定義条件(定義の言い換え)
既約分数(整数)/(整数)の形の分数(ただし、分母は0でないとする)で、分子と分母が1以外の公約数を持たないもの。分子と分母の最大公約数が1であること。

(演習問題ー準備中)

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