三角関数の諸知識

◯円周率・弧度法

(1) 半径 \( \displaystyle 1 \) の半円の弧の長さを円周率といい， \( \displaystyle \pi \) で表す．
(2) 半径 \( \displaystyle 1 \) の扇形の弧の長さが \( \displaystyle \theta \) であるとき，中心角の大きさを \( \displaystyle \theta \) ラジアンと定める．このように角の大きさを表す方法を弧度法という.

(3) 半径 \( \displaystyle r \) の円の面積は \( \displaystyle \pi r^2 \)，周の長さは \( \displaystyle 2\pi r \) である.
(4) 半径 \( \displaystyle r \)，中心角 \( \displaystyle \theta \) の扇形の面積は \( \displaystyle \frac{1}{2}r^2 \theta \)，弧の長さは \( \displaystyle r\theta \) である.
(5)平面上で定点を中心として回転する半直線を動径といい，その最初の位置を表す半直線を始線という．
(6)反時計回りの回転の向きを正の向き，時計回りの回転の向きを負の向きとして，負の角や \( \displaystyle 360^\circ \) 以上の角も考えた角を一般角という．

◯三角関数の定義

\( \displaystyle xy \) 平面上で，\( \displaystyle x \) 軸の正の部分を始線とする一般角角 \( \displaystyle \theta \) の動径と，
原点 \( \displaystyle \text{O} \) を中心とする半径 \( \displaystyle 1 \) の円(単位円)の交点を \( \displaystyle \text{P} \) とする.
・点 \( \displaystyle \text{P} \) の \( \displaystyle y \) 座標を \( \displaystyle \theta \) の正弦といい，\( \displaystyle \sin \theta \) で表す.
・点 \( \displaystyle \text{P} \) の \( \displaystyle x \) 座標を \( \displaystyle \theta \) の余弦といい，\( \displaystyle \cos \theta \) で表す.
・直線 \( \displaystyle \text{OP} \) の傾きを \( \displaystyle \theta \) の正接といい，\( \displaystyle \tan \theta \) で表す.

◯三角関数の相互関係など

(1) \( \displaystyle \tan \theta=\frac{\sin \theta}{\cos \theta} \) (2) \( \displaystyle \sin^2 \theta+\cos^2 \theta=1 \)
(3) \( \displaystyle 1+\tan^2 \theta=\frac{1}{\cos^2 \theta} \) (4) \( \displaystyle 1+\frac{1}{\tan^2 \theta}=\frac{1}{\sin^2 \theta} \)

(関連)余角・補角・負角公式など
\( \displaystyle 0 < \theta < 90^\circ \) を満たす角 \( \displaystyle \theta \) に対し，\( \displaystyle 90^\circ-\theta \) を \( \displaystyle \theta \) の余角という．また，\( \displaystyle 0 < \theta < 180^\circ \) を満たす角 \( \displaystyle \theta \) に対し，\( \displaystyle 180^\circ-\theta \) を \( \displaystyle \theta \) の補角という．以下は一般の \( \displaystyle \theta \) で成立．

\( \displaystyle 180^\circ + \theta \)や\( \displaystyle 90^\circ + \theta \)についても以下のような公式がある．

※上の公式群は点の対称性から導出されることを確認するのが大切で，結果を覚えておくことにあまり意味はない．結果だけなら，後述の加法定理を認めることですべて機械的に導ける．

◯三角関数のグラフ

\( \displaystyle y=\sin x, y=\cos x, y=\tan x \) のグラフ

(関連)周期関数
・「すべての \( \displaystyle x \) で \( \displaystyle f(x+c)=f(x) \)」を満たす \( \displaystyle 0 \) でない実数 \( \displaystyle c \) が存在するとき，\( \displaystyle f(x) \) は \( \displaystyle c \) を周期とする周期関数であるという．
・\( \displaystyle \sin x, \cos x \) の最小周期は \( \displaystyle 2\pi \) ，\( \displaystyle \tan x \) の最小周期は \( \displaystyle \pi \) である．
・関数 \( \displaystyle f(x) \) の最小周期が \( \displaystyle p \) であるとき、\( \displaystyle g(x)=f(kx) \ (k \neq 0) \) の最小周期は \( \displaystyle T=\frac{p}{|k|} \) である。
(\( \displaystyle k > 1 \) のときはグラフが \( \displaystyle y \) 軸に向かって縮む，\( \displaystyle 0 < k < 1 \) のときは伸びるイメージから直感的にわかる)

◯加法定理

\( \displaystyle \begin{cases} \sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha \cos\beta+\cos\alpha \sin\beta \\ \cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha \cos\beta-\sin\alpha \sin\beta \\ \tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha \tan\beta} \end{cases} \)

sin.cosの加法定理 説明例(クリックして下さい)

[\( \displaystyle \sin(\alpha+\beta), \cos(\alpha+\beta) \)の加法定理について]

