行列式、連立一次方程式 | きょうさい対策ブログ

○行列式の定義(\( \displaystyle 2 \)次，\( \displaystyle 3 \)次)

(1)・\( \displaystyle 2 \)次の行列 \( \displaystyle A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \)に対し，\( \displaystyle a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} \)を\( \displaystyle A \)の行列式という．
・\( \displaystyle 3 \)次の行列 \( \displaystyle A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} \)に対し，\( \displaystyle a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32} \)を\( \displaystyle A \)の行列式という．
(2) \( \displaystyle A \)の行列式を\( \displaystyle |A| \)や\( \displaystyle \det A \)で表す．

○連立方程式の解(クラメルの公式)

(1) \( \displaystyle 2 \)元の連立一次方程式\( \displaystyle \begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2=\textcolor{blue}{b_1} \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2=\textcolor{blue}{b_2} \end{cases} \)は，\( \displaystyle \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} \neq 0 \)のとき解がただ\( \displaystyle 1 \)つ存在し，その解は
\( \displaystyle \ \ \ \ \ x_1=\frac{\begin{vmatrix} \textcolor{blue}{b_1} & a_{12} \\ \textcolor{blue}{b_2} & a_{22} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}}, \ \ x_2=\frac{\begin{vmatrix} a_{11} & \textcolor{blue}{b_1} \\ a_{21} & \textcolor{blue}{b_2} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}} \)
(2) \( \displaystyle 3 \)元の連立一次方程式\( \displaystyle \begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3=\textcolor{blue}{b_1} \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3=\textcolor{blue}{b_2} \\ a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3=\textcolor{blue}{b_3} \end{cases} \)は，\( \displaystyle \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} \neq 0 \)のとき解がただ\( \displaystyle 1 \)つ存在し，その解は
\( \displaystyle \ \ \ \ \ x_1=\frac{\begin{vmatrix} \textcolor{blue}{b_1} & a_{12} & a_{13} \\ \textcolor{blue}{b_2} & a_{22} & a_{23} \\ \textcolor{blue}{b_3} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}}, \ \ x_2=\frac{\begin{vmatrix} a_{11} & \textcolor{blue}{b_1} & a_{13} \\ a_{21} & \textcolor{blue}{b_2} & a_{23} \\ a_{31} & \textcolor{blue}{b_3} & a_{33} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}}, \ \ x_3=\frac{\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \textcolor{blue}{b_1} \\ a_{21} & a_{22} & \textcolor{blue}{b_2} \\ a_{31} & a_{32} & \textcolor{blue}{b_3} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}} \)

○行列式の性質

(1) 行列式は，任意の行または列に関して，\( \displaystyle 1 \)つ小さい次数の行列式の和として展開できる(余因子展開)．例えば\( \displaystyle 3 \)次の行列式を第\( \displaystyle 1 \)行で展開すると次のようになる(符号は，\( \displaystyle i \)行\( \displaystyle j \)列のとき，\( \displaystyle (-1)^{i+j} \))．
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \begin{vmatrix} \textcolor{red}{a_{11}} & \textcolor{red}{a_{12}} & \textcolor{red}{a_{13}} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}=(-1)^{1+1}\textcolor{red}{a_{11}}\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}+(-1)^{1+2}\textcolor{red}{a_{12}}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix}+(-1)^{1+3}\textcolor{red}{a_{13}}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} \)
(2) ある行(または列)に関して共通因数をもつとき，それをくくり出すことができる．例えば，
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \begin{vmatrix} c\textcolor{red}{a_{11}} & c\textcolor{red}{a_{12}} & c\textcolor{red}{a_{13}} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}=c\begin{vmatrix} \textcolor{red}{a_{11}} & \textcolor{red}{a_{12}} & \textcolor{red}{a_{13}} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} \)
(3) \( \displaystyle 1 \)つの行(または列)の成分が\( \displaystyle 2 \)つの数の和であるとき，行列式は\( \displaystyle 2 \)つの行列式の和に分解できる．例えば，
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \begin{vmatrix} \textcolor{red}{a_{11}}+b_{11} & \textcolor{red}{a_{12}}+b_{12} & \textcolor{red}{a_{13}}+b_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} \textcolor{red}{a_{11}} & \textcolor{red}{a_{12}} & \textcolor{red}{a_{13}} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} \)
(4) ある行(または列)と別の行(または列)を入れ替えると，行列式の符号は反転する．例えば，
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \begin{vmatrix} \textcolor{red}{a_{11}} & \textcolor{red}{a_{12}} & \textcolor{red}{a_{13}} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}=-\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ \textcolor{red}{a_{11}} & \textcolor{red}{a_{12}} & \textcolor{red}{a_{13}} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} \)
(5) \( \displaystyle 2 \)つの行(または列)が一致するとき，行列式の値は\( \displaystyle 0 \)になる．例えば，
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \begin{vmatrix} \textcolor{red}{a_{11}} & \textcolor{red}{a_{12}} & \textcolor{red}{a_{13}} \\ a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}=0 \)
(6) ある行(または列)の定数倍を別の行(または列)に加えても，行列式の値は変わらない．例えば，
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \begin{vmatrix} \textcolor{red}{a_{11}}+ca_{21} & \textcolor{red}{a_{12}}+ca_{22} & \textcolor{red}{a_{13}}+ca_{23} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} \textcolor{red}{a_{11}} & \textcolor{red}{a_{12}} & \textcolor{red}{a_{13}} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} \)
(7) 積の行列式は，行列式の積になる．すなわち，\( \displaystyle |AB|=|A||B| \)
(8) 対角成分より左下の成分がすべて\( \displaystyle 0 \)である行列を上三角行列という．上三角行列の行列式は，対角成分のすべての積に等しい．例えば，
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 0 & a_{22} & a_{23} \\ 0 & 0 & a_{33} \end{vmatrix}=a_{11}a_{22}a_{33} \)

