ベクトルの性質

○ベクトルの定義

・向き付きの線分(矢印)を有向線分という.
・位置を考えず，向きと大きさが等しい有向線分を同じとみなしたものをベクトルという．
・点\( \displaystyle \mathrm{A} \)を始点，点\( \displaystyle \mathrm{B} \)を終点とする有向線分で表されるベクトルを\( \displaystyle \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AB}} \)で表す.

(例)以下平行四辺形について，

○ベクトルの計算

(ベクトルの和・差)

\( \displaystyle \vec{a}=\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AB}}, \ \vec{b}=\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{BC}} \)とする．
(1) \( \displaystyle \vec{a}+\vec{b} \)を\( \displaystyle \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AC}} \)で定める．
(2) \( \displaystyle \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AA}} \)を零ベクトルといい，\( \displaystyle \vec{0} \)で表す．
(3) \( \displaystyle \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{BA}} \)を\( \displaystyle \vec{a} \)の逆ベクトルといい，\( \displaystyle -\vec{a} \)で表す．
(4) \( \displaystyle \vec{a}-\vec{b} \)を\( \displaystyle \vec{a}+(-\vec{b}) \)で定める．

※(補足) ベクトルの始点変更としてよく使う変形
…\( \displaystyle \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AB}}=\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OB}}-\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OA}} \) (終点―始点)

(ベクトルの実数倍)
ベクトル\( \displaystyle \vec{a} \)と実数\( \displaystyle k \)に対し，\( \displaystyle k\vec{a} \)を次のように定める．

(ベクトルの計算法則)
\( \displaystyle \vec{a}, \ \vec{b}, \ \vec{c} \)をベクトル，\( \displaystyle k, \ l \)を実数とする.

※「矢印という意味として定義したベクトル」は上の性質を満たす．なお，線形代数学では，和と実数倍が定義された集合で，上の性質を満たすものをベクトル空間，その要素をベクトルという．

(例) \( \displaystyle 2(2\vec{a}-\vec{b}+\vec{x})=\vec{a}+\vec{b} \)を満たすベクトル\( \displaystyle \vec{x} \)を\( \displaystyle \vec{a}, \ \vec{b} \)で表す．

○位置ベクトル・分点の位置ベクトル

\( \displaystyle \mathrm{O} \)を基準となる点とし，\( \displaystyle \vec{a}=\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OA}} \)，\( \displaystyle \vec{b}=\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OB}} \)とする.
(1) \( \displaystyle \vec{a} \)を点\( \displaystyle \mathrm{O} \)に関する点 \( \displaystyle \mathrm{A} \)の位置ベクトルといい，\( \displaystyle \mathrm{A}(\vec{a}) \)で表す.
(2) 線分\( \displaystyle \mathrm{AB} \)について，
\( \displaystyle \ \ \ \ \ m:n \)に内分する点の位置ベクトルは \( \displaystyle \frac{n\vec{a}+m\vec{b}}{m+n} \)，
\( \displaystyle \ \ \ \ \ m:n \)に外分する点の位置ベクトルは \( \displaystyle \frac{-n\vec{a}+m\vec{b}}{m-n} \) である.

(2)説明例(クリックして下さい)

((2)の説明)

\( \displaystyle \mathrm{AB} \)を\( \displaystyle m:n \)に内分する点\( \displaystyle \mathrm{P} \)の位置ベクトル\( \displaystyle \vec{p} \)は
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \vec{p}=\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OP}}=\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OA}}+\frac{m}{m+n}\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AB}}=\vec{a}+\frac{m}{m+n}(\vec{b}-\vec{a}) \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \therefore \vec{p}=\frac{n}{m+n}\vec{a}+\frac{m}{m+n}\vec{b} \)
\( \displaystyle \mathrm{AB} \)を\( \displaystyle m:n \)に外分する点\( \displaystyle \mathrm{Q} \)の位置ベクトル\( \displaystyle \vec{q} \)は(\( \displaystyle n \gt m \)のとき)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \vec{q}=\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OQ}}=\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OA}}+\frac{m}{n-m}\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{BA}}=\vec{a}+\frac{m}{n-m}(\vec{a}-\vec{b}) \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \therefore \vec{q}=\frac{-n}{m-n}\vec{a}+\frac{m}{m-n}\vec{b} \)
(\( \displaystyle n \lt m \)のときも，\( \displaystyle \vec{q}=\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OA}}+\frac{m}{m-n}\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AB}}=\vec{a}+\frac{m}{m-n}(\vec{b}-\vec{a}) \)から同じ式を得る．)■

