ベクトルの計量

○ベクトルの大きさ・内積

・ベクトル\( \displaystyle \vec{a} \)の大きさを\( \displaystyle |\vec{a}| \)で表す．
・大きさが1であるベクトルを単位ベクトルという．
・ベクトル\( \displaystyle \vec{a}, \ \vec{b} \)の内積\( \displaystyle \vec{a} \cdot \vec{b} \)を次のように定める．
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \vec{a}=\vec{0} \)または \( \displaystyle \vec{b}=\vec{0} \)のとき，\( \displaystyle \vec{a} \cdot \vec{b}=0 \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \vec{a} \neq \vec{0}, \ \vec{b} \neq \vec{0} \)のとき，\( \displaystyle \vec{a} \cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta \) (\( \displaystyle \theta: \vec{a} \)と\( \displaystyle \vec{b} \)のなす角で，\( \displaystyle 0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ \))

○正射影と内積

2つのベクトル \( \displaystyle \vec{a} \ (\neq \vec{0}) \), \( \displaystyle \vec{b} \)の始点を\( \displaystyle \mathrm{O} \)とし，ベクトル \( \displaystyle \vec{b} \) の終点から， \( \displaystyle \vec{a} \)を含む直線へ下ろした垂線の足を\( \displaystyle \mathrm{H} \)とする．
このとき，ベクトル\( \displaystyle \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OH}} \) を「\( \displaystyle \vec{b} \) の\( \displaystyle \vec{a} \)上への正射影ベクトル」という．
\( \displaystyle \vec{a} \)と\( \displaystyle \vec{b} \)のなす角を\( \displaystyle \theta \)とすると，\( \displaystyle \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OH}} \)は内積を用いて次のように表すことができる．
・正射影ベクトルの大きさ（影の長さ）：
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \left|\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OH}}\right|=|\vec{b}||\cos\theta|=\frac{|\vec{a}\cdot\vec{b}|}{|\vec{a}|} \)
・正射影ベクトル：
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OH}}=(|\vec{b}|\cos\theta)\cdot\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|^2}\vec{a} \)
（※「符号付きの影の長さ」に「\( \displaystyle \vec{a} \)方向の単位ベクトル」を掛けたもの）

○内積の性質

\( \displaystyle \vec{a}, \ \vec{b}, \ \vec{c} \)をベクトル，\( \displaystyle k \)を実数とする．
(1) \( \displaystyle \begin{cases} \vec{a} \cdot (\vec{b}+\vec{c})=\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{a} \cdot \vec{c} \\ (\vec{a}+\vec{b}) \cdot \vec{c}=\vec{a} \cdot \vec{c}+\vec{b} \cdot \vec{c} \end{cases} \) [分配法則]
(2) \( \displaystyle \vec{a} \cdot \vec{b}=\vec{b} \cdot \vec{a} \) [交換法則]
(3) \( \displaystyle (k\vec{a}) \cdot \vec{b}=\vec{a} \cdot (k\vec{b})=k(\vec{a} \cdot \vec{b}) \)
(4) \( \displaystyle \vec{a} \cdot \vec{a}=|\vec{a}|^2 \)

説明例など(クリックして下さい)

((1)の説明：各ベクトルの影がすべて\( \displaystyle \vec{a} \)と同じ向きにある場合)
\( \displaystyle \vec{a}, \ \vec{b}, \ \vec{c} \)の始点を\( \displaystyle \mathrm{O} \)とし，\( \displaystyle \vec{b}, \ \vec{b}+\vec{c} \)の終点から\( \displaystyle \vec{a} \)を含む直線に下ろした垂線の足をそれぞれ\( \displaystyle \mathrm{D}, \ \mathrm{E} \)とする．

\( \displaystyle \ \ \ \ \ \vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{a} \cdot \vec{c}=|\vec{a}| \times \mathrm{OD}+|\vec{a}| \times \mathrm{DE} \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =|\vec{a}| \times (\mathrm{OD}+\mathrm{DE}) \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =|\vec{a}| \times \mathrm{OE}=\vec{a} \cdot (\vec{b}+\vec{c}) \)