説明例(クリックして下さい)

※\( \displaystyle 3 \)次の場合での説明や概略をかく．以下，\( \displaystyle A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} \)とする．
(1) 行列式の定義式について，共通の因数 \( \displaystyle a_{11}, a_{12}, a_{13} \) について整理すると，
\( \displaystyle |A|=a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32})-a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31})+a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31}) \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ =a_{11}\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}-a_{12}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix}+a_{13}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} \)
第\( \displaystyle 1 \)行に関する余因子展開が得られる．第\( \displaystyle 2 \)行など他の行や列についても，同様に整理することで導かれる．

(2) 共通因数\( \displaystyle c \)をもつ行(または列)に関しての余因子展開を考えると，\( \displaystyle c \times \)(くくり出した後の行列式)と導ける．

(3) \( \displaystyle 2 \)つの数の和になっている行(または列)に関して余因子展開を考えると，行列式の和となることが導ける．

(4) 行列\( \displaystyle A \)の第\( \displaystyle 1 \)行と第\( \displaystyle 2 \)行を入れ替えた行列を\( \displaystyle B \)とする．その行列式について，\( \displaystyle B \)の第\( \displaystyle 2 \)行で余因子展開すると，
\( \displaystyle \ \ \ \ \ |B|=(-1)^{2+1}a_{11}\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}+(-1)^{2+2}a_{12}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix}+(-1)^{2+3}a_{13}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =-\left\{a_{11}\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}-a_{12}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix}+a_{13}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix}\right\}=-|A| \)

(5) 一致している行(または列)を入れ替えた行列を\( \displaystyle B \)とすると，(4)から \( \displaystyle |B|=-|A| \) ．一方，一致している行を取り替えても，もとの行列と同じだから，\( \displaystyle |B|=|A| \)．よって，\( \displaystyle |A|=0 \)となるしかない．

(6) 行列\( \displaystyle A \)の第\( \displaystyle 1 \)行に第\( \displaystyle 2 \)行の\( \displaystyle c \)倍を加えた行列の行列式を考えると，
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \begin{vmatrix} a_{11}+ca_{21} & a_{12}+ca_{22} & a_{13}+ca_{23} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}\)
\( \displaystyle \ \ \ =\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}+c\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} \)
左辺から中辺は(2)(3)，中辺から右辺は(5)による．第\( \displaystyle 2 \)行など他の行や列についても同様に示せる．

(7) 行列\( \displaystyle B \)の各行を \( \displaystyle B_1, B_2, B_3 \) とおくと，積\( \displaystyle AB=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} B_1 \\ B_2 \\ B_3 \end{pmatrix} \)の各行は
第\( \displaystyle 1 \)行： \( \displaystyle a_{11}B_1+a_{12}B_2+a_{13}B_3 \)
第\( \displaystyle 2 \)行： \( \displaystyle a_{21}B_1+a_{22}B_2+a_{23}B_3 \)
第\( \displaystyle 3 \)行： \( \displaystyle a_{31}B_1+a_{32}B_2+a_{33}B_3 \)
と表される．性質(3)を用いて\( \displaystyle |AB| \)をすべての組み合わせに分解すると，次のように \( \displaystyle 3^3=27 \)項の和になる．
\( \displaystyle \ \ \ \ \ |AB|=\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3}\sum_{k=1}^{3}a_{1i}a_{2j}a_{3k}\begin{vmatrix} B_i \\ B_j \\ B_k \end{vmatrix} \)
性質(5)により，同じ行が\( \displaystyle 2 \)つ以上含まれるものはすべて\( \displaystyle 0 \)になるから，\( \displaystyle 3 \)つの行がすべて異なる次の\( \displaystyle 6 \)つの項だけが残る．合わせて，性質(4) を使って元の行列式 \( \displaystyle \begin{vmatrix} B_1 \\ B_2 \\ B_3 \end{vmatrix}=|B| \)の形にすると，次のようにまとめられる．
\( \displaystyle a_{11}a_{22}a_{33}\begin{vmatrix} B_1 \\ B_2 \\ B_3 \end{vmatrix}=a_{11}a_{22}a_{33}|B| \) (変形なし)，
\( \displaystyle a_{11}a_{23}a_{32}\begin{vmatrix} B_1 \\ B_3 \\ B_2 \end{vmatrix}=-a_{11}a_{23}a_{32}|B| \) (第\( \displaystyle 2 \)行\( \displaystyle \leftrightarrow \)第\( \displaystyle 3 \)行),
\( \displaystyle a_{12}a_{21}a_{33}\begin{vmatrix} B_2 \\ B_1 \\ B_3 \end{vmatrix}=-a_{12}a_{21}a_{33}|B| \) (第\( \displaystyle 1 \)行\( \displaystyle \leftrightarrow \)第\( \displaystyle 2 \)行), \( \displaystyle a_{12}a_{23}a_{31}\begin{vmatrix} B_2 \\ B_3 \\ B_1 \end{vmatrix}=a_{12}a_{23}a_{31}|B| \) (行を\( \displaystyle 2 \)回入れ替え),
\( \displaystyle a_{13}a_{21}a_{32}\begin{vmatrix} B_3 \\ B_1 \\ B_2 \end{vmatrix}=a_{13}a_{21}a_{32}|B| \) (行を\( \displaystyle 2 \)回入れ替え), \( \displaystyle a_{13}a_{22}a_{31}\begin{vmatrix} B_3 \\ B_2 \\ B_1 \end{vmatrix}=-a_{13}a_{22}a_{31}|B| \) （第\( \displaystyle 1 \)行\( \displaystyle \leftrightarrow \)第\( \displaystyle 3 \)行）
これらの和は，\( \displaystyle |B| \times \)(\( \displaystyle A \)の行列式)の形になるから，\( \displaystyle |AB|=|A||B| \)が示された．

