確率分布

↓タブを切り替えられます↓

○離散型確率変数

(1)\( \displaystyle X \)のとりうる値が\( \displaystyle x_{k}(k=1,2,3,\cdots ) \)と表されるとき，\( \displaystyle X \)は離散型確率変数という．\( \displaystyle P(X=x_{k})=p_{k} \)とおくとき，以下の性質がある．
\( \displaystyle \ \ \ \ \ p_{k}\geqq 0 \ (k=1,2,3,\cdots ) \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \sum_{k} p_{k}=1 \) (すべての\( \displaystyle k \)についての和が\( \displaystyle 1 \))
(2) 離散型確率変数\( \displaystyle X \)のとり得る値と，その値をとる確率との対応を表したものを，確率分布または分布といい，確率変数\( \displaystyle X \)はこの分布に従うという．

○連続型確率変数

実数のある区間全体(または実数全体)に値をとる確率変数\( \displaystyle X \)に対して，次の性質を満たす関数\( \displaystyle y=f(x) \)が存在するとき，\( \displaystyle X \)を連続型確率変数という．
\( \displaystyle \ \ \ \ \ f(x)\geqq 0\ \ (x\in \mathbb{R}) \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ P(a\leqq X\leqq b)=\int_{a}^{b} f(x)\,dx \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx=1 \)
このとき，\( \displaystyle f(x) \)を\( \displaystyle X \)の確率密度関数，グラフ\( \displaystyle y=f(x) \)をその分布曲線という．

(例) 確率変数\( \displaystyle X \)の確率密度関数が次で与えられているとする．\( \displaystyle c \)の値を求めよ.
\( \displaystyle f(x)=\begin{cases} cx & (0\leqq x\leqq 2) \\ 0 & (x\lt 0,x\gt 2) \end{cases} \)

説明例(クリックして下さい)

全区間での積分の値は1となることと，\( \displaystyle 0\leqq x\leqq 2 \)以外の区間では\( \displaystyle f(x)=0 \)であるから，
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \int_{0}^{2} cx\,dx=1 \)
よって
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \frac{c}{2}\cdot 2^{2}=1 \) すなわち\( \displaystyle c=\frac{1}{2} \)
このとき，\( \displaystyle f(x) \)は確率密度関数であるから，\( \displaystyle c=\frac{1}{2} \) (答)

○確率変数の平均(期待値)

確率変数\( \displaystyle X \)のとりうる値が\( \displaystyle x_{k}(k=1,2,3,\cdots ) \)で，その値をとるときの確率\( \displaystyle P(X=x_{k}) \)がそれぞれ，\( \displaystyle p_{k} \ (k=1,2,3,\cdots ) \)とする．
\( \displaystyle X \)の関数\( \displaystyle \varphi (X) \)と表される確率変数に対して，その期待値\( \displaystyle E(\varphi (X)) \)を
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \sum_{k}\varphi (x_{k})p_{k}=\varphi (x_{1})p_{1}+\varphi (x_{2})p_{2}+\varphi (x_{3})p_{3}+\cdots \)
と定義する．とくに\( \displaystyle \varphi (X)=X \)のとき，\( \displaystyle E(X) \)と等しい．
※\( \displaystyle X \)が連続型確率変数の場合は，確率密度関数\( \displaystyle f(x) \)を用いてそれぞれ
\( \displaystyle \ \ \ \ \ E(X)=\int_{-\infty}^{\infty} xf(x)\,dx,E(\varphi (X))=\int_{-\infty}^{\infty} \varphi (x)f(x)\,dx \)
のように定義される．

