確率

○試行・事象

(1) 同じ条件のもとで繰り返すことができ，その結果が偶然に決まる操作を試行といい，試行の結果起こることを事象という．
(2) ある試行で起こる結果全体の集合\( \displaystyle U \)で表される事象を全事象という．\( \displaystyle U \)の1個の要素だけからなる部分集合で表される事象を根元事象という．\( \displaystyle \emptyset \)で表される事象を空事象という．

(例)試行・事象の例
以下表で事象「1の目がでること」を「1」のように表すことにする(他も同様)．

○確率の定義

(1)ある試行において，全事象に含まれる根元事象のどれが起こることも同じ程度に期待できるとき，これらの根元事象は同様に確からしいという．
(2)根元事象が同様に確からしい試行において，事象 A の起こる確率 \( \displaystyle P(A) \)を \( \displaystyle \frac{n(A)}{n(U)} \) で定める．

○確率の基本方針

根元事象が同様に確からしくなるように，同じものも区別して，\( \displaystyle \frac{n(A)}{n(U)} \) を計算する.

(例)

○積事象・和事象・余事象・排反

\( \displaystyle A,B \)を事象とする.
(1)\( \displaystyle A \)と\( \displaystyle B \)がともに起こるという事象を\( \displaystyle A \)と\( \displaystyle B \)の積事象といい，\( \displaystyle A\cap B \)で表す．
(2)\( \displaystyle A \)と\( \displaystyle B \)の少なくとも一方が起こるという事象を\( \displaystyle A \)と\( \displaystyle B \)の和事象といい，\( \displaystyle A\cup B \)で表す．
(3)\( \displaystyle A \)が起こらないという事象を\( \displaystyle A \)の余事象といい，\( \displaystyle \overline{A} \)で表す．
(4) \( \displaystyle A\cap B=\emptyset \)のとき，\( \displaystyle A \)と\( \displaystyle B \)は互いに排反である(互いに排反事象である)という．

○確率の性質

(1) \( \displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B) \)
(2) \( \displaystyle A \)と\( \displaystyle B \)が排反のとき，\( \displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B) \) [確率の加法定理]
(3) \( \displaystyle P(\overline{A})=1-P(A) \)

「1個のさいころを２回続けて投げるとき，少なくとも1回は1の目が出る確率を求めよ．」という問いに対して，次の解答は誤りである．誤りを指摘し，正しい解答を示せ．

○等確率排反事象に分割される事象の確率

事象\( \displaystyle A \)が，確率の等しい，排反な\( \displaystyle A_{1},A_{2},\cdots ,A_{n} \)の和事象に分割できるとき，
\( \displaystyle P(A)=P(A_{1})+P(A_{2})+\cdots +P(A_{n})=P(A_{1})\times n \) ←(1つの事象の確率) \(\times\) (事象の個数)

(例1)４個のサイコロを投げるとき，１の目がちょうど２個でる確率を求める．

説明例(クリックして下さい)

サイコロを\( \displaystyle \mathrm{A, B, C, D} \)とする．
求める確率は，「\( \displaystyle \mathrm{A} \)が\( \displaystyle 1 \)，\( \displaystyle \mathrm{B} \)が\( \displaystyle 1 \)，\( \displaystyle \mathrm{C} \)が\( \displaystyle 1 \)以外，\( \displaystyle \mathrm{D} \)が\( \displaystyle 1 \)以外となる確率」\( \displaystyle \times \)「○\( \displaystyle 2 \)つと\( \displaystyle \times \) \( \displaystyle 2 \)つを並べる順列の総数」として計算できるから，
\( \displaystyle \left(\frac{1}{6}\right)^2 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^2 \times \frac{4!}{2!2!} = \frac{25 \cdot 2 \cdot 3}{6^4} = \frac{25}{216} \) (答)

※上の例題は一般化すると，次の通り．１回の試行で事象Aの起こる確率が\( \displaystyle p \)とし，この試行を\( \displaystyle n \)回反復するとき，Aがちょうど\( \displaystyle k \)回起こる確率は，
\( \displaystyle {}_{n}\mathrm{C}_{k}\cdot p^{k}(1-p)^{n-k} \)  \( \displaystyle (k=0,1,\cdots ,n) \)
である．これは二項分布と呼ばれる確率分布に対応する．