※(1)-(4)いずれも，成分表示(平面座標のセクションで導入)を使えば機械的に示せる．
※(2),(4)は定義からすぐわかる(\( \displaystyle \vec{a}, \ \vec{b} \)のいずれかが\( \displaystyle \vec{0} \)の場合は内積\( \displaystyle =0 \)と定義していることに注意．)．(3)も\( \displaystyle k \lt 0 \)の場合に\( \displaystyle \cos(180^\circ-\theta)=-\cos\theta \)となることに注意して確認できる．
※上の規則により，多項式の展開と類似した計算ができる．

(例) \( \displaystyle \vec{a}, \ \vec{b} \)が条件 \( \displaystyle |\vec{a}|=4, \ |\vec{b}|=1, \ \vec{a} \cdot \vec{b}=3 \)を満たすとき，\( \displaystyle |\vec{a}-2\vec{b}| \)の値を求める．

○三角形の面積

\( \displaystyle \triangle \mathrm{OAB} \)の面積は，
      \( \displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{|\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OA}}|^2|\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OB}}|^2-(\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OA}} \cdot \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OB}})^2} \)

以下の例は，空間図形で扱ったものと同じ問題である．
(例) 1辺の長さが\( \displaystyle 6 \)の正四面体\( \displaystyle \mathrm{ABCD} \)において，辺\( \displaystyle \mathrm{AB} \)の中点を\( \displaystyle \mathrm{E} \)とし，辺\( \displaystyle \mathrm{AD} \)上の点\( \displaystyle \mathrm{F} \)を\( \displaystyle \mathrm{AF}:\mathrm{FD}=1:2 \)を満たす点とする．
\( \displaystyle \triangle \mathrm{CEF} \)の面積\( \displaystyle S \)を，ベクトルを利用して求める．

説明例(クリックして下さい)

\( \displaystyle \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AB}}=\vec{b} \)，\( \displaystyle \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AC}}=\vec{c} \)，\( \displaystyle \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AD}}=\vec{d} \)とおく．\( \displaystyle \mathrm{ABCD} \)が1辺\( \displaystyle 6 \)の正四面体であるから，\( \displaystyle |\vec{b}|=|\vec{c}|=|\vec{d}|=6 \)，\( \displaystyle \vec{b} \cdot \vec{c}=\vec{c} \cdot \vec{d}=\vec{d} \cdot \vec{b} \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ =6 \cdot 6 \cdot \cos 60^\circ=18 \)である．

\( \displaystyle \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{CE}}=\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AE}}-\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AC}}=\frac{1}{2}\vec{b}-\vec{c} \)，\( \displaystyle \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{CF}}=\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AF}}-\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AC}}=\frac{1}{3}\vec{d}-\vec{c} \)，
であり，
\( \displaystyle \ \ \ \ \ |\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{CE}}|^2=\frac{1}{4} \cdot 36-2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 18+36=27 \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ |\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{CF}}|^2=\frac{1}{9} \cdot 36-2 \cdot \frac{1}{3} \cdot 18+36=28 \)
よって，求める面積\( \displaystyle S \)は，
\( \displaystyle \ \ \ \ \ S=\frac{1}{2}\sqrt{|\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{CE}}|^2|\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{CF}}|^2-\left(\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{CE}} \cdot \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{CF}}\right)^2} \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{1}{2}\sqrt{27 \cdot 28-24^2}=\frac{1}{2}\sqrt{9 \cdot 4(3 \cdot 7-2^4)} \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =3\sqrt{5} \)  (答)

○直線上・円周上の点の位置ベクトル

動点を\( \displaystyle \mathrm{P} \)とし，\( \displaystyle \mathrm{O}, \ \mathrm{A} \)は定点，\( \displaystyle \vec{n} \)は定まったベクトル，\( \displaystyle r \)は正の実数とする．よく使われるベクトル表現は次の通り．

※動点\( \displaystyle \mathrm{P} \)を一箇所に集めるように変形するとよい．
※直線は，方向ベクトル\( \displaystyle \vec{d} \)を用いて，\( \displaystyle \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OP}}=\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OA}}+t\vec{d} \) (\( \displaystyle t \)は実数)のように表すこともできる(内積を使わない表現)．