※(補足)形式的には，「\( \displaystyle m:n \)に外分」は，「\( \displaystyle m:(-n) \)に内分」と考えられる．

(例1) \( \displaystyle \triangle \mathrm{ABC} \)において，辺\( \displaystyle \mathrm{AB} \)を\( \displaystyle 2:3 \)に内分する点を\( \displaystyle \mathrm{P} \)，辺\( \displaystyle \mathrm{AC} \)を\( \displaystyle 4:3 \)に内分する点を\( \displaystyle \mathrm{Q} \)，辺\( \displaystyle \mathrm{BC} \)を\( \displaystyle 2:1 \)に外分する点を\( \displaystyle \mathrm{R} \)とする．
(1) \( \displaystyle \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AP}} \), \( \displaystyle \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AQ}} \), \( \displaystyle \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AR}} \)を\( \displaystyle \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AB}} \)と\( \displaystyle \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AC}} \)で表せ．
(2) 3点\( \displaystyle \mathrm{P}, \mathrm{Q}, \mathrm{R} \)は一直線上にあることを証明せよ．

説明例(クリックして下さい)

条件により，
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AP}}=\frac{2}{5}\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AB}}, \ \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AQ}}=\frac{4}{7}\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AC}}, \ \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AR}}=\frac{-1 \cdot \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AB}}+2\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AC}}}{2-1}=-\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AB}}+2\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AC}} \)
(2) \( \displaystyle \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{PQ}}=\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AQ}}-\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AP}}=-\frac{2}{5}\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AB}}+\frac{4}{7}\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AC}} \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{PR}}=\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AR}}-\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AP}}=-\frac{2}{5}\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AB}}+\left(-\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AB}}+2\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AC}}\right) \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =-\frac{7}{5}\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AB}}+2\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AC}} \)
よって，\( \displaystyle \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{PR}}=\frac{7}{2}\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{PQ}} \)であるから，\( \displaystyle \mathrm{P, \ Q, \ R} \)は一直線上にある．■

(補足)(2)はメネラウスの定理の逆からも示せる．

(例2，重要)重心の位置ベクトル

\( \displaystyle \triangle \mathrm{ABC} \)の重心を\( \displaystyle \mathrm{G} \)とする.
(1)点\( \displaystyle \mathrm{G} \)は中線を\( \displaystyle 2:1 \)に内分する.
(2)点\( \displaystyle \mathrm{A, \ B, \ C} \)の位置ベクトルを \( \displaystyle \vec{a}, \ \vec{b}, \ \vec{c} \)とすると，
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \mathrm{G} \)の位置ベクトルは \( \displaystyle \frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3} \) である．(特に，\( \displaystyle \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AG}}=\frac{1}{3}\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AB}}+\frac{1}{3}\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AC}} \) )

説明例(クリックして下さい)

\( \displaystyle \mathrm{AB} \)の中点を\( \displaystyle \mathrm{N} \)，\( \displaystyle \mathrm{BC} \)の中点を\( \displaystyle \mathrm{M} \)とすると，\( \displaystyle \triangle \mathrm{GAC} \sim \triangle \mathrm{GMN} \)で相似比は\( \displaystyle 2:1 \)(\( \displaystyle \because \)中点連結定理)であるから，\( \displaystyle \mathrm{AG}:\mathrm{GM}=2:1 \)である．

\( \displaystyle \mathrm{BC} \)の中点の位置ベクトルを\( \displaystyle \vec{m} \)とすると，\( \displaystyle \vec{m}=\frac{\vec{b}+\vec{c}}{2} \)，\( \displaystyle \mathrm{G} \)の位置ベクトル\( \displaystyle \vec{g} \)は，
\( \displaystyle \vec{g}=\frac{1 \cdot \vec{a}+2 \cdot \vec{m}}{3}=\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3} \)
とくに，\( \displaystyle \mathrm{A} \)を基準にすれば，
\( \displaystyle \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AG}}=\frac{\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AA}}+\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AB}}+\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AC}}}{3}=\frac{1}{3}\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AB}}+\frac{1}{3}\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AC}} \) ■