\( \displaystyle \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OP}} = \begin{pmatrix} \cos(\alpha+\beta) \\ \sin(\alpha+\beta) \end{pmatrix} \)…①について，\( \displaystyle \sin\alpha, \cos\alpha, \sin\beta, \cos\beta \)を使って表したいことを踏まえ，
「原点を中心に，\( \displaystyle x \)軸・\( \displaystyle y \)軸をそれぞれ角 \( \displaystyle \alpha \) だけ回転させた新しい座標系\( \displaystyle (X,Y) \)」を設定し，\( \displaystyle \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OP}} \)は，その新しい座標系において，「\( \displaystyle X \)軸方向の単位ベクトルを，原点を中心に\( \displaystyle \beta \)回転してできたもの」と捉える．
・新\( \displaystyle X \)軸方向の単位ベクトル \( \displaystyle \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OA}} = \begin{pmatrix} \cos\alpha \\ \sin\alpha \end{pmatrix} \)
・新\( \displaystyle Y \)軸方向の単位ベクトル \( \displaystyle \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OB}} = \begin{pmatrix} \cos(\alpha+90^\circ) \\ \sin(\alpha+90^\circ) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\sin\alpha \\ \cos\alpha \end{pmatrix} \)
である．また，新しい\( \displaystyle XY \)座標系における点\( \displaystyle \mathrm{P} \)の座標は，
\( \displaystyle (X,Y) = (\cos\beta, \sin\beta) \)
であるから，
\( \displaystyle \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OP}} = (\cos\beta)\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OA}} + (\sin\beta)\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OB}} \)
となる．これを成分表示すれば，
\( \displaystyle \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OP}} = (\cos\beta)\begin{pmatrix} \cos\alpha \\ \sin\alpha \end{pmatrix} + (\sin\beta)\begin{pmatrix} -\sin\alpha \\ \cos\alpha \end{pmatrix} \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \ = \begin{pmatrix} \cos\alpha\cos\beta – \sin\alpha\sin\beta \\ \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta \end{pmatrix} \)
①と成分比較して加法定理を得る．■

○極形式と複素数の積・商

(1)0でない複素数\( \displaystyle z \)は，
\( \displaystyle z = r(\cos\theta + i\sin\theta) \)
と表される．これを\( \displaystyle z \)の極形式という．また，\( \displaystyle \theta \)を \( \displaystyle z \) の偏角といい，\( \displaystyle \arg z \) で表す.
(2) \( \displaystyle (\cos\alpha + i\sin\alpha)(\cos\beta + i\sin\beta) = \cos(\alpha+\beta) + i\sin(\alpha+\beta) \)
(3) \( \displaystyle \frac{\cos\alpha + i\sin\alpha}{\cos\beta + i\sin\beta} = \cos(\alpha-\beta) + i\sin(\alpha-\beta) \)
(4) (ド・モアブルの定理) 整数\( \displaystyle n \)に対し，\( \displaystyle (\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta \)
※上公式(2)(3)は，加法定理から導くことができる．また(4)は，(2)(3)から導くことができる．

(例，神奈川県)
\( \displaystyle z = \frac{1+\sqrt{3}i}{\sqrt{2}+\sqrt{2}i} \) とする．\( \displaystyle z^n \) が正の実数となる最小の自然数\( \displaystyle n \)を求める．

○2倍角・半角・3倍角の公式

(1) \( \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} \sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta \\ \cos 2\theta = \cos^2\theta – \sin^2\theta \\ \ \ \ \ \ \ \ \ = 2\cos^2\theta – 1 \\ \ \ \ \ \ \ \ \ = 1 – 2\sin^2\theta \\ \tan 2\theta = \frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta} \end{array} \right. \)
(2) \( \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} \sin^2\frac{\theta}{2} = \frac{1-\cos\theta}{2} \\ \cos^2\frac{\theta}{2} = \frac{1+\cos\theta}{2} \end{array} \right. \)
(3) \( \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} \sin 3\theta = 3\cos^2\theta\sin\theta – \sin^3\theta \\ \ \ \ \ \ \ \ = 3\sin\theta – 4\sin^3\theta \\ \cos 3\theta = \cos^3\theta – 3\cos\theta\sin^2\theta \\ \ \ \ \ \ \ \ = 4\cos^3\theta – 3\cos\theta \end{array} \right. \)
※(1)(3)は，加法定理や，ド・モアブルの定理から導くことができる．(2)は(1)を変形したもの．

○積和公式と和積公式

[積→和]
(1) \( \displaystyle \sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}\left\{\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)\right\} \)
(2) \( \displaystyle \cos\alpha\sin\beta = \frac{1}{2}\left\{\sin(\alpha+\beta) – \sin(\alpha-\beta)\right\} \)
(3) \( \displaystyle \cos\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}\left\{\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta)\right\} \)
(4) \( \displaystyle \sin\alpha\sin\beta = -\frac{1}{2}\left\{\cos(\alpha+\beta) – \cos(\alpha-\beta)\right\} \)
[和→積]
(1) \( \displaystyle \sin A + \sin B = 2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2} \)
(2) \( \displaystyle \sin A – \sin B = 2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2} \)
(3) \( \displaystyle \cos A + \cos B = 2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2} \)
(4) \( \displaystyle \cos A – \cos B = -2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2} \)
※積和公式は，積分計算など，積の形よりも和の形の方が都合がよい場面で使用する．和積公式は，方程式を解く場面など，和の形よりも積の形の方が都合がよい場面で使用する．
※「積和公式」や「和積公式」は，いずれも，加法定理から導くことができる．

○合成公式

\( \displaystyle a\sin\theta + b\cos\theta \)は，「\( \displaystyle \sin \)だけ」または「\( \displaystyle \cos \)だけ」の形に変形でき，この変形を合成という．
実際，加法定理の形ができるように変形すると，