行列と線形写像 | きょうさい対策ブログ

○行列の定義

・数や文字を長方形の形に並べて，括弧で囲んだものを行列という．
・横の並びを行といい，上から順に第\( \displaystyle 1 \)行，第\( \displaystyle 2 \)行，\( \displaystyle \cdots \)という．また，縦の並びを列といい，左から順に第\( \displaystyle 1 \)列，第\( \displaystyle 2 \)列，\( \displaystyle \cdots \) という．第\( \displaystyle i \)列を縦ベクトル \( \displaystyle \overset{\xrightarrow{\quad}}{a_i} \) で表すことにすると，行列\( \displaystyle A \)は\( \displaystyle (\overset{\xrightarrow{\quad}}{a_1}, \overset{\xrightarrow{\quad}}{a_2}, \cdots) \)と表される．
・行列の第\( \displaystyle i \)行，第\( \displaystyle j \)列にある成分を\( \displaystyle (i, j) \)成分といい，これを \( \displaystyle a_{ij} \) と表す．行列全体を \( \displaystyle A=(a_{ij}) \)のように表すことで，行列のすべての成分を一括して表現できる．
・\( \displaystyle m \)個の行と\( \displaystyle n \)個の列からなる行列を「\( \displaystyle m \)行\( \displaystyle n \)列の行列」または「\( \displaystyle m \times n \)行列」という．とくに，\( \displaystyle n \)行\( \displaystyle n \)列の行列は\( \displaystyle n \)次の正方行列という．

○行列の和と差，定数(スカラー)倍，積

・行列の和と差は同じ型の行列 \( \displaystyle A = (a_{ij}) \) と \( \displaystyle B = (b_{ij}) \) 同士で定義され，対応する成分同士を加減する．
\( \displaystyle \ \ \ \ \ A+B=(a_{ij}+b_{ij}), A-B=(a_{ij}-b_{ij}) \)
・行列 \( \displaystyle A = (a_{ij}) \) の定数(スカラー)倍は，行列のすべての成分を定数倍する．
\( \displaystyle \ \ \ \ \ kA = (k \cdot a_{ij}) \ \ \ (k\text{は定数}) \)
・行列\( \displaystyle A \)の列数と行列\( \displaystyle B \)の行数が等しいとき，積\( \displaystyle AB \)が定義される．\( \displaystyle A = (a_{ij}) \) が\( \displaystyle m \)行\( \displaystyle n \)列の行列，\( \displaystyle B = (b_{jk}) \)が\( \displaystyle n \)行\( \displaystyle p \)列の行列のとき，積の \( \displaystyle (i, k) \) 成分\( \displaystyle c_{ik} \) は，次のように定義する．
\( \displaystyle \ \ \ \ \ c_{ik}=\sum_{j=1}^{n} a_{ij} \cdot b_{jk} \) (「\( \displaystyle A \)の\( \displaystyle i \)行目」と「\( \displaystyle B \)の\( \displaystyle k \)列目」の対応する成分の積を足し合わせる)

\( \displaystyle (例) 2 \)行\( \displaystyle 2 \)列の行列 \( \displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} \) について，
\( \displaystyle \ \ \ \ \ A+B=\begin{pmatrix} 1+5 & 2+6 \\ 3+7 & 4+8 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{pmatrix}=2\begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{pmatrix}, \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ A-B=\begin{pmatrix} 1-5 & 2-6 \\ 3-7 & 4-8 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -4 & -4 \\ -4 & -4 \end{pmatrix}=-4\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ AB =\begin{pmatrix} \textcolor{red}{1} & \textcolor{red}{2} \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \textcolor{blue}{5} & 6 \\ \textcolor{blue}{7} & 8 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \textcolor{red}{1} \cdot \textcolor{blue}{5}+\textcolor{red}{2} \cdot \textcolor{blue}{7} & \textcolor{red}{1} \cdot 6+\textcolor{red}{2} \cdot 8 \\ 3 \cdot \textcolor{blue}{5}+4 \cdot \textcolor{blue}{7} & 3 \cdot 6+4 \cdot 8 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{pmatrix}, \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ BA =\begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5 \cdot 1+6 \cdot 3 & 5 \cdot 2+6 \cdot 4 \\ 7 \cdot 1+8 \cdot 3 & 7 \cdot 2+8 \cdot 4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 23 & 34 \\ 31 & 46 \end{pmatrix} \)

