高等学校 ー 数学(H30)

数と式について，数学的活動を通して，次の事項を身に付けることができるよう指導する。

1. ア　次のような知識及び技能を身に付けること。
   　(ア)数を実数まで拡張する意義を理解し，簡単な無理数の四則計算をすること。
   　(イ)集合と命題に関する基本的な概念を理解すること。
   　(ウ)二次の乗法公式及び因数分解の公式の理解を深めること。
   　(エ)不等式の解の意味や不等式の性質について理解し，一次不等式の解を求めること。
2. イ　次のような思考力，判断力，表現力等を身に付けること。
   　(ア)集合の考えを用いて論理的に考察し，簡単な命題を証明すること。
   　(イ)問題を解決する際に，既に学習した計算の方法と関連付けて，式を多面的に捉えたり目的に応じて適切に変形したりすること。
   　(ウ)不等式の性質を基に一次不等式を解く方法を考察すること。
   　(エ)日常の事象や社会の事象などを数学的に捉え，一次不等式を問題解決に活用すること。

図形と計量について，数学的活動を通して，その有用性を認識するとともに，次の事項を身に付けることができるよう指導する。

1. ア　次のような知識及び技能を身に付けること。
   　(ア)鋭角の三角比の意味と相互関係について理解すること。
   　(イ)三角比を鈍角まで拡張する意義を理解し，鋭角の三角比の値を用いて鈍角の三角比の値を求める方法を理解すること。
   　(ウ)正弦定理や余弦定理について三角形の決定条件や三平方の定理と関連付けて理解し，三角形の辺の長さや角の大きさなどを求めること。
2. イ　次のような思考力，判断力，表現力等を身に付けること。
   　(ア)図形の構成要素間の関係を三角比を用いて表現するとともに，定理や公式として導くこと。
   　(イ)図形の構成要素間の関係に着目し，日常の事象や社会の事象などを数学的に捉え，問題を解決したり，解決の過程を振り返って事象の数学的な特徴や他の事象との関係を考察したりすること。

［用語・記号］　正弦，sin，余弦，cos，正接，tan

二次関数について，数学的活動を通して，その有用性を認識するとともに，次の事項を身に付けることができるよう指導する。

1. ア　次のような知識及び技能を身に付けること。
   　(ア)二次関数の値の変化やグラフの特徴について理解すること。
   　(イ)二次関数の最大値や最小値を求めること。
   　(ウ)二次方程式の解と二次関数のグラフとの関係について理解すること。また，二次不等式の解と二次関数のグラフとの関係について理解し，二次関数のグラフを用いて二次不等式の解を求めること。
2. イ　次のような思考力，判断力，表現力等を身に付けること。
   　(ア)二次関数の式とグラフとの関係について，コンピュータなどの情報機器を用いてグラフをかくなどして多面的に考察すること。
   　(イ)二つの数量の関係に着目し，日常の事象や社会の事象などを数学的に捉え，問題を解決したり，解決の過程を振り返って事象の数学的な特徴や他の事象との関係を考察したりすること。

データの分析について，数学的活動を通して，その有用性を認識するとともに，次の事項を身に付けることができるよう指導する。

1. ア　次のような知識及び技能を身に付けること。
   　(ア)分散，標準偏差，散布図及び相関係数の意味やその用い方を理解すること。
   　(イ)コンピュータなどの情報機器を用いるなどして，データを表やグラフに整理したり，分散や標準偏差などの基本的な統計量を求めたりすること。
   　(ウ)具体的な事象において仮説検定の考え方を理解すること。
2. イ　次のような思考力，判断力，表現力等を身に付けること。
   　(ア)データの散らばり具合や傾向を数値化する方法を考察すること。
   　(イ)目的に応じて複数の種類のデータを収集し，適切な統計量やグラフ，手法などを選択して分析を行い，データの傾向を把握して事象の特徴を表現すること。
   　(ウ)不確実な事象の起こりやすさに着目し，主張の妥当性について，実験などを通して判断したり，批判的に考察したりすること。

［用語・記号］　外れ値

(1)から(4)までの内容又はそれらを相互に関連付けた内容を生活と関連付けたり発展させたりするなどした課題を設け，生徒の主体的な学習を促し，数学のよさを認識させ，学習意欲を含めた数学的に考える資質・能力を高めるようにする。

