[三角関数のよく使う変形]
元の形 有力な方法 \( \displaystyle \sin A = B \)
\( \displaystyle \sin A < B \)
など 単項型単位円で，三角関数の定義にしたがって考察する \( \displaystyle \sin A = \sin B \)
\( \displaystyle \cos A = \cos B \)
\( \displaystyle \tan A = \tan B \)
の形以下の変形を利用する
\( \displaystyle \sin A = \sin B \Leftrightarrow A = B + 2n\pi \) or \( \displaystyle A = (\pi – B) + 2n\pi \)(\( \displaystyle n \)は整数)と表される
\( \displaystyle \cos A = \cos B \Leftrightarrow A = B + 2n\pi \) or \( \displaystyle A = -B + 2n\pi \) (\( \displaystyle n \)は整数)と表される
\( \displaystyle \tan A = \tan B \Leftrightarrow A = B + n\pi \) (\( \displaystyle n \)は整数)と表される\( \displaystyle a\sin\theta + b\cos\theta \)
(同角1次型)合成公式を使って単項型へ
(背景)合成公式で \( \displaystyle a\sin\theta + b\cos\theta = r\sin(\theta+\alpha) \)などと変形できる．\( \displaystyle a\sin^2\theta + b\sin\theta\cos\theta \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ + c\cos^2\theta \)
(同角2次型)半角公式を使って同角1次型へ
(背景) \( \displaystyle \sin^2\theta = \frac{1-\cos 2\theta}{2} \), \( \displaystyle \sin\theta\cos\theta = \frac{\sin 2\theta}{2} \), \( \displaystyle \cos^2\theta = \frac{1+\cos 2\theta}{2} \)\( \displaystyle \sin\theta \)と\( \displaystyle \cos\theta \) の対称式 「\( \displaystyle \sin\theta + \cos\theta \)」のみで表す
(背景)\( \displaystyle \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 \) \( \displaystyle \left( \Leftrightarrow \sin\theta\cos\theta = \frac{(\sin\theta+\cos\theta)^2-1}{2} \right) \)から， 対称式は\( \displaystyle \sin\theta + \cos\theta \)のみで表すことができる．
(例1，秋田県改題)
\( \displaystyle A \)は\( \displaystyle 0 \leqq A < 2\pi \)を満たす定数とする．
関数\( \displaystyle f(x) = 2\sin x + \cos(x + A) \ \ (0 \leqq x < 2\pi) \)の最大値が\( \displaystyle \sqrt{3} \) であるとき，定数\( \displaystyle A \)の値を求めよ．
\( \displaystyle f(x) = 2\sin x + \cos x \cdot \cos A – \sin x \cdot \sin A \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ = (2 – \sin A)\sin x + \cos A \cdot \cos x \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ = \sqrt{(2 – \sin A)^2 + \cos^2 A}\sin(x + \alpha) \)
ただし，\( \displaystyle \alpha \) は
\( \displaystyle \cos\alpha = \frac{2 – \sin A}{\sqrt{(2 – \sin A)^2 + \cos^2 A}}, \sin\alpha = \frac{\cos A}{\sqrt{(2 – \sin A)^2 + \cos^2 A}} \)
を満たす定数である．
\( \displaystyle 0 \leqq x < 2\pi \) により，\( \displaystyle x + \alpha \) は 1 周期分を動くため，\( \displaystyle \sin(x + \alpha) \) の最大値は 1 である．
よって，
\( \displaystyle f(x) \) の最大値が\( \displaystyle \sqrt{3} \)
\( \displaystyle \Leftrightarrow \sqrt{(2 – \sin A)^2 + \cos^2 A} = \sqrt{3} \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \Leftrightarrow 4 – 4\sin A + \sin^2 A + \cos^2 A = 3 \) (\( \displaystyle \because \sqrt{(2 – \sin A)^2 + \cos^2 A} \geqq 0, \sqrt{3} \geqq 0 \))
\( \displaystyle \ \ \ \ \Leftrightarrow \sin A = \frac{1}{2} \) (\( \displaystyle \because \sin^2 A + \cos^2 A = 1 \))
\( \displaystyle \ \ \ \ \Leftrightarrow A = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6} \) (\( \displaystyle \because 0 \leqq A < 2\pi \))
よって，求める\( \displaystyle A \)の値は\( \displaystyle A = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6} \)(答)
※この例の
(上から2行目)「\( \displaystyle (2 – \sin A)\sin x + \cos A \cdot \cos x \)」は「\( \displaystyle a\sin\theta + b\cos\theta \)(同角1次型)」の形であるから，より簡単な形にするために(\( \displaystyle \sin \)で)合成を行った．
(下から3行目)「\( \displaystyle \sin A = \frac{1}{2} \)」は「\( \displaystyle \sin A = B \)(単項型)」の形であるから，三角関数の定義(単位円)に従って解いた．
(例2，新潟県)
方程式\( \displaystyle 5\sqrt{3}\cos^2 x + 6\sin x\cos x – \sqrt{3}\sin^2 x + \sqrt{3} = 0 \)を解け．ただし，\( \displaystyle 0 < x < \pi \)とする．
(例3，滋賀県)
\( \displaystyle 0 \leqq \theta < 2\pi \) のとき，不等式\( \displaystyle \sin\theta + \cos\theta + \sin\theta\cos\theta + a \leqq -4 \) が常に成り立つときの定数 \( \displaystyle a \) の値の範囲を求めよ．
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