(例2)3本の当たりと，5本のはずれがはいっているくじがある．１本ずつ，もとに戻さずに3回くじをひくとき，あたりを1本だけ引く確率を求める．

○確率変数

(1) ある試行の結果によって値が決まる変数を，確率変数という．
(2) \( \displaystyle P(X\text{の条件}) \)で，「\( \displaystyle X \)の条件」となる確率を表す．例えば\( \displaystyle P(X=a) \)は\( \displaystyle X=a \)となる確率，\( \displaystyle P(a\leqq X\leqq b) \)は\( \displaystyle a\leqq X\leqq b \)となる確率を表す．
(3) 確率変数 \( \displaystyle X \) のとり得る値と，その値をとる確率との対応関係を\( \displaystyle X \)の確率分布という．

(例)サイコロを投げるとき

(例)サイコロを投げるとき，その目\( \displaystyle X \)についての確率分布

○期待値

確率変数\( \displaystyle X \)のとりうる値が\( \displaystyle x_{k}(k=1,2,3,\cdots) \)で，その値をとるときの確率\( \displaystyle P(X=x_{k}) \)がそれぞれ，\( \displaystyle p_{k} (k=1,2,3,\cdots) \)とする．
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \sum_{k} x_{k} P(X=x_{k})=x_{1} p_{1}+x_{2} p_{2}+x_{3} p_{3}\cdots \)
を確率変数\( \displaystyle X \)の平均または期待値といい，\( \displaystyle E(X) \)または\( \displaystyle m \)で表す．

○条件付き確率

(1)\( \displaystyle A\neq \emptyset \)を満たす事象\( \displaystyle A,B \)に対し，\( \displaystyle \frac{n(A\cap B)}{n(A)} \) を\( \displaystyle A \)が起こったときの\( \displaystyle B \)の条件付き確率といい，\( \displaystyle P_{A}(B) \)または\( \displaystyle P(B|A) \)で表す.
(2)\( \displaystyle P_{A}(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)} \) (\( \displaystyle \iff P(A\cap B)=P(A)P_{A}(B) \))

(例)当たりが2本，はずれが3本入ったくじを1本ずつ引く．ただし，一度引いたくじは戻さない．2本目が当たりであるとき，1本目も当たりである確率を求める．

説明例(クリックして下さい)

(解1)１本目が当たりである事象を\( \displaystyle A \)，
２本目が当たりである事象を\( \displaystyle B \)とするとき，
\( \displaystyle \ \ \ \ \ P_{B}(A)=\frac{n(A\cap B)}{n(B)} \)
を求めればよい．

\( \displaystyle n(B)= \)(1本目当，2本目当)＋(1本目は，2本目当)\( \displaystyle =2+6=8 \),
\( \displaystyle n(A\cap B)=2 \)
により，\( \displaystyle P_{B}(A)=\frac{2}{8}=\frac{1}{4} \) (答)

(解2)\( \displaystyle P_{B}(A)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)} \) を計算すればよい．
・1本目も2本目もあたりである確率\( \displaystyle P(A\cap B) \)は，\( \displaystyle \frac{2}{5}\cdot \frac{1}{4}=\frac{2}{20} \)(…(補足)これは\( \displaystyle P(A)P_{A}(B) \)と計算している)
\( \displaystyle P(B) \)を求めるために，\( \displaystyle P(B)=P(A\cap B)+P(\overline{A}\cap B) \)と計算する．
・1本目がはずれで，2本目があたりである確率\( \displaystyle P(\overline{A}\cap B) \)は，\( \displaystyle \frac{3}{5}\cdot \frac{2}{4}=\frac{6}{20} \)(…(補足)これは\( \displaystyle P(\overline{A})P_{\overline{A}}(B) \)と計算している)
であるから，2本目があたりである確率\( \displaystyle P(B) \)は，
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \frac{2}{20}+\frac{6}{20}=\frac{8}{20} \)
よって，求める確率は，
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{2}{20}\div \frac{8}{20}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4} \) (答)

○独立事象

事象\( \displaystyle A,B \)に対し，\( \displaystyle P(A\cap B)=P(A)P(B) \)が成り立つとき，\( \displaystyle A \)と\( \displaystyle B \)は独立であるという.
※ \( \displaystyle P(A\cap B)=P(A)P(B) \)のとき，両辺を\( \displaystyle P(A) \)で割ると，\( \displaystyle P_{A}(B)=P(B) \)．すなわち，「Aが起こったことがBの確率に影響を与えない」ことを意味する．

(例) 2個のサイコロを投げる．出た目の和が偶数であるという事象と，出た目の積が偶数であるという事象は独立であるか．