(8)一番左の列についての余因子展開を繰り返すことで導ける．

※(\( \displaystyle 2 \))(\( \displaystyle 3 \))を行列式の多重線形性，(\( \displaystyle 4 \))を行列式の交代性という．
※\( \displaystyle 4 \)次以上の行列式についても，(\( \displaystyle 1 \))-(\( \displaystyle 8 \))と同様の性質が成り立つ．

(例，茨城県)行列式 \( \displaystyle \begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 & -2 \\ 3 & -2 & 4 & 6 \\ -5 & 7 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 4 & 2 \end{vmatrix} \) の値を求める．

説明例(クリックして下さい)

\( \displaystyle \begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 & -2 \\ 3 & -2 & 4 & 6 \\ -5 & 7 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 4 & 2 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 2 & 3 & 6 & 0 \\ 0 & -8 & -8 & 0 \\ -5 & 7 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 4 & 2 \end{vmatrix} \ \ \ \left(\begin{array}{l} \text{第1行に第4行を加えた} \\ \text{第2行に第4行の}-3\text{倍を加えた} \end{array}\right) \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =2 \cdot (-1)^{4+4}\begin{vmatrix} 2 & 3 & 6 \\ 0 & -8 & -8 \\ -5 & 7 & 1 \end{vmatrix} \ \ \ (\text{第4列に関して余因子展開した}) \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =-16\begin{vmatrix} 2 & 3 & 6 \\ 0 & 1 & 1 \\ -5 & 7 & 1 \end{vmatrix} \ \ \ (\text{第2行を}-8\text{でくくる}) \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =-16\begin{vmatrix} 2 & 3 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \\ -5 & 7 & -6 \end{vmatrix} \ \ \ (\text{第3列に，第2列の}-1\text{倍を加えた}) \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =-16 \cdot 1 \cdot (-1)^{2+2}\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ -5 & -6 \end{vmatrix} \ \ \ (\text{第2行に関して余因子展開した}) \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =-16 \cdot \{2 \cdot (-6)-3 \cdot (-5)\}=-48 \) (答)

○行列の基本変形と掃き出し法

(1) 行列の行に対する，次の\( \displaystyle 3 \)つの操作を行基本変形という．これらの操作はすべて可逆(元に戻すことが可能)である．
\( \displaystyle 1 \)．ある行を\( \displaystyle c \)倍する\( \displaystyle (c \neq 0) \)
\( \displaystyle 2 \)．ある行に別の行の\( \displaystyle c \)倍を加える
\( \displaystyle 3 \)．\( \displaystyle 2 \)つの行を入れ替える
(2) 正方行列に対して行基本変形を繰り返し適用すると，上三角行列(対角成分より左下がすべて\( \displaystyle 0 \))に変形できる．
(3) 連立一次方程式の係数と右辺の定数を並べた行列を拡大係数行列という．拡大係数行列に行基本変形を繰り返し適用して，可能な限り「対角成分が\( \displaystyle 1 \)で，対角成分以外の列の成分が\( \displaystyle 0 \)になるように」変形して解を求める方法を掃き出し法という．

(例)連立一次方程式\( \displaystyle \begin{cases} x_1+2x_2=5 \\ 3x_1+4x_2=11 \end{cases} \)について，掃き出し法によって解を求める．

説明例(クリックして下さい)

拡大係数行列は\( \displaystyle \left(\begin{array}{cc|c} 1 & 2 & 5 \\ 3 & 4 & 11 \end{array}\right) \)であり，これに基本変形を加えていく．
\( \displaystyle \left(\begin{array}{cc|c} 1 & 2 & 5 \\ 3 & 4 & 11 \end{array}\right) \rightarrow \left(\begin{array}{cc|c} 1 & 2 & 5 \\ 0 & -2 & -4 \end{array}\right) \ \ \ (\text{第2行に第1行の}-3\text{倍を加えた}) \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \rightarrow \left(\begin{array}{cc|c} 1 & 2 & 5 \\ 0 & 1 & 2 \end{array}\right) \ \ \ \left(\text{第2行を }-\frac{1}{2}\text{倍した}\right) \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \rightarrow \left(\begin{array}{cc|c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{array}\right) \ \ \ (\text{第1行に第2行の}-2\text{倍を加えた}) \)
よって，\( \displaystyle x_1=1, \ \ x_2=2 \) (答)

(例)連立一次方程式\( \displaystyle \begin{cases} x_1+2x_2=0 \\ 2x_1+4x_2=0 \end{cases} \)について，掃き出し法によって解を求める．