(例3) 四面体\( \displaystyle \mathrm{OABC} \)において，平面\( \displaystyle \mathrm{OBC} \)の重心を\( \displaystyle \mathrm{G} \)，平面\( \displaystyle \mathrm{ABC} \)の重心を\( \displaystyle \mathrm{G’} \)とする．
\( \displaystyle \vec{a}=\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OA}}, \ \vec{b}=\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OB}}, \ \vec{c}=\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OC}} \)とするとき，次の問いに答えよ．
(1) \( \displaystyle \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OG}}, \ \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OG’}} \)を\( \displaystyle \vec{a}, \ \vec{b}, \ \vec{c} \)を用いて表せ．
(2) 直線\( \displaystyle \mathrm{GG’} \)は辺\( \displaystyle \mathrm{OA} \)と平行で，\( \displaystyle \mathrm{OA}:\mathrm{GG’}=3:1 \)であることを示せ．

説明例(クリックして下さい)

(1) 条件により，
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OG}}=\frac{1}{3}\vec{b}+\frac{1}{3}\vec{c}, \ \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OG’}}=\frac{1}{3}\vec{a}+\frac{1}{3}\vec{b}+\frac{1}{3}\vec{c} \)
(2) \( \displaystyle \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{GG’}}=\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OG’}}-\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OG}}=\frac{1}{3}\vec{a} \)
により，\( \displaystyle \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OA}}=3\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{GG’}} \)であるから，
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \mathrm{GG’} /\!/ \mathrm{OA}, \ \mathrm{OA}:\mathrm{GG’}=3:1 \) ■

○直線上の点の位置ベクトル

\( \displaystyle \vec{a}=\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OA}}, \ \vec{b}=\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OB}}, \ s, \ t \)を実数とする.
(1) 三角形\( \displaystyle \mathrm{OAB} \)が成立するとき，\( \displaystyle \vec{a}, \ \vec{b} \)は1次独立であるという．
(2) \( \displaystyle \vec{a}, \ \vec{b} \)が1次独立のとき，平面\( \displaystyle \mathrm{OAB} \)上の任意のベクトルは，\( \displaystyle s\vec{a}+t\vec{b} \)の形にただ1通りで表される．
(3) 直線\( \displaystyle \mathrm{AB} \)上の点の位置ベクトルは，\( \displaystyle (1-t)\vec{a}+t\vec{b} \)の形で表される．

(例) \( \displaystyle \triangle \mathrm{ABC} \)において，辺\( \displaystyle \mathrm{AB} \)を\( \displaystyle 2:1 \)に内分する点を\( \displaystyle \mathrm{M} \)，辺\( \displaystyle \mathrm{AC} \)を\( \displaystyle 3:2 \)に内分する点を\( \displaystyle \mathrm{N} \)，線分\( \displaystyle \mathrm{BN} \)と\( \displaystyle \mathrm{CM} \)の交点を\( \displaystyle \mathrm{P} \)とする．このとき，\( \displaystyle \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AP}} \)を\( \displaystyle \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AB}}=\vec{b} \)，\( \displaystyle \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AC}}=\vec{c} \)を用いて表す．

説明例(クリックして下さい)

点\( \displaystyle \mathrm{P} \)は，「直線\( \displaystyle \mathrm{BN} \)上にある」かつ「直線\( \displaystyle \mathrm{CM} \)上にある」という条件から定まる．

\( \displaystyle \mathrm{BP}:\mathrm{PN}=s:(1-s) \)とおくと，
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AP}}=(1-s)\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AB}}+s\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AN}} \ \cdots \text{①} \)
また，\( \displaystyle \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AB}}=\frac{3}{2}\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AM}} \)，\( \displaystyle \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AN}}=\frac{3}{5}\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AC}} \)であるから，①をかきかえると，
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AP}}=(1-s)\frac{3}{2}\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AM}}+s\frac{3}{5}\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AC}} \ \cdots \text{②} \)
点\( \displaystyle \mathrm{P} \)は直線\( \displaystyle \mathrm{CM} \)上にあるから，②の係数の和は1となる．
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \frac{3}{2}(1-s)+\frac{3}{5}s=1 \ \ \ \therefore s=\frac{5}{9} \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \therefore \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AP}}=\left(1-\frac{5}{9}\right)\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AB}}+\frac{5}{9} \cdot \left(\frac{3}{5}\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AC}}\right)=\frac{4}{9}\vec{b}+\frac{1}{3}\vec{c} \) (答)