(例，滋賀県)
平面上に\( \displaystyle \angle \mathrm{A}=90^\circ \)の直角三角形\( \displaystyle \mathrm{ABC} \)がある．この平面上の点\( \displaystyle \mathrm{P} \)が条件
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{PA}} \cdot \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{PB}}+\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{PB}} \cdot \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{PC}}+\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{PC}} \cdot \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{PA}}=0 \)
を満たしているとき，点\( \displaystyle \mathrm{P} \)の軌跡を求めよ．

(例，大阪府改題)
点\( \displaystyle \mathrm{P} \)が\( \displaystyle \triangle \mathrm{OAB} \)を含む平面上にあり，\( \displaystyle \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AP}} \cdot \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{BP}}=0 \)が成り立つとき，点\( \displaystyle \mathrm{P} \)の軌跡が円になることを，「\( \displaystyle |\overset{\xrightarrow{\quad}}{\square \mathrm{P}}|=r \)」の形を作って示す．

○ベクトルの解法

[STEP1] \( \displaystyle s\vec{a}+t\vec{b} \), \( \displaystyle s\vec{a}+t\vec{b}+u\vec{c} \)の形で表す.
[STEP2] 大きさと内積を用いて図形量の処理をする.

(例1) \( \displaystyle \triangle \mathrm{ABC} \)において，\( \displaystyle \mathrm{AB}=8, \mathrm{BC}=7, \mathrm{CA}=5 \)とする．\( \displaystyle \triangle \mathrm{ABC} \)の重心，内心，外心，垂心をそれぞれ\( \displaystyle \mathrm{G}, \mathrm{I}, \mathrm{O}, \mathrm{H} \)とするとき，次のベクトルをそれぞれ\( \displaystyle \vec{b}=\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AB}}, \vec{c}=\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AC}} \)で表す．
(1) \( \displaystyle \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AG}} \) (2) \( \displaystyle \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AI}} \) (3) \( \displaystyle \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AO}} \) (4) \( \displaystyle \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AH}} \)

説明例(クリックして下さい)

(1)点\( \displaystyle \mathrm{G} \)は\( \displaystyle \triangle \mathrm{ABC} \)の重心であるから，
\( \displaystyle \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AG}}=\frac{1}{3}\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AB}}+\frac{1}{3}\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AC}} \) (答)
(2)

直線\( \displaystyle \mathrm{AI} \)と辺\( \displaystyle \mathrm{BC} \)の交点を\( \displaystyle \mathrm{D} \)とすると，
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \mathrm{BD}:\mathrm{DC}=\mathrm{AB}:\mathrm{AC}=8:5 \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \therefore \mathrm{BD}=\frac{8}{13}\mathrm{BC}=\frac{8}{13} \cdot 7=\frac{56}{13} \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \mathrm{AI}:\mathrm{ID}=\mathrm{BA}:\mathrm{BD}=8:\frac{56}{13}=13:7 \)
であるから，
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AI}}=\frac{13}{20}\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AD}}=\frac{13}{20}\left(\frac{5}{13}\vec{b}+\frac{8}{13}\vec{c}\right)=\frac{1}{4}\vec{b}+\frac{2}{5}\vec{c} \) (答)
(3) 点\( \displaystyle \mathrm{O} \)は平面\( \displaystyle \mathrm{ABC} \)上の点であるから，実数\( \displaystyle s, \ t \)を用いて，\( \displaystyle \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AO}}=s\vec{b}+t\vec{c} \)と表される．