※正方行列の積について，「任意の\( \displaystyle A, B \)で\( \displaystyle AB=BA \)」は成立しない(交換法則が成り立たない)．
※\( \displaystyle \overset{\xrightarrow{\quad}}{b_1}=\begin{pmatrix} 5 \\ 7 \end{pmatrix}, \overset{\xrightarrow{\quad}}{b_2}=\begin{pmatrix} 6 \\ 8 \end{pmatrix} \)とすると，\( \displaystyle AB \)は
\( \displaystyle \ \ \ \ \ AB=A\begin{pmatrix} \overset{\xrightarrow{\quad}}{b_1} & \overset{\xrightarrow{\quad}}{b_2} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} A\overset{\xrightarrow{\quad}}{b_1} & A\overset{\xrightarrow{\quad}}{b_2} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \begin{pmatrix} 19 \\ 43 \end{pmatrix} & \begin{pmatrix} 22 \\ 50 \end{pmatrix} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{pmatrix} \)
のように行列とベクトルの積を\( \displaystyle 2 \)つ並べたものとして考えることもできる．

○単位行列，零行列

・正方行列のうち，対角成分\( \displaystyle a_{ii} \)がすべて\( \displaystyle 1 \)で，それ以外の成分がすべて\( \displaystyle 0 \)であるものを単位行列といい，\( \displaystyle E \)で表す．任意の正方行列\( \displaystyle A \)に対して，それと同じ次数の単位行列\( \displaystyle E \)に対して\( \displaystyle AE=EA=A \)が成り立つ．
・すべての成分が\( \displaystyle 0 \)である行列を零行列といい，\( \displaystyle O \)で表す．任意の正方行列\( \displaystyle A \)に対して，それと同じ次数の正方行列である零行列に対して，\( \displaystyle AO=OA=O \)が成り立つ．

○離散グラフの行列表示

・頂点と辺からなる離散グラフの関係は，隣接行列を用いて表すことができる．
・頂点\( \displaystyle i \)から頂点\( \displaystyle j \)へ辺がある場合に\( \displaystyle (i, j) \)成分を\( \displaystyle 1 \)，ない場合に\( \displaystyle 0 \)とする．

(例) \( \displaystyle 3 \)つの頂点\( \displaystyle 1, 2, 3 \)があり，頂点\( \displaystyle 1 \)と\( \displaystyle 2 \)，頂点\( \displaystyle 2 \)と\( \displaystyle 3 \)の間に辺があるグラフの隣接行列は次の通り．

○線形写像の定義

幾何ベクトルを幾何ベクトルに移す写像\( \displaystyle f \)で，
\( \displaystyle \vec{x}, \vec{y} \)と定数(スカラー) \( \displaystyle k \) に対して，
(1) \( \displaystyle f(\vec{x}+\vec{y})=f(\vec{x})+f(\vec{y}) \) (2) \( \displaystyle f(k\vec{x})=kf(\vec{x}) \)
を満たすものを線形写像(一次写像)という．

※数の集合を\( \displaystyle 1 \)次元幾何ベクトルと同一視して，「幾何ベクトルから“数”への線形写像」も考えることができる．
※平面から平面，空間から空間など，定義域と値域が同じ集合である写像は，変換ともいう．
※本格的な定義では，定義域と値域は一般的な集合(線形空間)を考え，扱う対象を幾何ベクトルに限定しない．

○線形写像の行列による表現

線形写像は，ある行列\( \displaystyle M \)を用いて \( \displaystyle f(\vec{x})= M\vec{x} \) と表すことができる．

説明例(クリックして下さい)

(平面ベクトルを平面ベクトルに移す線形写像での説明)
基本ベクトルを \( \displaystyle \overset{\xrightarrow{\quad}}{e_1}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \overset{\xrightarrow{\quad}}{e_2}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \) とすると，任意の幾何ベクトル \( \displaystyle \vec{x}=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \) は，
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \vec{x}=x\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}+y\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=x\overset{\xrightarrow{\quad}}{e_1}+y\overset{\xrightarrow{\quad}}{e_2} \)
のように基本ベクトルを使った和として表現できる．