いろいろな式について，数学的活動を通して，次の事項を身に付けることができるよう指導する。

1. ア　次のような知識及び技能を身に付けること。
   　(ア)三次の乗法公式及び因数分解の公式を理解し，それらを用いて式の展開や因数分解をすること。
   　(イ)多項式の除法や分数式の四則計算の方法について理解し，簡単な場合について計算をすること。
   　(ウ)数を複素数まで拡張する意義を理解し，複素数の四則計算をすること。
   　(エ)二次方程式の解の種類の判別及び解と係数の関係について理解すること。
   　(オ)因数定理について理解し，簡単な高次方程式について因数定理などを用いてその解を求めること。
2. イ　次のような思考力，判断力，表現力等を身に付けること。
   　(ア)式の計算の方法を既に学習した数や式の計算と関連付け多面的に考察すること。
   　(イ)実数の性質や等式の性質，不等式の性質などを基に，等式や不等式が成り立つことを論理的に考察し，証明すること。
   　(ウ)日常の事象や社会の事象などを数学的に捉え，方程式を問題解決に活用すること。

［用語・記号］　二項定理，虚数，\( i \)

図形と方程式について，数学的活動を通して，その有用性を認識するとともに，次の事項を身に付けることができるよう指導する。

1. ア　次のような知識及び技能を身に付けること。
   　(ア)座標を用いて，平面上の線分を内分する点，外分する点の位置や二点間の距離を表すこと。
   　(イ)座標平面上の直線や円を方程式で表すこと。
   　(ウ)軌跡について理解し，簡単な場合について軌跡を求めること。
   　(エ)簡単な場合について，不等式の表す領域を求めたり領域を不等式で表したりすること。
2. イ　次のような思考力，判断力，表現力等を身に付けること。
   　(ア)座標平面上の図形について構成要素間の関係に着目し，それを方程式を用いて表現し，図形の性質や位置関係について考察すること。
   　(イ)数量と図形との関係などに着目し，日常の事象や社会の事象などを数学的に捉え，コンピュータなどの情報機器を用いて軌跡や不等式の表す領域を座標平面上に表すなどして，問題解決に活用したり，解決の過程を振り返って事象の数学的な特徴や他の事象との関係を考察したりすること。

指数関数及び対数関数について，数学的活動を通して，その有用性を認識するとともに，次の事項を身に付けることができるよう指導する。

1. ア　次のような知識及び技能を身に付けること。
   　(ア)指数を正の整数から有理数へ拡張する意義を理解し，指数法則を用いて数や式の計算をすること。
   　(イ)指数関数の値の変化やグラフの特徴について理解すること。
   　(ウ)対数の意味とその基本的な性質について理解し，簡単な対数の計算をすること。
   　(エ)対数関数の値の変化やグラフの特徴について理解すること。
2. イ　次のような思考力，判断力，表現力等を身に付けること。
   　(ア)指数と対数を相互に関連付けて考察すること。
   　(イ)指数関数及び対数関数の式とグラフの関係について，多面的に考察すること。
   　(ウ)二つの数量の関係に着目し，日常の事象や社会の事象などを数学的に捉え，問題を解決したり，解決の過程を振り返って事象の数学的な特徴や他の事象との関係を考察したりすること。

［用語・記号］　累乗根，\( \displaystyle \log_a{x}\)，常用対数

三角関数について，数学的活動を通して，その有用性を認識するとともに，次の事項を身に付けることができるよう指導する。

1. ア　次のような知識及び技能を身に付けること。
   　(ア)角の概念を一般角まで拡張する意義や弧度法による角度の表し方について理解すること。
   　(イ)三角関数の値の変化やグラフの特徴について理解すること。
   　(ウ)三角関数の相互関係などの基本的な性質を理解すること。
   　(エ)三角関数の加法定理や２倍角の公式，三角関数の合成について理解すること。
2. イ　次のような思考力，判断力，表現力等を身に付けること。
   　(ア)三角関数に関する様々な性質について考察するとともに，三角関数の加法定理から新たな性質を導くこと。
   　(イ)三角関数の式とグラフの関係について多面的に考察すること。
   　(ウ)二つの数量の関係に着目し，日常の事象や社会の事象などを数学的に捉え，問題を解決したり，解決の過程を振り返って事象の数学的な特徴や他の事象との関係を考察したりすること。