説明例(クリックして下さい)

拡大係数行列は\( \displaystyle \left(\begin{array}{cc|c} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 4 & 0 \end{array}\right) \)であり，これに基本変形を加えていく．
\( \displaystyle \left(\begin{array}{cc|c} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 4 & 0 \end{array}\right) \rightarrow \left(\begin{array}{cc|c} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \ \ \ (\text{第2行に第1行の}-2\text{倍を加えた}) \)
これは\( \displaystyle x_1+2x_2=0 \)を意味するから，\( \displaystyle x_2=k \) (任意定数)として，
よって，\( \displaystyle x_1=-2k, \ \ x_2=k \) (\( \displaystyle k \)は任意) (答)

※\( \displaystyle A\vec{x}=\vec{0} \)(定数項がすべて\( \displaystyle 0 \))の形の方程式について，掃き出し法によって対角成分をすべて\( \displaystyle 1 \)にできない場合(対角成分に\( \displaystyle 0 \)が登場する場合)，行基本変形によってすべての成分が\( \displaystyle 0 \)の行を作ることができる．このとき，方程式の解は任意定数を含んだ形で表される(無数の解をもつ，不定)．

○逆行列の定義と求め方

(1) \( \displaystyle n \)次正方行列\( \displaystyle A \)に対し，\( \displaystyle AB = BA = E \) (\( \displaystyle E \)は単位行列)を満たす\( \displaystyle n \)次正方行列\( \displaystyle B \)が存在するとき，\( \displaystyle B \)を\( \displaystyle A \)の逆行列といい，\( \displaystyle A^{-1} \) で表す．またこのとき，\( \displaystyle A \)は正則であるという．
(2) 行列\( \displaystyle A \)の右側に単位行列\( \displaystyle E \)を並べた行列\( \displaystyle (A|E) \)に対して行基本変形を行い，左側を単位行列\( \displaystyle E \)に変形できたとき，右側にある行列が逆行列\( \displaystyle A^{-1} \) となる．
※実際には，\( \displaystyle AB=E \)さえなりたてば， \( \displaystyle A \)は正則になる(後述の行列式の性質からわかる)．

(例，山梨県)行列 \( \displaystyle A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 2 & 2 & 3 \end{pmatrix} \) の逆行列を，行基本変形を利用して求める．

説明例(クリックして下さい)

左側に\( \displaystyle A \)，右側に\( \displaystyle 3 \)次単位行列を並べた行列について，行基本変形を繰り返す．
\( \displaystyle \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 2 & 3 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \rightarrow \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & -2 & 0 & 1 \end{array}\right) \ \ \ \left(\begin{array}{l} \text{第2行に第1行の}-1\text{倍を加えた} \\ \text{第3行に第1行の}-2\text{倍を加えた} \end{array}\right) \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \rightarrow \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & -2 & 0 & 1 \end{array}\right) \ \ \ (\text{第2行を}-1\text{倍した}) \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \rightarrow \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -4 & 2 & 1 \end{array}\right) \ \ \ (\text{第3行に第2行の}-2\text{倍を加えた}) \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \rightarrow \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 5 & -2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -4 & 2 & 1 \end{array}\right) \ \ \ (\text{第1行に第3行の}-1\text{倍を加えた}) \)
左側が単位行列になったので，右側の行列が逆行列である．
\( \displaystyle \ \ \ \ \ A^{-1}=\begin{pmatrix} 5 & -2 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \\ -4 & 2 & 1 \end{pmatrix} \)

※(上のようにして逆行列が求まる理由)行基本変形は，特定の正則行列を左からかけることに相当する．例えば，
第\( \displaystyle 2 \)行に第\( \displaystyle 1 \)行の\( \displaystyle c \)倍を加える行基本変形\( \displaystyle \leftrightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ c & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)
第\( \displaystyle 2 \)行を\( \displaystyle c \)倍する行基本変形\( \displaystyle \leftrightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & c & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)
第\( \displaystyle 2 \)行と第\( \displaystyle 3 \)行を入れ替える行基本変形\( \displaystyle \leftrightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \)
最初，\( \displaystyle \left(\begin{array}{c|c} A & E \end{array}\right) \)の形からスタートし，行基本変形に対応する正則行列\( \displaystyle P_1, P_2, P_3 \)を\( \displaystyle A \)にかけ，単位行列にできたとすると，
\( \displaystyle \left(\begin{array}{c|c} A & E \end{array}\right) \rightarrow \left(\begin{array}{c|c} P_1 A & P_1 \end{array}\right) \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \rightarrow \left(\begin{array}{c|c} P_2 P_1 A & P_2 P_1 \end{array}\right) \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \rightarrow \left(\begin{array}{c|c} P_3 P_2 P_1 A & P_3 P_2 P_1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c|c} E & P_3 P_2 P_1 \end{array}\right) \)
となる．\( \displaystyle (P_3 P_2 P_1)A=E \)であるから，右側に記録されている\( \displaystyle P_3 P_2 P_1 \)を\( \displaystyle A^{-1} \)として答えればよい．