○確率変数の分散・標準偏差

確率変数\( \displaystyle X \)のとりうる値が\( \displaystyle x_{k}(k=1,2,3,\cdots ) \)であるとし，\( \displaystyle P(X=x_{k})=p_{k} \)とおく．また，\( \displaystyle E(X)=m \)とする．
(1)\( \displaystyle E((X-m)^{2})=\sum_{k=1}^{\infty}(x_{k}-m)^{2}p_{k} \) を\( \displaystyle X \)の分散といい，\( \displaystyle V(X) \)で表す．
(2)\( \displaystyle \sqrt{V(X)}=\sqrt{E((X-m)^{2})} \)を\( \displaystyle X \)の標準偏差といい，\( \displaystyle \sigma (X) \)で表す．
(3)\( \displaystyle V(X)=E(X^{2})-\{E(X)\}^{2} \)
※\( \displaystyle X \)が連続型確率変数の場合，分散\( \displaystyle V(X) \)は確率密度関数\( \displaystyle f(x) \)を用いて
\( \displaystyle \ \ \ \ \ V(X)=\int_{-\infty}^{\infty}(x-m)^{2}f(x)\,dx \)
のように定義される．(2),(3)も同様．

(3)説明例(クリックして下さい)

((3)の証明：離散型確率変数)
\( \displaystyle V(X)=\sum_{k=1}^{\infty}(x_{k}-m)^{2}p_{k} \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\sum_{k=1}^{\infty}{x_{k}}^{2}p_{k}-2m\sum_{k=1}^{\infty}x_{k}p_{k}+m^{2}\sum_{k=1}^{\infty}p_{k} \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\sum_{k=1}^{\infty}{x_{k}}^{2}p_{k}-2m\cdot m+m^{2}\cdot 1 \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =E(X^{2})-\{E(X)\}^{2} \)◾️

(例)1枚の硬貨を投げて，表が出たら\( \displaystyle X=2 \)，裏が出たら\( \displaystyle X=-1 \)と定める確率変数\( \displaystyle X \)の，平均，分散，標準偏差を求める．

説明例(クリックして下さい)

分布は以下の通り．

\( \displaystyle X \)	\( \displaystyle 2 \)	\( \displaystyle -1 \)	計
\( \displaystyle P(X) \)	\( \displaystyle \frac{1}{2} \)	\( \displaystyle \frac{1}{2} \)	\( \displaystyle 1 \)

\( \displaystyle \ \ \ \ \ E(X)=2\cdot \frac{1}{2}+(-1)\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2} \) (答)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ V(X)=E(X^{2})-\{E(X)\}^{2} \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =2^{2}\cdot \frac{1}{2}+(-1)^{2}\cdot \frac{1}{2}-\left( \frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4} \) (答)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \sigma (X)=\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{3}{2} \) (答)

※ \( \displaystyle V(X) \)を定義通り計算すると，
\( \displaystyle V(X) = E\left( \left( X – \frac{1}{2} \right)^2 \right) = \left( 2 – \frac{1}{2} \right)^2 \cdot \frac{1}{2} + \left( -1 – \frac{1}{2} \right)^2 \cdot \frac{1}{2} \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ = \frac{9}{4} \)

◯\( \displaystyle aX+b \)の平均・分散・標準偏差

確率変数\( \displaystyle X \)と，定数\( \displaystyle a,b \)に対して，
\( \displaystyle \ \ \ \ \ E(aX+b)=aE(X)+b \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ V(aX+b)=a^2 V(X) \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \sigma(aX+b)=|a|\sigma(X) \)

説明例(クリックして下さい)

(離散型確率変数)
\( \displaystyle E(aX+b)=\sum_{k=1}^{\infty}(ax_k+b) p_k \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ =a\sum_{k=1}^{\infty}x_k p_k +b\sum_{k=1}^{\infty}p_k =aE(X)+b \)
\( \displaystyle V(aX+b)=E\left( \left\{ (aX+b)-E(aX+b) \right\}^2 \right) \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ =E\left( a^2 (X-E(X))^2 \right)=a^2 V(X) \)
平方根をとって\( \displaystyle \sigma(aX+b)=|a|\sigma(X) \)を得る．◾️