微分と積分の考えについて，数学的活動を通して，その有用性を認識するとともに，次の事項を身に付けることができるよう指導する。

1. ア　次のような知識及び技能を身に付けること。
   　(ア)微分係数や導関数の意味について理解し，関数の定数倍，和及び差の導関数を求めること。
   　(イ)導関数を用いて関数の値の増減や極大・極小を調べ，グラフの概形をかく方法を理解すること。
   　(ウ)不定積分及び定積分の意味について理解し，関数の定数倍，和及び差の不定積分や定積分の値を求めること。
2. イ　次のような思考力，判断力，表現力等を身に付けること。
   　(ア)関数とその導関数との関係について考察すること。
   　(イ)関数の局所的な変化に着目し，日常の事象や社会の事象などを数学的に捉え，問題を解決したり，解決の過程を振り返って事象の数学的な特徴や他の事象との関係を考察したりすること。
   　(ウ)微分と積分の関係に着目し，積分の考えを用いて直線や関数のグラフで囲まれた図形の面積を求める方法について考察すること。

［用語・記号］　極限値，lim

(1)から(5)までの内容又はそれらを相互に関連付けた内容を生活と関連付けたり発展させたりするなどした課題を設け，生徒の主体的な学習を促し，数学のよさを認識させ，学習意欲を含めた数学的に考える資質・能力を高めるようにする。

数列及び関数の値の極限について，数学的活動を通して，次の事項を身に付けることができるよう指導する。

1. ア　次のような知識及び技能を身に付けること。
   　(ア)数列の極限について理解し，数列\( \displaystyle \{ r^n\} \)の極限などを基に簡単な数列の極限を求めること。
   　(イ)無限級数の収束，発散について理解し，無限等比級数などの簡単な無限級数の和を求めること。
   　(ウ)簡単な分数関数と無理関数の値の変化やグラフの特徴について理解すること。
   　(エ)合成関数や逆関数の意味を理解し，簡単な場合についてそれらを求めること。
   　(オ)関数の値の極限について理解すること。
2. イ　次のような思考力，判断力，表現力等を身に付けること。
   　(ア)式を多面的に捉えたり目的に応じて適切に変形したりして，極限を求める方法を考察すること。
   　(イ)既に学習した関数の性質と関連付けて，簡単な分数関数と無理関数のグラフの特徴を多面的に考察すること。
   　(ウ)数列や関数の値の極限に着目し，事象を数学的に捉え，コンピュータなどの情報機器を用いて極限を調べるなどして，問題を解決したり，解決の過程を振り返って事象の数学的な特徴や他の事象との関係を考察したりすること。

［用語・記号］　∞

微分法について，数学的活動を通して，その有用性を認識するとともに，次の事項を身に付けることができるよう指導する。

1. ア　次のような知識及び技能を身に付けること。
   　(ア)微分可能性，関数の積及び商の導関数について理解し，関数の和，差，積及び商の導関数を求めること。
   　(イ)合成関数の導関数について理解し，それを求めること。
   　(ウ)三角関数，指数関数及び対数関数の導関数について理解し，それらを求めること。
   　(エ)導関数を用いて，いろいろな曲線の接線の方程式を求めたり，いろいろな関数の値の増減，極大・極小，グラフの凹凸などを調べグラフの概形をかいたりすること。
2. イ　次のような思考力，判断力，表現力等を身に付けること。
   　(ア)導関数の定義に基づき，三角関数，指数関数及び対数関数の導関数を考察すること。
   　(イ)関数の連続性と微分可能性，関数とその導関数や第二次導関数の関係について考察すること。
   　(ウ)関数の局所的な変化や大域的な変化に着目し，事象を数学的に捉え，問題を解決したり，解決の過程を振り返って事象の数学的な特徴や他の事象との関係を考察したりすること。

［用語・記号］　自然対数，\( \displaystyle e \)，変曲点

積分法について，数学的活動を通して，その有用性を認識するとともに，次の事項を身に付けることができるよう指導する。

1. ア　次のような知識及び技能を身に付けること。
   　(ア)不定積分及び定積分の基本的な性質についての理解を深め，それらを用いて不定積分や定積分を求めること。
   　(イ)置換積分法及び部分積分法について理解し，簡単な場合について，それらを用いて不定積分や定積分を求めること。
   　(ウ)定積分を利用して，いろいろな曲線で囲まれた図形の面積や立体の体積及び曲線の長さなどを求めること。
2. イ　次のような思考力，判断力，表現力等を身に付けること。
   　(ア)関数の式を多面的にみたり目的に応じて適切に変形したりして，いろいろな関数の不定積分や定積分を求める方法について考察すること。
   　(イ)極限や定積分の考えを基に，立体の体積や曲線の長さなどを求める方法について考察すること。
   　(ウ)微分と積分との関係に着目し，事象を数学的に捉え，問題を解決したり，解決の過程を振り返って事象の数学的な特徴や他の事象との関係を考察したりすること。