◯余因子行列と逆行列の存在条件

(1) 正方行列\( \displaystyle A \)について，\( \displaystyle i \)行と\( \displaystyle j \)列を取り除いた1つサイズの小さい行列の行列式に\( \displaystyle (-1)^{i+j} \)をかけたものを\( \displaystyle (i,j) \)余因子といい，\( \displaystyle \tilde{a}_{ij} \)で表す．また，余因子を「行と列を入れ替えて」並べた次の行列を，\( \displaystyle A \)の余因子行列といい，\( \displaystyle \tilde{A} \)や\( \displaystyle \mathrm{Cof}A \)で表す．例えば，
\( \displaystyle A=\begin{pmatrix} \color{red}{a_{11}} & \color{red}{a_{12}} & \color{red}{a_{13}} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} \)の余因子行列は， \( \displaystyle \tilde{A} = \begin{pmatrix} \color{blue}{\tilde{a}_{11}} & \tilde{a}_{21} & \tilde{a}_{31} \\ \color{blue}{\tilde{a}_{12}} & \tilde{a}_{22} & \tilde{a}_{32} \\ \color{blue}{\tilde{a}_{13}} & \tilde{a}_{23} & \tilde{a}_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{22} & a_{23} \end{vmatrix} \\ -\begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{21} & a_{23} \end{vmatrix} \\ \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} \end{pmatrix} \)
(2) 行列\( \displaystyle A \)とその余因子行列\( \displaystyle \tilde{A} \)について，\( \displaystyle A\tilde{A}=\tilde{A}A=|A|E \)
(3) \( \displaystyle A \)の逆行列が存在する \( \displaystyle \Leftrightarrow |A| \neq 0 \)

(2)(3)補足 (クリックして下さい)

※((2)について)例えば，
\( \displaystyle A=\begin{pmatrix} \color{red}{a_{11}} & \color{red}{a_{12}} & \color{red}{a_{13}} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} \)と\( \displaystyle \tilde{A} = \begin{pmatrix} \color{blue}{\tilde{a}_{11}} & \tilde{a}_{21} & \tilde{a}_{31} \\ \color{blue}{\tilde{a}_{12}} & \tilde{a}_{22} & \tilde{a}_{32} \\ \color{blue}{\tilde{a}_{13}} & \tilde{a}_{23} & \tilde{a}_{33} \end{pmatrix} \)
の積\( \displaystyle A\tilde{A} \)の\( \displaystyle (1,1) \)成分は，\( \displaystyle \color{red}{a_{11}}\color{blue}{\tilde{a}_{11}}+\color{red}{a_{12}}\color{blue}{\tilde{a}_{12}}+\color{red}{a_{13}}\color{blue}{\tilde{a}_{13}} \)で，これは\( \displaystyle A \)の第1行に関する余因子展開であるから，\( \displaystyle |A| \)となる．
一方，例えば\( \displaystyle A\tilde{A} \)の\( \displaystyle (1,2) \)成分は，\( \displaystyle \color{red}{a_{11}}\tilde{a}_{21}+\color{red}{a_{12}}\tilde{a}_{22}+\color{red}{a_{13}}\tilde{a}_{23} \)であり，これは
\( \displaystyle A’=\begin{pmatrix} \color{red}{a_{11}} & \color{red}{a_{12}} & \color{red}{a_{13}} \\ \color{red}{a_{11}} & \color{red}{a_{12}} & \color{red}{a_{13}} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} \)と\( \displaystyle \tilde{A} = \begin{pmatrix} \color{blue}{\tilde{a}_{11}} & \tilde{a}_{21} & \tilde{a}_{31} \\ \color{blue}{\tilde{a}_{12}} & \tilde{a}_{22} & \tilde{a}_{32} \\ \color{blue}{\tilde{a}_{13}} & \tilde{a}_{23} & \tilde{a}_{33} \end{pmatrix} \)
の，第2行に関する余因子展開と同じであるから，\( \displaystyle |A’| \)となるが，\( \displaystyle A’ \)は同じ行を含む行列であるから，\( \displaystyle |A’|=0 \)である．
以上のことを一般化すると，
　・\( \displaystyle A\tilde{A} \)の\( \displaystyle (i,i) \)成分(対角成分)は\( \displaystyle |A| \)
　・\( \displaystyle i \neq j \)のとき，\( \displaystyle A\tilde{A} \)の\( \displaystyle (i,j) \)成分(対角成分以外の成分)は\( \displaystyle 0 \)
となるから，\( \displaystyle A\tilde{A}=|A|E \)が導かれる．列に関する余因子展開を考えれば，\( \displaystyle \tilde{A}A=|A|E \)も同様に導かれる．
※((3)について) \( \displaystyle A \)の逆行列が存在するとき，\( \displaystyle AA^{-1}=E \)により\( \displaystyle |A||A^{-1}|=1 \) \( \displaystyle \therefore |A| \neq 0 \)
\( \displaystyle |A| \neq 0 \)のとき，(2)により，\( \displaystyle A\left( \frac{\tilde{A}}{|A|} \right)=\left( \frac{\tilde{A}}{|A|} \right)A=E \)であるから，\( \displaystyle \frac{\tilde{A}}{|A|} \)が逆行列．

※\( \displaystyle \mathrm{Cofactor} \)…余因子
※とくに，2次正方行列\( \displaystyle A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \)については，\( \displaystyle |A|=ad-bc \neq 0 \)のとき逆行列をもち，その逆行列は，
\( \displaystyle A^{-1}=\frac{\tilde{A}}{|A|} = \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} +d & -c \\ -b & +a \end{pmatrix}^{T}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \)
ここで，\( \displaystyle A^{T} \)は，転置記号(transpose)で，行と列を入れ替えることを意味する