※\( \displaystyle X \)が連続型確率変数の場合でも同様．

(例)次の分布に従う確率変数\( \displaystyle X \)について，\( \displaystyle E(2X+3) \)，\( \displaystyle V(2X+3) \)を求める．

\( \displaystyle X \)	\( \displaystyle 2 \)	\( \displaystyle -1 \)	計
\( \displaystyle P(X) \)	\( \displaystyle \frac{1}{2} \)	\( \displaystyle \frac{1}{2} \)	\( \displaystyle 1 \)

説明例(クリックして下さい)

(前の例題でし計算したものを利用する)
\( \displaystyle E(X)=\frac{1}{2} \)，\( \displaystyle V(X)=\frac{9}{4} \)を利用すると，
\( \displaystyle \ \ \ \ \ E(2X+3)=2\cdot \frac{1}{2}+3=4 \) (答)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ V(2X+3)=2^2 V(X)=9 \) (答)

○同時分布

確率変数\( \displaystyle X \)のとり得る値が\( \displaystyle x_i(i=1,2,3,\cdots) \)，確率変数\( \displaystyle Y \)のとり得る値が\( \displaystyle y_j (j=1,2,3,\cdots) \)であるとし，\( \displaystyle P(X=x_i )=p_i \), \( \displaystyle P(Y=y_j )=q_j \)とおく．\( \displaystyle X,Y \)を同時に考え，「\( \displaystyle X=x_i \)かつ\( \displaystyle Y=y_j \)」となる確率を\( \displaystyle P(X=x_i,Y=y_j) \)と表し，これを\( \displaystyle p_{ij} \)とおく．
(1)\( \displaystyle X,Y \)のそれぞれのとり得る値の組に対して，その値の組とその確率の対応を\( \displaystyle X \)と\( \displaystyle Y \)の同時分布という．
(2)\( \displaystyle P(X=x_i )=\sum_{j=1}^{\infty}p_{ij} \), \( \displaystyle P(Y=y_j )=\sum_{i=1}^{\infty}p_{ij} \)
(3)\( \displaystyle E(X+Y)=E(X)+E(Y) \)

※\( \displaystyle X,Y \)が連続型確率変数の場合，「\( \displaystyle a\leqq X\leqq b \)かつ\( \displaystyle c\leqq Y\leqq d \)」となる確率は同時確率密度関数\( \displaystyle f(x,y) \)を用いて以下のように定義される．
\( \displaystyle P(a\leqq X\leqq b,c\leqq Y\leqq d) \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ = \iint_{\substack{a\leqq x\leqq b \\ c\leqq y\leqq d}} f(x,y) dxdy \)
また，\( \displaystyle X,Y \)それぞれの確率密度関数\( \displaystyle f_X (x),f_Y (y) \)は
\( \displaystyle f_X (x)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y) dy, f_Y (y)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y) dx \)
と表される．(3)についても同様．

(3)の説明例(クリックして下さい)

((3)の証明：離散型確率変数)
\( \displaystyle E(X+Y)=\sum_{i,j}(x_i+y_j ) p_{ij} \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ =\sum_{i,j}x_i p_{ij} +\sum_{i,j}y_j p_{ij} \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ =\sum_i x_i \sum_j p_{ij} +\sum_j y_j \sum_i p_{ij} \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ =\sum_i x_i p_i +\sum_j y_j q_j =E(X)+E(Y) \)

(例)次の同時分布について，\( \displaystyle E(X+Y) \)を求める．

\( \displaystyle X \backslash Y \)	\( \displaystyle 2 \)	\( \displaystyle 4 \)	計
\( \displaystyle 1 \)	\( \displaystyle \frac{9}{20} \)	\( \displaystyle \frac{6}{20} \)	\( \displaystyle \frac{15}{20} \)
\( \displaystyle 3 \)	\( \displaystyle \frac{3}{20} \)	\( \displaystyle \frac{2}{20} \)	\( \displaystyle \frac{5}{20} \)
計	\( \displaystyle \frac{12}{20} \)	\( \displaystyle \frac{8}{20} \)	\( \displaystyle 1 \)