線形写像\( \displaystyle f \)の性質により，
\( \displaystyle f(\vec{x})=f\left(x\overset{\xrightarrow{\quad}}{e_1}+y\overset{\xrightarrow{\quad}}{e_2}\right) \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =f\left(x\overset{\xrightarrow{\quad}}{e_1}\right)+f\left(y\overset{\xrightarrow{\quad}}{e_2}\right) \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =xf\left(\overset{\xrightarrow{\quad}}{e_1}\right)+yf\left(\overset{\xrightarrow{\quad}}{e_2}\right) \ \ \ \cdots \text{①} \)
ここで，\( \displaystyle f\left(\overset{\xrightarrow{\quad}}{e_1}\right), f\left(\overset{\xrightarrow{\quad}}{e_2}\right) \)は幾何ベクトルであるから，その成分表示を
\( \displaystyle \ \ \ \ \ f\left(\overset{\xrightarrow{\quad}}{e_1}\right)=\begin{pmatrix} a_{11} \\ a_{21} \end{pmatrix}, f\left(\overset{\xrightarrow{\quad}}{e_2}\right)=\begin{pmatrix} a_{12} \\ a_{22} \end{pmatrix} \)
とすると，①から，
\( \displaystyle \ \ \ \ \ f(\vec{x})=x\begin{pmatrix} a_{11} \\ a_{21} \end{pmatrix}+y\begin{pmatrix} a_{12} \\ a_{22} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_{11}x+a_{12}y \\ a_{21}x+a_{22}y \end{pmatrix} \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=M\vec{x} \ \ \ \left(M=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}\text{とおいた}\right) \text{■} \)

※上の説明から，線形写像に対応する行列は，基本ベクトル\( \displaystyle \overset{\xrightarrow{\quad}}{e_1}, \overset{\xrightarrow{\quad}}{e_2} \)の行き先だけで\( \displaystyle M=\left(f\left(\overset{\xrightarrow{\quad}}{e_1}\right), f\left(\overset{\xrightarrow{\quad}}{e_2}\right)\right) \)と決定される．
※行列の性質により，上の逆「ある行列\( \displaystyle M \)を用いて \( \displaystyle f(\vec{x})= M\vec{x} \) と表される写像は線形写像である」も成り立つ．

(例)平面の線形変換の例

※例\( \displaystyle 1 \)は定義から直接\( \displaystyle f\left(\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix} ax \\ by \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \)と行列表示できることからも，線形写像であることがわかる．

(例，長野県)行列\( \displaystyle \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \)の表す線形変換(一次変換)によって，直線\( \displaystyle l \)上の点が，すべてこの直線\( \displaystyle l \)上に変換されるとき，このような直線\( \displaystyle l \)の方程式をすべて求める．

説明例(クリックして下さい)

行列\( \displaystyle M=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \)の表す一次変換を\( \displaystyle f \)とする．
直線\( \displaystyle l \)は，定点\( \displaystyle \mathrm{A} \)と方向ベクトル \( \displaystyle \vec{d}=\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \ \ \left((a, b) \neq (0, 0)\right) \)を用いて，
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OP}}=\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OA}}+t\vec{d} \ \ \ (t\text{は実数}) \ \ \ \cdots \text{①} \)
と表される．また，変換後の図形は，
\( \displaystyle \ \ \ \ \ f\left(\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OP}}\right)=f\left(\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OA}}\right)+tf(\vec{d}) \ \ \ (t\text{は実数}) \ \ \ \cdots \text{②} \)
のように表される．\( \displaystyle f(\vec{d})=M\vec{d}=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \)は\( \displaystyle \vec{0} \)にはならないから\( \displaystyle \left(\because \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}\text{とすると}\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}\right) \)，②は直線を表す．

①と②が同じ直線を表すためには，\( \displaystyle \vec{d}=\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \)と\( \displaystyle f(\vec{d})=\begin{pmatrix} 2a+b \\ a+2b \end{pmatrix} \)が平行であることが必要であるから，
\( \displaystyle \ \ \ \ \ a(a+2b)-(2a+b)b=0 \ \ \ (\Leftrightarrow (a+b)(a-b)=0) \)