辺\( \displaystyle \mathrm{AB}, \ \mathrm{AC} \)の中点をそれぞれ\( \displaystyle \mathrm{M}, \ \mathrm{N} \)とすると，
\( \displaystyle \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{MO}}=\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AO}}-\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AM}}=\left(s-\frac{1}{2}\right)\vec{b}+t\vec{c} \)
\( \displaystyle \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{NO}}=\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AO}}-\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AN}}=s\vec{b}+\left(t-\frac{1}{2}\right)\vec{c} \)
\( \displaystyle \mathrm{MO} \perp \mathrm{AB}, \ \mathrm{NO} \perp \mathrm{AC} \)であるから，
\( \displaystyle \begin{cases} \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{MO}} \cdot \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AB}}=\left\{\left(s-\frac{1}{2}\right)\vec{b}+t\vec{c}\right\} \cdot \vec{b}=0 \\ \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{NO}} \cdot \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AC}}=\left\{s\vec{b}+\left(t-\frac{1}{2}\right)\vec{c}\right\} \cdot \vec{c}=0 \end{cases} \ \cdots \text{①} \)
\( \displaystyle \mathrm{AB}=|\vec{b}|=8, \ \mathrm{AC}=|\vec{c}|=5, \ \mathrm{BC}=|\vec{c}-\vec{b}|=7 \)により，
\( \displaystyle \ \ \ \ \ |\vec{c}-\vec{b}|^2=|\vec{c}|^2-2\vec{b} \cdot \vec{c}+|\vec{b}|^2=49 \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \therefore \vec{b} \cdot \vec{c}=\frac{5^2+8^2-49}{2}=20 \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \text{①} \Leftrightarrow \begin{cases} \left(s-\frac{1}{2}\right) \cdot 64+t \cdot 20=0 \\ s \cdot 20+\left(t-\frac{1}{2}\right) \cdot 25=0 \end{cases} \Leftrightarrow s=\frac{11}{24}, \ t=\frac{2}{15} \)
であるから，
\( \displaystyle \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AO}}=\frac{11}{24}\vec{b}+\frac{2}{15}\vec{c} \) (答)
(4) 点\( \displaystyle \mathrm{H} \)は平面\( \displaystyle \mathrm{ABC} \)上の点であるから，実数\( \displaystyle s, \ t \)を用いて，\( \displaystyle \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AH}}=s\vec{b}+t\vec{c} \)と表される．

\( \displaystyle \ \ \ \ \ \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{BH}}=\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AH}}-\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AB}}=(s-1)\vec{b}+t\vec{c} \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{CH}}=\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AH}}-\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AC}}=s\vec{b}+(t-1)\vec{c} \)
\( \displaystyle \mathrm{BH} \perp \mathrm{AC}, \ \mathrm{CH} \perp \mathrm{AB} \)であるから，
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \begin{cases} \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{BH}} \cdot \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AC}}=\{(s-1)\vec{b}+t\vec{c}\} \cdot \vec{c}=0 \\ \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{CH}} \cdot \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AB}}=\{s\vec{b}+(t-1)\vec{c}\} \cdot \vec{b}=0 \end{cases} \ \cdots \text{②} \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \text{②} \Leftrightarrow \begin{cases} (s-1) \cdot 20+t \cdot 25=0 \\ s \cdot 64+(t-1) \cdot 20=0 \end{cases} \Leftrightarrow s=\frac{1}{12}, \ t=\frac{11}{15} \)
であるから，
\( \displaystyle \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AH}}=\frac{1}{12}\vec{b}+\frac{11}{15}\vec{c} \) (答)

※重心と内心は内積(計量)を使ってない．外心と垂心は\( \displaystyle 90^\circ \)を使うので内積が必要．
※(補足)(4)については，内積を利用すると，
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \mathrm{AP}=\mathrm{AB} \cdot \cos \angle \mathrm{BAC}=\frac{\vec{b} \cdot \vec{c}}{|\vec{c}|} \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{20}{5}=4 \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \mathrm{AQ}=\mathrm{AC} \cdot \cos \angle \mathrm{BAC}=\frac{\vec{b} \cdot \vec{c}}{|\vec{b}|} \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{20}{8}=\frac{5}{2} \)
と，メネラウスの定理から内分比がわかる．

上例題を一般的にまとめたもの(クリックして下さい)

(上の例題を一般的にまとめたもの)
三角形の3頂点\( \displaystyle \mathrm{A}, \ \mathrm{B}, \ \mathrm{C} \)の位置ベクトルをそれぞれ\( \displaystyle \vec{a}, \ \vec{b}, \ \vec{c} \)とする．
また，頂点\( \displaystyle \mathrm{A}, \ \mathrm{B}, \ \mathrm{C} \)の向かい合う辺の長さをそれぞれ\( \displaystyle a, \ b, \ c \)とし，内角の大きさをそれぞれ\( \displaystyle A, \ B, \ C \)とする．