説明例(クリックして下さい)

\( \displaystyle E(X+Y)=E(X)+E(Y) \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ =1\cdot \frac{15}{20}+3\cdot \frac{5}{20}+2\cdot \frac{12}{20}+4\cdot \frac{8}{20} \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ =\frac{86}{20}=\frac{43}{10} \) (答)

○確率変数の独立

(1)確率変数\( \displaystyle X \)のとり得る値が\( \displaystyle x_i(i=1,2,3,\cdots) \)，\( \displaystyle Y \)のとり得る値が\( \displaystyle y_j (j=1,2,3,\cdots) \)であるとする．すべての\( \displaystyle i,j \)で\( \displaystyle P(X=x_i,Y=y_j )=P(X=x_i)P(Y=y_j ) \)が成り立つとき，\( \displaystyle X,Y \)は独立であるという．
(2)\( \displaystyle X,Y \)が独立のとき，任意の\( \displaystyle i,j \)に対して，
\( \displaystyle \ \ \ \ \ P(X=x_i )=P(X=x_i |Y=y_j) \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ P(Y=y_j )=P(Y=y_j |X=x_i) \)
(3) 3つ以上の確率変数に対しての独立も同様に定義する．確率変数\( \displaystyle X,Y,Z \)のとり得る値を\( \displaystyle x_i,y_j,z_k \)とする．すべての\( \displaystyle i,j,k \)で\( \displaystyle P(X=x_i,Y=y_j,Z=z_k )=P(X=x_i)P(Y=y_j )P(Z=z_k) \)が成り立つとき，\( \displaystyle X,Y,Z \)は独立であるという．

補足(クリックして下さい)

※確率変数の独立は，あらゆる事象の組が独立であると定義している(1)．これは，片方の結果が他方の確率に影響を与えないことを意味する(2)．
※連続型確率変数においては，\( \displaystyle f(x,y)=f_X (x) f_Y (y) \)となるとき，\( \displaystyle X,Y \)は独立であるという．

(例)1個のさいころを投げる．出た目が\( \displaystyle 4 \)以上であれば\( \displaystyle 3 \)点，そうでなければ\( \displaystyle 1 \)点とするときの得点を\( \displaystyle X \)，出た目が奇数であれば\( \displaystyle 2 \)点，そうでなければ\( \displaystyle 1 \)点とするときの得点を\( \displaystyle Y \)とする．\( \displaystyle X,Y \)が独立かどうか調べる．

説明例(クリックして下さい)

同時分布をまとめると，次の通り．

\( \displaystyle X \backslash Y \)	\( \displaystyle 2 \)	\( \displaystyle 1 \)	計
\( \displaystyle 3 \)	\( \displaystyle \frac{1}{6} \)	\( \displaystyle \frac{2}{6} \)	\( \displaystyle \frac{3}{6} \)
\( \displaystyle 1 \)	\( \displaystyle \frac{2}{6} \)	\( \displaystyle \frac{1}{6} \)	\( \displaystyle \frac{3}{6} \)
計	\( \displaystyle \frac{3}{6} \)	\( \displaystyle \frac{3}{6} \)	\( \displaystyle 1 \)

例えば
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \frac{1}{6}=P(X=3,Y=2)\neq P(X=3)P(Y=2)=\frac{1}{4} \)
であるから，\( \displaystyle X,Y \)は独立ではない．(答)

※\( \displaystyle X=3 \)のとき，対応する事象は\( \displaystyle \{4,5,6\} \)で，全事象\( \displaystyle \{1,2,3,4,5,6\} \)と比べて奇数が出にくくなる(\( \displaystyle Y=2 \)が起きにくい)ので，独立ではないことがすぐわかる(式でいうと，\( \displaystyle P(Y=2|X=3)=\frac{P(X=3,Y=2)}{P(X=3)} \) が\( \displaystyle P(Y=2) \)よりも小さくなる)