※上の計算では，点\( \displaystyle \mathrm{P} \)について，
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AP}}=\cdots \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AB}}+\cdots \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AN}} \)
の形からはじめ，ベクトルの実数倍を利用して
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AP}}=\cdots \square \left(\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AM}}\right)+\cdots \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AC}} \)
という形に変形し，この係数の和が1であることで，特に新しく文字を設定せずに処理した．
※別の変数\( \displaystyle t \)を使って\( \displaystyle \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AP}} \)を表し，係数比較する手法もよく使われる．この問題でいうと，
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \mathrm{CP}:\mathrm{PM}=t:(1-t) \)とおくと，\( \displaystyle \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AP}}=(1-t)\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AC}}+t\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AM}}=(1-t)\vec{c}+\frac{2}{3}t\vec{b} \)
これと，①を係数比較すると\( \displaystyle s, \ t \)が求まる．なお，係数比較できるためには，\( \displaystyle \vec{b}, \ \vec{c} \)は1次独立でなければならない．
※この問題は，メネラウスの定理から，
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \frac{1}{2} \cdot \frac{\mathrm{PN}}{\mathrm{BP}} \cdot \frac{5}{2}=1 \ \ \ \therefore \frac{\mathrm{PN}}{\mathrm{BP}}=\frac{4}{5} \)
で，\( \displaystyle \mathrm{BP}:\mathrm{PN}=5:4 \)と求めることもできる．

○空間上の点の位置ベクトル

\( \displaystyle \vec{a}=\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OA}}, \ \vec{b}=\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OB}}, \ \vec{c}=\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OC}}, \ s, \ t, \ u \) を実数とする．
(1) 四面体\( \displaystyle \mathrm{OABC} \)が成立するとき，\( \displaystyle \vec{a}, \ \vec{b}, \ \vec{c} \)は1次独立であるという.
(2) \( \displaystyle \vec{a}, \ \vec{b}, \ \vec{c} \)が1次独立のとき，空間上の任意のベクトルは，\( \displaystyle s\vec{a}+t\vec{b}+u\vec{c} \)の形にただ1通りで表される．
(3) 平面\( \displaystyle \mathrm{ABC} \)上の点の位置ベクトルは，\( \displaystyle (1-s-t)\vec{a}+s\vec{b}+t\vec{c} \)の形で表される．

(例) 四面体\( \displaystyle \mathrm{OABC} \)において，\( \displaystyle \triangle \mathrm{OBC} \)の重心を\( \displaystyle \mathrm{G} \)，辺\( \displaystyle \mathrm{AB} \)を\( \displaystyle 2:1 \)に内分する点を\( \displaystyle \mathrm{D} \)，線分\( \displaystyle \mathrm{OD} \)の中点を\( \displaystyle \mathrm{E} \)，点\( \displaystyle \mathrm{E} \)を通り直線\( \displaystyle \mathrm{OC} \)に平行な直線と平面\( \displaystyle \mathrm{ABC} \)の交点を\( \displaystyle \mathrm{P} \)，直線\( \displaystyle \mathrm{AG} \)と平面\( \displaystyle \mathrm{EBP} \)の交点を\( \displaystyle \mathrm{Q} \)とする．\( \displaystyle \vec{a}=\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OA}} \)，\( \displaystyle \vec{b}=\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OB}} \)，\( \displaystyle \vec{c}=\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OC}} \)とするとき，次のベクトルを\( \displaystyle \vec{a}, \ \vec{b}, \ \vec{c} \)で表せ．
(1) \( \displaystyle \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OG}} \) (2) \( \displaystyle \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OE}} \) (3) \( \displaystyle \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OP}} \) (4) \( \displaystyle \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OQ}} \)

説明例(クリックして下さい)