(例，京都府)
行列 \( \displaystyle A=\begin{pmatrix}3&0&0\\1&4&2\\5&-1&0\end{pmatrix} \) について，次の問いに答えなさい．
(1) 行列式 \( \displaystyle \det A \) を求めなさい．
(2) \( \displaystyle A \) の余因子行列 \( \displaystyle \tilde{A} \) を求めなさい．
(3) \( \displaystyle A^{-1} \) が存在するならば，\( \displaystyle A^{-1} \) を求めなさい．

説明例(クリックして下さい)

(1)第1行に関して余因子展開をして，
\( \displaystyle \det A=3\cdot\begin{vmatrix}4&2\\-1&0\end{vmatrix}-0+0=3\cdot2=6 \) (答)

(2) \( \displaystyle \tilde{A}=\begin{pmatrix} \begin{vmatrix}4&2\\-1&0\end{vmatrix} & -\begin{vmatrix}1&2\\5&0\end{vmatrix} & \begin{vmatrix}1&4\\5&-1\end{vmatrix}\\ -\begin{vmatrix}0&0\\-1&0\end{vmatrix} & \begin{vmatrix}3&0\\5&0\end{vmatrix} & -\begin{vmatrix}3&0\\5&-1\end{vmatrix}\\ \begin{vmatrix}0&0\\4&2\end{vmatrix} & -\begin{vmatrix}3&0\\1&2\end{vmatrix} & \begin{vmatrix}3&0\\1&4\end{vmatrix} \end{pmatrix}^T =\begin{pmatrix} 2&0&0\\ 10&0&-6\\ -21&3&12 \end{pmatrix} \) (答)

(3) \( \displaystyle |A|=6\neq0 \)であるから逆行列は存在し，
\( \displaystyle A^{-1}=\frac{\tilde{A}}{|A|}=\frac{1}{6}\begin{pmatrix} 2&0&0\\ 10&0&-6\\ -21&3&12 \end{pmatrix} \) (答)

◯行列式と連立一次方程式

連立方程式 \( \displaystyle \begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3=\color{#00A0E9}{b_1}\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3=\color{#00A0E9}{b_2}\\ a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3=\color{#00A0E9}{b_3} \end{cases} \) は，
\( \displaystyle A= \begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{pmatrix}, \quad \vec{x}= \begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{pmatrix}, \quad \vec{b}= \begin{pmatrix} \color{#00A0E9}{b_1}\\ \color{#00A0E9}{b_2}\\ \color{#00A0E9}{b_3} \end{pmatrix} \) とおくと， \( \displaystyle A\vec{x}=\vec{b} \) と表される．

(1) \( \displaystyle A\vec{x}=\vec{0} \) が， \( \displaystyle \vec{0} \) （自明な解）以外の解をもつ \( \displaystyle \Leftrightarrow |A|=0 \)
(2) \( \displaystyle A\vec{x}=\vec{b} \) の解がただ1つ存在する \( \displaystyle \Leftrightarrow |A|\neq0 \)．また， \( \displaystyle |A|\neq0 \) のとき， \( \displaystyle \vec{x}=A^{-1}\vec{b} \)

(1)(2)補足 (クリックして下さい)

※((1)について)
(⇒) \( \displaystyle |A|\neq0 \) のとき，逆行列 \( \displaystyle A^{-1} \) を \( \displaystyle A\vec{x}=\vec{0} \) に左からかけて， \( \displaystyle \vec{x}=\vec{0} \) ．よって \( \displaystyle A\vec{x}=\vec{0} \) は自明な解しかもたない．
(⇐) 行列 \( \displaystyle A \) を行基本変形して上三角行列 \( \displaystyle B \) に変形したとき， \( \displaystyle |A|=0 \Leftrightarrow |B| =\text{（}B\text{の対角成分の積）} =0 \) であるから， \( \displaystyle B \) の対角成分の少なくとも1つが0となる．よって，行基本変形によってすべての成分が0の行を作ることができるから，方程式の解は任意定数を含む形で表される（無数の解をもつ）．

※((2)について)
(⇐) \( \displaystyle |A|\neq0 \) のとき，逆行列 \( \displaystyle A^{-1} \) を左からかけて， \( \displaystyle \vec{x}=A^{-1}\vec{b} \)
(⇒) \( \displaystyle |A|=0 \) のとき，(1)と同様に，係数行列について行基本変形を可能な限り進めて，すべての成分が0の行をできるだけ多く作った状態にする．このとき，拡大係数行列に対しても同様の行基本変形を施した後の右辺を考える．すべての成分が0になった行に対応する，変形後の右辺の成分がすべて0であれば，解が任意定数を含んだ形で表される（無数の解をもつ）．また，変形後の右辺の成分に0以外のものが1つでもあれば， \( \displaystyle 0=\text{（}0\text{以外の数）} \) という矛盾した式が発生するため，解は存在しない．いずれの場合も，「解がただ1つ存在する」は否定される．