○確率変数の和と積の期待値・和の分散

確率変数\( \displaystyle X,Y \)が独立であるとする．
(1)\( \displaystyle E(XY)=E(X)E(Y) \)
(2)\( \displaystyle V(X+Y)=V(X)+V(Y) \)

説明例(クリックして下さい)

仮定により，\( \displaystyle p_{ij}=p_i q_j \)であるから，
\( \displaystyle E(XY)=\sum_{i,j}(x_i y_j ) p_{ij}=\sum_{i,j}x_i p_i \cdot y_j q_j \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ =\sum_i x_i p_i \sum_j y_j q_j =E(Y)\sum_i x_i p_i \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ =E(X)E(Y) \) ◾️
一般に，
\( \displaystyle V(X+Y)=E\left( (X+Y)^2 \right)-\left\{ E(X+Y) \right\}^2 \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ =E\left( X^2 \right)+2E(XY)+E\left( Y^2 \right) \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -\left\{ E(X) \right\}^2-2E(X)E(Y)-\left\{ E(Y) \right\}^2 \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ =V(X)+V(Y)+2\left\{ E(XY)-E(X)E(Y) \right\} \)
独立な場合は，\( \displaystyle \{ \ \} \)の内部が\( \displaystyle 0 \)になり，(2)が成立．◾️

※3つ以上の確率変数に関しても，独立であれば
\( \displaystyle \ \ \ \ \ E(XYZ)=E(X)E(Y)E(Z) \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ V(X+Y+Z)=V(X)+V(Y)+V(Z) \)
が成立する．

(例)次の同時分布で，\( \displaystyle E(X) \)，\( \displaystyle E(Y) \)，\( \displaystyle E(XY) \)を計算する．

\( \displaystyle X \backslash Y \)	\( \displaystyle 2 \)	\( \displaystyle 1 \)	計
\( \displaystyle 3 \)	\( \displaystyle \frac{1}{6} \)	\( \displaystyle \frac{2}{6} \)	\( \displaystyle \frac{3}{6} \)
\( \displaystyle 1 \)	\( \displaystyle \frac{2}{6} \)	\( \displaystyle \frac{1}{6} \)	\( \displaystyle \frac{3}{6} \)
計	\( \displaystyle \frac{3}{6} \)	\( \displaystyle \frac{3}{6} \)	\( \displaystyle 1 \)

説明例(クリックして下さい)

\( \displaystyle E(X)=3\cdot \frac{3}{6}+1\cdot \frac{3}{6}=2 \), \( \displaystyle E(Y)=2\cdot \frac{3}{6}+1\cdot \frac{3}{6}=\frac{3}{2} \)
\( \displaystyle E(XY)=6\cdot \frac{1}{6}+3\cdot \frac{2}{6}+2\cdot \frac{2}{6}+1\cdot \frac{1}{6}=\frac{17}{6} \)

※この計算結果から\( \displaystyle E(XY) \neq E(X)E(Y) \)であり，このことからも，\( \displaystyle X,Y \)が独立ではないことがわかる．

この記事は役に立ちましたか？

間違い/不具合かな？
と思ったらこちらへ

\( \displaystyle \alpha \)	\( \displaystyle 0.1 \)	\( \displaystyle 0.2 \)	\( \displaystyle 0.3 \)	\( \displaystyle 0.4 \)	\( \displaystyle 0.5 \)
\( \displaystyle P(0\leqq Z\leqq \alpha) \)	\( \displaystyle 0.0398 \)	\( \displaystyle 0.0793 \)	\( \displaystyle 0.1179 \)	\( \displaystyle 0.1554 \)	\( \displaystyle 0.1915 \)

○離散型確率変数

○連続型確率変数

○確率変数の平均(期待値)

○確率変数の分散・標準偏差

◯\( \displaystyle aX+b \)の平均・分散・標準偏差

○同時分布

○確率変数の独立

○確率変数の和と積の期待値・和の分散

○二項分布

○正規分布