(ア) \( \displaystyle a+b=0 \)のとき
直線の\( \displaystyle l \)傾きは\( \displaystyle \frac{b}{a}=-1 \)であるから，直線\( \displaystyle l \)は\( \displaystyle y=-x+n \)のように表される．
この直線上の点\( \displaystyle (0, n) \)の\( \displaystyle f \)による像\( \displaystyle (n, 2n) \)が，再び\( \displaystyle y=-x+n \)上にある条件は，
\( \displaystyle \ \ \ \ \ 2n=-n+n \ \ \ (\Leftrightarrow n=0) \)

(イ) \( \displaystyle a-b=0 \)の形のとき
直線の\( \displaystyle l \)傾きは\( \displaystyle \frac{b}{a}=1 \)であるから，直線\( \displaystyle l \)は\( \displaystyle y=x+n \)のように表される．
この直線上の点\( \displaystyle (0, n) \)の\( \displaystyle f \)による像\( \displaystyle (n, 2n) \)が，再び\( \displaystyle y=x+n \)上にある条件は，
\( \displaystyle \ \ \ \ \ 2n=n+n \)
であり，これは常に成立する．
以上により，求める直線\( \displaystyle l \)の方程式は，
\( \displaystyle \ \ \ \ \ y=x+k \ \ (k\text{は任意の実数}), y=-x \) (答)

※(固有ベクトルによる解釈)\( \displaystyle \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \)は，固有値\( \displaystyle 3, 1 \)をもち，固有値\( \displaystyle 3 \)に対応する固有ベクトルは\( \displaystyle \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \)，固有値\( \displaystyle 1 \)に対応する固有ベクトルは\( \displaystyle \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \)であるから，変換は，「直線\( \displaystyle y=-x \)方向の長さは変えず(\( \displaystyle 1 \)倍)，それと直交する\( \displaystyle y=x \)方向(右上・左下方向)に平面を\( \displaystyle 3 \)倍に引き延ばす操作」を意味する．

このことから，
・ \( \displaystyle y=x+k \)（\( \displaystyle k \)は任意の実数）←\( \displaystyle 3 \)倍に伸びる方向(\( \displaystyle y=x \))に平行な直線は、引き延ばされても直線の位置関係が不変
・\( \displaystyle y=-x \) ←この直線上の点は変換で不変
が求める直線であることが納得できる．

○合成変換

・複数の変換を続けて行う変換を，合成変換という．変換\( \displaystyle f \)のあとに続けて変換\( \displaystyle g \)を行う合成変換を\( \displaystyle g \circ f \)で表す．
・ベクトル \( \displaystyle \vec{x} \) にまず行列\( \displaystyle A \)で表される変換を施し，次に行列\( \displaystyle B \)で表される変換を施すとき，\( \displaystyle B(A\vec{x}) = (BA)\vec{x} \) となる．合成変換を表す行列は \( \displaystyle BA \) である．
※「任意の変換\( \displaystyle f, g \)で\( \displaystyle g \circ f = f \circ g \)」は成立しない(交換法則が成り立たない)．

(例，名古屋市) \( \displaystyle xy \)平面上で，\( \displaystyle x \)軸に関する対称移動を\( \displaystyle f \)，原点\( \displaystyle O \)のまわりの\( \displaystyle 60^\circ \)の回転移動を\( \displaystyle g \)とするとき，合成変換\( \displaystyle g \circ f \)を表す行列を求める．

説明例(クリックして下さい)

\( \displaystyle x \)軸に関する対称移動\( \displaystyle f \)を表す行列を\( \displaystyle F \)とすると，
点\( \displaystyle \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \)は\( \displaystyle \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \)に，点\( \displaystyle \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \)は\( \displaystyle \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix} \)に移るから，\( \displaystyle F = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \)である．
また，原点\( \displaystyle O \)のまわりの\( \displaystyle 60^\circ \)の回転移動\( \displaystyle g \)を表す行列を\( \displaystyle G \)とすると，
\( \displaystyle \ \ \ \ \ G=\begin{pmatrix} \cos 60^\circ & -\sin 60^\circ \\ \sin 60^\circ & \cos 60^\circ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & -\sqrt{3} \\ \sqrt{3} & 1 \end{pmatrix} \)
である．

よって，合成変換\( \displaystyle g \circ f \)を表す行列は，
\( \displaystyle \ \ \ \ \ GF=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & -\sqrt{3} \\ \sqrt{3} & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & \sqrt{3} \\ \sqrt{3} & -1 \end{pmatrix} \) (答)

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