※((2)の後半について)余因子行列を使うと
\( \displaystyle \vec{x} =A^{-1}\vec{b} =\frac{\tilde{A}}{|A|}\vec{b} =\frac{1}{|A|} \begin{pmatrix} \tilde{a}_{11}&\tilde{a}_{21}&\tilde{a}_{31}\\ \tilde{a}_{12}&\tilde{a}_{22}&\tilde{a}_{32}\\ \tilde{a}_{13}&\tilde{a}_{23}&\tilde{a}_{33} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \color{#00A0E9}{b_1}\\ \color{#00A0E9}{b_2}\\ \color{#00A0E9}{b_3} \end{pmatrix} \) となるが，これはクラメルの公式そのものである．実際，例えば \( \displaystyle x_1 \) について，
\( \displaystyle x_1 = \frac{1}{|A|} \left( \color{#00A0E9}{b_1}\tilde{a}_{11} +\color{#00A0E9}{b_2}\tilde{a}_{21} +\color{#00A0E9}{b_3}\tilde{a}_{31} \right) = \frac{ \begin{vmatrix} \color{#00A0E9}{b_1}&a_{12}&a_{13}\\ \color{#00A0E9}{b_2}&a_{22}&a_{23}\\ \color{#00A0E9}{b_3}&a_{32}&a_{33} \end{vmatrix} }{|A|} \qquad (\because\ \text{第1列に関する余因子展開}) \) となる．

◯ベクトルの1次独立と1次従属

(1)\( \displaystyle n \)個のベクトル \( \displaystyle \vec{v}_1, \vec{v}_2, \cdots, \vec{v}_n \) に対し，
\( \displaystyle c_1 \vec{v}_1 + c_2 \vec{v}_2 + \cdots + c_n \vec{v}_n = \vec{0} \)
を満たす定数 \( \displaystyle c_1, c_2, \cdots, c_n \) の組み合わせが， \( \displaystyle c_1 = c_2 = \cdots = c_n = 0 \)のときに限られるとき，これらのベクトルは1次独立（線形独立）であるという．1次独立ではないときは，1次従属（線形従属）という．
(2)・平面ベクトル\( \displaystyle \vec{v}_1, \vec{v}_2 \)について，\( \displaystyle \vec{v}_1, \vec{v}_2 \)が一次独立\( \displaystyle \iff \)行列\( \displaystyle \begin{pmatrix} \vec{v}_1 & \vec{v}_2 \end{pmatrix} \)が正則
・空間ベクトル\( \displaystyle \vec{v}_1, \vec{v}_2, \vec{v}_3 \)について，\( \displaystyle \vec{v}_1, \vec{v}_2, \vec{v}_3 \)が一次独立\( \displaystyle \iff \)行列\( \displaystyle \begin{pmatrix} \vec{v}_1 & \vec{v}_2 & \vec{v}_3 \end{pmatrix} \)が正則

説明例(クリックして下さい)

\( \displaystyle \vec{v}_1, \vec{v}_2 \)が一次独立\( \displaystyle \iff \vec{x} \)の方程式\( \displaystyle \begin{pmatrix} \vec{v}_1 & \vec{v}_2 \end{pmatrix} \vec{x} = \vec{0} \)が自明な解以外の解をもたない
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \iff |A| \neq 0 \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \iff A \)は正則
空間ベクトルの場合も同様に導ける．

※((1)について)2つの平面ベクトルが一次独立であることは，2つのベクトルで平行四辺形が作れることを意味する．また，3つの空間ベクトルが一次独立であることは，3つのベクトルで平行六面体が作れることを意味する．
※(2)は\( \displaystyle n \)本の\( \displaystyle n \)次元ベクトル\( \displaystyle \vec{v}_1, \vec{v}_2, \cdots, \vec{v}_n \)に対しても同様に成立．

◯行列式の利用

(1)平行四辺形の面積，平行六面体の体積
・2つのベクトル \( \displaystyle \vec{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}, \vec{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix} \) がつくる平行四辺形の面積 \( \displaystyle S \) は，
\( \displaystyle \ \ \ \ \ S = \left| \det \begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{pmatrix} \right| = |a_1 b_2 – a_2 b_1| \) (平面座標のところで既出)
・3つのベクトル \( \displaystyle \vec{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}, \vec{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}, \vec{c} = \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{pmatrix} \) がつくる平行六面体の体積 \( \displaystyle V \) は，
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ V = \left| \det \begin{pmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{pmatrix} \right| \)

(1)の後半説明例(クリックして下さい)

※((1)の後半の説明)
\( \displaystyle \vec{a} \)と\( \displaystyle \vec{b} \)がつくる平行四辺形の面積は，外積の大きさ\( \displaystyle |\vec{a} \times \vec{b}| \)に等しい．\( \displaystyle \vec{c} \)と\( \displaystyle \vec{a} \times \vec{b} \)のなす角を\( \displaystyle \theta \ (0 \leqq \theta \leqq \pi) \)とすると，
\( \displaystyle V = |\vec{a} \times \vec{b}| |\vec{c}| |\cos \theta| = |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}| \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ = c_1 \begin{vmatrix} a_2 & b_2 \\ a_3 & b_3 \end{vmatrix} – c_2 \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_3 & b_3 \end{vmatrix} + c_3 \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} \ \ \left( \because \vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} a_2 b_3 – a_3 b_2 \\ a_3 b_1 – a_1 b_3 \\ a_1 b_2 – a_2 b_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \begin{vmatrix} a_2 & b_2 \\ a_3 & b_3 \end{vmatrix} \\ -\begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_3 & b_3 \end{vmatrix} \\ \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} \end{pmatrix} \right) \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} \) (∵第３列に関する余因子展開)

(2)線形変換によって平行四辺形が移されるとき，変換後の平行四辺形の面積は，元の平行四辺形の面積に，変換を表す行列の行列式の絶対値を掛けたものになる．

(2)の説明例(クリックして下さい)