(1) 点\( \displaystyle \mathrm{G} \)は\( \displaystyle \triangle \mathrm{OBC} \)の重心であるから， \( \displaystyle \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OG}}=\frac{1}{3}\vec{b}+\frac{1}{3}\vec{c} \) (答)
(2) 点\( \displaystyle \mathrm{E} \)は線分\( \displaystyle \mathrm{OD} \)の中点，点\( \displaystyle \mathrm{D} \)は辺\( \displaystyle \mathrm{AB} \)を\( \displaystyle 2:1 \)に内分する点であるから，
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OE}}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}\vec{a}+\frac{2}{3}\vec{b}\right)=\frac{1}{6}\vec{a}+\frac{1}{3}\vec{b} \) (答)
(3) 点\( \displaystyle \mathrm{P} \)は，「\( \displaystyle \mathrm{EP} \)と平行な直線上にある」かつ「平面\( \displaystyle \mathrm{ABC} \)上にある」という条件から定まる．
まず，点\( \displaystyle \mathrm{P} \)は点\( \displaystyle \mathrm{E} \)を通り，直線\( \displaystyle \mathrm{OC} \)に平行な直線上にあるから，実数\( \displaystyle k \)を用いて
\( \displaystyle \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OP}}=\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OE}}+k\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OC}}=\frac{1}{6}\vec{a}+\frac{1}{3}\vec{b}+k\vec{c} \ \cdots \text{⓪} \)
と表される．
また，点\( \displaystyle \mathrm{P} \)は平面\( \displaystyle \mathrm{ABC} \)上にあるから，
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \frac{1}{6}+\frac{1}{3}+k=1 \ \ \ \therefore k=\frac{1}{2} \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \therefore \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OP}}=\frac{1}{6}\vec{a}+\frac{1}{3}\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{c} \) (答)
(4) 点\( \displaystyle \mathrm{Q} \)は，「直線\( \displaystyle \mathrm{AG} \)上にある」かつ「平面\( \displaystyle \mathrm{EBP} \)上にある」という条件から定まる．
点\( \displaystyle \mathrm{Q} \)は，直線\( \displaystyle \mathrm{AG} \)上にあるから，実数\( \displaystyle k \)を用いて，次のように表される．
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OQ}}=(1-k)\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OA}}+k\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OG}} \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =(1-k)\vec{a}+\frac{1}{3}k\vec{b}+\frac{1}{3}k\vec{c} \ \cdots \text{①} \)
また，点\( \displaystyle \mathrm{Q} \)は平面\( \displaystyle \mathrm{EBP} \)上にあるから，実数\( \displaystyle s, \ t \)を用いて，次のように表される．
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OQ}}=s\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OE}}+(1-s-t)\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OB}}+t\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OP}} \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =s\left(\frac{1}{6}\vec{a}+\frac{1}{3}\vec{b}\right)+(1-s-t)\vec{b}+t\left(\frac{1}{6}\vec{a}+\frac{1}{3}\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{c}\right) \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\left(\frac{s}{6}+\frac{t}{6}\right)\vec{a}+\left(1-\frac{2}{3}s-\frac{2}{3}t\right)\vec{b}+\frac{t}{2}\vec{c} \ \cdots \text{②} \)
\( \displaystyle \vec{a}, \ \vec{b}, \ \vec{c} \)は一次独立であるから，①，②により，
\( \displaystyle \ \ \ \ \ 1-k=\frac{s}{6}+\frac{t}{6}, \ \ \frac{1}{3}k=1-\frac{2}{3}s-\frac{2}{3}t, \ \ \frac{1}{3}k=\frac{t}{2} \)
これを解いて\( \displaystyle s=t=\frac{6}{11}, \ k=\frac{9}{11} \)であるから，①により，
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OQ}}=\frac{2}{11}\vec{a}+\frac{3}{11}\vec{b}+\frac{3}{11}\vec{c} \) (答)

※(効率的な処理順序)「直線と平面の交点」という条件の処理は，「直線上にある(パラメータ1個)」を先に使ってから，「平面上にある(パラメータ2個)」の処理をするとよい．(パラメータが少ないものでまず立式するほうが簡単になりやすい)
※(係数設定の工夫) \( \displaystyle 1-s \)や\( \displaystyle 1-s-t \)の形は，形が簡単なベクトルに割り振るとよい．上の(4)の計算では，\( \displaystyle \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OE}}, \ \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OB}}, \ \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OP}} \)の中では\( \displaystyle \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OB}}=\vec{b} \)が最も簡単のため，
\( \displaystyle \ \ \ \ \ s\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OE}}+(1-s-t)\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OB}}+t\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OP}} \)
と設定した．
※((3)と(4)の方針の違いについて) (3)の⓪では，\( \displaystyle \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OP}} \)が平面\( \displaystyle \mathrm{ABC} \)の終点の3ベクトル\( \displaystyle \vec{a}, \ \vec{b}, \ \vec{c} \)の和でかけているので，係数の和が1という条件でパラメータが決定できた．一方(4)の①では，\( \displaystyle \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OQ}} \)が平面\( \displaystyle \mathrm{EBP} \)の終点の3ベクトル\( \displaystyle \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OE}}, \ \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OB}}, \ \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OP}} \)の和でかけているわけではなく，それらの和に書き換えるのも面倒なので，新しく文字\( \displaystyle s, \ t \)を設定して係数比較に持ち込んでいる．