(1)から(3)までの内容又はそれらを相互に関連付けた内容を生活と関連付けたり発展させたりするなどした課題を設け，生徒の主体的な学習を促し，数学のよさを認識させ，学習意欲を含めた数学的に考える資質・能力を高めるようにする。

図形の性質について，数学的活動を通して，その有用性を認識するとともに，次の事項を身に付けることができるよう指導する。

1. ア　次のような知識及び技能を身に付けること。
   　(ア)三角形に関する基本的な性質について理解すること。
   　(イ)円に関する基本的な性質について理解すること。
   　(ウ)空間図形に関する基本的な性質について理解すること。
2. イ　次のような思考力，判断力，表現力等を身に付けること。
   　(ア)図形の構成要素間の関係や既に学習した図形の性質に着目し，図形の新たな性質を見いだし，その性質について論理的に考察したり説明したりすること。
   　(イ)コンピュータなどの情報機器を用いて図形を表すなどして，図形の性質や作図について統合的・発展的に考察すること。

場合の数と確率について，数学的活動を通して，その有用性を認識するとともに，次の事項を身に付けることができるよう指導する。

1. ア　次のような知識及び技能を身に付けること。
   　(ア)集合の要素の個数に関する基本的な関係や和の法則，積の法則などの数え上げの原則について理解すること。
   　(イ)具体的な事象を基に順列及び組合せの意味を理解し，順列の総数や組合せの総数を求めること。
   　(ウ)確率の意味や基本的な法則についての理解を深め，それらを用いて事象の確率や期待値を求めること。
   　(エ)独立な試行の意味を理解し，独立な試行の確率を求めること。
   　(オ)条件付き確率の意味を理解し，簡単な場合について条件付き確率を求めること。
2. イ　次のような思考力，判断力，表現力等を身に付けること。
   　(ア)事象の構造などに着目し，場合の数を求める方法を多面的に考察すること。
   　(イ)確率の性質や法則に着目し，確率を求める方法を多面的に考察すること。
   　(ウ)確率の性質などに基づいて事象の起こりやすさを判断したり，期待値を意思決定に活用したりすること。

［用語・記号］　\( \displaystyle {}_n \mathrm{P}_r \)，\( \displaystyle {}_n \mathrm{C}_r \)，階乗，n!，排反

数学と人間の活動について，数学的活動を通して，それらを数理的に考察することの有用性を認識するとともに，次の事項を身に付けることができるよう指導する。

1. ア　次のような知識及び技能を身に付けること。
   　(ア)数量や図形に関する概念などと人間の活動との関わりについて理解すること。
   　(イ)数学史的な話題，数理的なゲームやパズルなどを通して，数学と文化との関わりについての理解を深めること。
2. イ　次のような思考力，判断力，表現力等を身に付けること。
   　(ア)数量や図形に関する概念などを，関心に基づいて発展させ考察すること。
   　(イ)パズルなどに数学的な要素を見いだし，目的に応じて数学を活用して考察すること。

数列について，数学的活動を通して，その有用性を認識するとともに，次の事項を身に付けることができるよう指導する。

1. ア　次のような知識及び技能を身に付けること。
   　(ア)等差数列と等比数列について理解し，それらの一般項や和を求めること。
   　(イ)いろいろな数列の一般項や和を求める方法について理解すること。
   　(ウ)漸化式について理解し，事象の変化を漸化式で表したり，簡単な漸化式で表された数列の一般項を求めたりすること。
   　(エ)数学的帰納法について理解すること。
2. イ　次のような思考力，判断力，表現力等を身に付けること。
   　(ア)事象から離散的な変化を見いだし，それらの変化の規則性を数学的に表現し考察すること。
   　(イ)事象の再帰的な関係に着目し，日常の事象や社会の事象などを数学的に捉え，数列の考えを問題解決に活用すること。
   　(ウ)自然数の性質などを見いだし，それらを数学的帰納法を用いて証明するとともに，他の証明方法と比較し多面的に考察すること。