※垂心のtanを用いた式は，直角三角形の場合は(tanが定義できないため)除く．

以下は空間図形のところでも扱ったものと同じ問題．内接球の半径は同様なのでカット．

(例2) 1辺の長さが\( \displaystyle a \)の正四面体\( \displaystyle \mathrm{ABCD} \)について，次のものを，ベクトルを利用して求める．
  (1)体積\( \displaystyle V \)  (2)外接球の半径\( \displaystyle R \)

説明例(クリックして下さい)

(1) \( \displaystyle \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AB}}=\vec{b} \)，\( \displaystyle \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AC}}=\vec{c} \)，\( \displaystyle \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AD}}=\vec{d} \)とおくと，
  \( \displaystyle |\vec{b}|=|\vec{c}|=|\vec{d}|=a \)，
  \( \displaystyle \vec{b} \cdot \vec{c}=\vec{c} \cdot \vec{d}=\vec{d} \cdot \vec{b}=a \cdot a \cdot \cos 60^{\circ}=\frac{a^2}{2} \)

点\( \displaystyle \mathrm{A} \)から平面\( \displaystyle \mathrm{BCD} \)に垂線を下し，その交点を\( \displaystyle \mathrm{H} \)とする．\( \displaystyle \mathrm{H} \)は三角形\( \displaystyle \mathrm{BCD} \)の外心(\( \displaystyle \mathrm{AH} \)を共通の辺，\( \displaystyle \mathrm{AB} \)，\( \displaystyle \mathrm{AC} \)，\( \displaystyle \mathrm{AD} \)を斜辺とする３つの直角三角形が合同であることから分かる)であり，正三角形の性質から，重心でもある．よって，\( \displaystyle \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AH}}=\frac{\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}}{3} \).
 \( \displaystyle |\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}|^2=|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2+|\vec{d}|^2+2\vec{b} \cdot \vec{c}+2\vec{c} \cdot \vec{d}+2\vec{d} \cdot \vec{b} \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =6a^2 \)
    \( \displaystyle |\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AH}}|=\frac{1}{3} \cdot \sqrt{6a^2}=\frac{\sqrt{6}}{3}a \)
\( \displaystyle \mathrm{\mathrel{\therefore} V}=\frac{1}{3} \cdot \left( \frac{1}{2}a^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \cdot \frac{\sqrt{6}}{3}a=\frac{\sqrt{2}}{12}a^3 \)  (答)
(2)外接球の中心を\( \displaystyle \mathrm{O} \)とする．

\( \displaystyle \mathrm{OB}=\mathrm{OC}=\mathrm{OD} \)であるから，\( \displaystyle \mathrm{O} \)から平面\( \displaystyle \mathrm{BCD} \)への垂線を下ろすと，その交点は三角形\( \displaystyle \mathrm{BCD} \)の外心\( \displaystyle \mathrm{H} \)に一致する．よって，３点\( \displaystyle \mathrm{A} \)，\( \displaystyle \mathrm{O} \)，\( \displaystyle \mathrm{H} \)は同じ直線上にあるから，ある実数\( \displaystyle k \)があって，
  \( \displaystyle \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AO}}=k(\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}) \)
と表される．
辺\( \displaystyle \mathrm{AB} \)の中点を\( \displaystyle \mathrm{M} \)とすると，
  \( \displaystyle \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{MO}}=\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AO}}-\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AM}}=k(\vec{b}+\vec{c}+\vec{d})-\frac{1}{2}\vec{b} \)
  \( \displaystyle \mathrm{MO} \perp \mathrm{AB} \)であるから，
  \( \displaystyle \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{MO}} \cdot \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AB}}=\left\{ k(\vec{b}+\vec{c}+\vec{d})-\frac{1}{2}\vec{b} \right\} \cdot \vec{b}=0 \) …①
  ①\( \displaystyle \iff \left( a^2+\frac{a^2}{2}+\frac{a^2}{2} \right)k-\frac{1}{2}a^2=0 \iff k=\frac{1}{4} \)
よって，
  \( \displaystyle R=|\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AO}}|=k|\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}|=\frac{1}{4}\sqrt{6a^2}=\frac{\sqrt{6}}{4}a \)  (答)