※((2)の説明)線形変換を表す行列を \( \displaystyle M \) とし，平面上の平行四辺形をつくる2つのベクトルを \( \displaystyle \vec{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}, \vec{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix} \) とする．このベクトルは線形変換によって \( \displaystyle M\vec{a} \)，\( \displaystyle M\vec{b} \) に移り，これらが変換後の平行四辺形をつくる．変換後の面積 \( \displaystyle S \) は，
\( \displaystyle \ \ \ \ \ S = \left| \det (M\vec{a}, M\vec{b}) \right| = \left| \det (M(\vec{a}, \vec{b})) \right| \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ = |\det M| \left| \det (\vec{a}, \vec{b}) \right| = |\det M| \times (\text{変換前の面積}) \)

※任意の図形は微小な平行四辺形に分割して考えることができるため，図形全体の面積も一様に \( \displaystyle |\det M| \) 倍になる．

(3) 同一直線上，同一平面上にある条件(あまり実用性はない)
・\( \displaystyle 2 \)次元平面上の\( \displaystyle 3 \)点 \( \displaystyle \mathrm{A}(x_1, y_1), \mathrm{B}(x_2, y_2), \mathrm{C}(x_3, y_3) \) が同一直線上にある条件は，例えば以下のように表すことができる．
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix} = 0 \)
・\( \displaystyle 3 \)次元空間上の\( \displaystyle 4 \)点 \( \displaystyle \mathrm{A}(x_1, y_1, z_1), \mathrm{B}(x_2, y_2, z_2), \mathrm{C}(x_3, y_3, z_3), \mathrm{D}(x_4, y_4, z_4) \) が同一平面上にある条件は，例えば以下のように表すことができる．
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & z_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & z_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & z_3 & 1 \\ x_4 & y_4 & z_4 & 1 \end{vmatrix} = 0 \)

(3)の説明例(クリックして下さい)

3点\( \displaystyle \mathrm{A, B, C} \)が同一直線上にある
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \iff \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AB}} = \begin{pmatrix} x_2 – x_1 \\ y_2 – y_1 \end{pmatrix} \) と \( \displaystyle \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AC}} = \begin{pmatrix} x_3 – x_1 \\ y_3 – y_1 \end{pmatrix} \) が平行
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \iff \begin{vmatrix} x_2 – x_1 & x_3 – x_1 \\ y_2 – y_1 & y_3 – y_1 \end{vmatrix} = 0 \iff \begin{vmatrix} x_2 – x_1 & y_2 – y_1 \\ x_3 – x_1 & y_3 – y_1 \end{vmatrix} = 0 \) (転置した)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \iff \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 – x_1 & y_2 – y_1 & 0 \\ x_3 – x_1 & y_3 – y_1 & 0 \end{vmatrix} = 0 \iff \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix} = 0 \)

4点\( \displaystyle \mathrm{A, B, C, D} \)が同一平面上にある
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \iff \)ある\( \displaystyle s, t \) が存在して，\( \displaystyle \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AD}} – s \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AB}} – t \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AC}} = \vec{0} \)と表される
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \iff s, t \)の方程式\( \displaystyle \begin{pmatrix} x_2 – x_1 & x_3 – x_1 & x_4 – x_1 \\ y_2 – y_1 & y_3 – y_1 & y_4 – y_1 \\ z_2 – z_1 & z_3 – z_1 & z_4 – z_1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -s \\ -t \\ 1 \end{pmatrix} = \vec{0} \)が解をもつ
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \iff \begin{vmatrix} x_2 – x_1 & x_3 – x_1 & x_4 – x_1 \\ y_2 – y_1 & y_3 – y_1 & y_4 – y_1 \\ z_2 – z_1 & z_3 – z_1 & z_4 – z_1 \end{vmatrix} = 0 \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \iff \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & z_1 & 1 \\ x_2 – x_1 & y_2 – y_1 & z_2 – z_1 & 0 \\ x_3 – x_1 & y_3 – y_1 & z_3 – z_1 & 0 \\ x_4 – x_1 & y_4 – y_1 & z_4 – z_1 & 0 \end{vmatrix} = 0 \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \iff \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & z_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & z_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & z_3 & 1 \\ x_4 & y_4 & z_4 & 1 \end{vmatrix} = 0 \)

※同一直線上にある条件は，平行四辺形の面積が\( \displaystyle 0 \)と考えても導ける．また，同一平面上にある条件は，平行六面体の体積が\( \displaystyle 0 \)と考えても導ける．
※とくに，点 \( \displaystyle A(x_0, y_0, z_0) \)を通り，2つの平行でないベクトル \( \displaystyle \vec{u} = \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix} \) と \( \displaystyle \vec{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} \) がはる平面上の方程式は，任意の点を \( \displaystyle P(x, y, z) \)，\( \displaystyle \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OB}} = \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OA}} + \vec{u} \)，\( \displaystyle \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OC}} = \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OA}} + \vec{v} \)として，\( \displaystyle \mathrm{A, P, B, C} \)が同一平面上にある条件を考えて
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \begin{vmatrix} x_0 & y_0 & z_0 & 1 \\ x & y & z & 1 \\ x_0 + u_1 & y_0 + u_2 & z_0 + u_3 & 1 \\ x_0 + v_1 & y_0 + v_2 & z_0 + v_3 & 1 \end{vmatrix} = 0 \ \left( \iff \begin{vmatrix} x – x_0 & y – y_0 & z – z_0 \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix} = 0 \right) \)

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