［用語・記号］　∑

統計的な推測について，数学的活動を通して，その有用性を認識するとともに，次の事項を身に付けることができるよう指導する。

1. ア　次のような知識及び技能を身に付けること。
   　(ア)標本調査の考え方について理解を深めること。
   　(イ)確率変数と確率分布について理解すること。
   　(ウ)二項分布と正規分布の性質や特徴について理解すること。
   　(エ)正規分布を用いた区間推定及び仮説検定の方法を理解すること。
2. イ　次のような思考力，判断力，表現力等を身に付けること。
   　(ア)確率分布や標本分布の特徴を，確率変数の平均，分散，標準偏差などを用いて考察すること。
   　(イ)目的に応じて標本調査を設計し，収集したデータを基にコンピュータなどの情報機器を用いて処理するなどして，母集団の特徴や傾向を推測し判断するとともに，標本調査の方法や結果を批判的に考察すること。

［用語・記号］　信頼区間，有意水準

数学と社会生活について，数学的活動を通して，それらを数理的に考察することの有用性を認識するとともに，次の事項を身に付けることができるよう指導する。

1. ア　次のような知識及び技能を身に付けること。
   　(ア)社会生活などにおける問題を，数学を活用して解決する意義について理解すること。
   　(イ)日常の事象や社会の事象などを数学化し，数理的に問題を解決する方法を知ること。
2. イ　次のような思考力，判断力，表現力等を身に付けること。
   　(ア)日常の事象や社会の事象において，数・量・形やそれらの関係に着目し，理想化したり単純化したりして，問題を数学的に表現すること。
   　(イ)数学化した問題の特徴を見いだし，解決すること。
   　(ウ)問題解決の過程や結果の妥当性について批判的に考察すること。
   　(エ)解決過程を振り返り，そこで用いた方法を一般化して，他の事象に活用すること。

ベクトルについて，数学的活動を通して，その有用性を認識するとともに，次の事項を身に付けることができるよう指導する。

1. ア　次のような知識及び技能を身に付けること。
   　(ア)平面上のベクトルの意味，相等，和，差，実数倍，位置ベクトル，ベクトルの成分表示について理解すること。
   　(イ)ベクトルの内積及びその基本的な性質について理解すること。
   　(ウ)座標及びベクトルの考えが平面から空間に拡張できることを理解すること。
2. イ　次のような思考力，判断力，表現力等を身に付けること。
   　(ア)実数などの演算の法則と関連付けて，ベクトルの演算法則を考察すること。
   　(イ)ベクトルやその内積の基本的な性質などを用いて，平面図形や空間図形の性質を見いだしたり，多面的に考察したりすること。
   　(ウ)数量や図形及びそれらの関係に着目し，日常の事象や社会の事象などを数学的に捉え，ベクトルやその内積の考えを問題解決に活用すること。

平面上の曲線と複素数平面について，数学的活動を通して，その有用性を認識するとともに，次の事項を身に付けることができるよう指導する。

1. ア　次のような知識及び技能を身に付けること。
   　(ア)放物線，楕（だ）円，双曲線が二次式で表されること及びそれらの二次曲線の基本的な性質について理解すること。
   　(イ)曲線の媒介変数表示について理解すること。
   　(ウ)極座標の意味及び曲線が極方程式で表されることについて理解すること。
   　(エ)複素数平面と複素数の極形式，複素数の実数倍，和，差，積及び商の図形的な意味を理解すること。
   　(オ)ド・モアブルの定理について理解すること。
2. イ　次のような思考力，判断力，表現力等を身に付けること。
   　(ア)放物線，楕（だ）円，双曲線を相互に関連付けて捉え，考察すること。
   　(イ)複素数平面における図形の移動などと関連付けて，複素数の演算や累乗根などの意味を考察すること。
   　(ウ)日常の事象や社会の事象などを数学的に捉え，コンピュータなどの情報機器を用いて曲線を表すなどして，媒介変数や極座標及び複素数平面の考えを問題解決に活用したり，解決の過程を振り返って事象の数学的な特徴や他の事象との関係を考察したりすること。

［用語・記号］　焦点，準線

数学的な表現の工夫について，数学的活動を通して，その有用性を認識するとともに，次の事項を身に付けることができるよう指導する。

1. ア　次のような知識及び技能を身に付けること。
   　(ア)日常の事象や社会の事象などを，図，表，統計グラフなどを用いて工夫して表現することの意義を理解すること。
   　(イ)日常の事象や社会の事象などを，離散グラフや行列を用いて工夫して表現することの意義を理解すること。
2. イ　次のような思考力，判断力，表現力等を身に付けること。
   　(ア)図，表，統計グラフ，離散グラフ及び行列などを用いて，日常の事象や社会の事象などを数学的に表現し，考察すること。