平面図形の性質

(証明の方針)いずれも，点 \( \displaystyle \mathrm{C} \) を通り直線 \( \displaystyle \mathrm{AP} \) に平行な直線を引き，平行線の性質を使って示す．

(1) \( \displaystyle \triangle \mathrm{ABC} \) の重心を \( \displaystyle \mathrm{G} \)， \( \displaystyle \mathrm{BC} \) の中点を \( \displaystyle \mathrm{M} \) とすると，\( \displaystyle \mathrm{G} \) は \( \displaystyle \mathrm{AM} \) 上にある．
\( \displaystyle \mathrm{G} \) が \( \displaystyle \triangle \mathrm{ABC} \) の垂心に一致するため，\( \displaystyle \triangle \mathrm{ABM} \) と \( \displaystyle \triangle \mathrm{ACM} \) は直角三角形であり，
\( \displaystyle \triangle \mathrm{ABM} \equiv \triangle \mathrm{ACM} \) ．とくに \( \displaystyle \mathrm{AB}=\mathrm{AC} \) となる．
同様にして \( \displaystyle \mathrm{AB}=\mathrm{BC} \) であることがいえるから，\( \displaystyle \triangle \mathrm{ABC} \) は正三角形．■
(2) \( \displaystyle \triangle \mathrm{ABC} \) の内心を \( \displaystyle \mathrm{I} \) とすると，\( \displaystyle \angle \mathrm{ABI} = \angle \mathrm{CBI}, \angle \mathrm{ACI} = \angle \mathrm{BCI} \) となる．\( \displaystyle \angle \mathrm{IBC} = \theta \) とおく．
内心と外心が一致するため，\( \displaystyle \triangle \mathrm{IBC} \) は二等辺三角形となり，\( \displaystyle \angle \mathrm{IBC} = \angle \mathrm{ICB} \) ．
すなわち \( \displaystyle \angle \mathrm{ABC} = 2\theta = \angle \mathrm{ACB} \) で，\( \displaystyle \mathrm{AB}=\mathrm{AC} \) となる．
同様にして \( \displaystyle \mathrm{AB}=\mathrm{BC} \) であることがいえるから，\( \displaystyle \triangle \mathrm{ABC} \) は正三角形．■

※(1)は中心角と円周角の関係から \( \displaystyle 2\alpha+2\beta=360^\circ \) を導いて示せる．(2)は直径を通る辺をひき，円内部に直角三角形を作り，角度を考察して示せる(\( \displaystyle \alpha \) が鋭角，直角，鈍角の場合で場合分け)．
※((1)の逆)「四角形の向かい合う内角の和が \( \displaystyle 180^\circ \) であるとき，その四角形は円に内接する」も成立する．
(\( \displaystyle \because \) 四角形 \( \displaystyle \mathrm{ABCD} \) において \( \displaystyle \angle \mathrm{B} + \angle \mathrm{D} = 180^\circ \) とし，\( \displaystyle 3 \) 点 \( \displaystyle \mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C} \) を通る円を考える．直線 \( \displaystyle \mathrm{AC} \) に関して \( \displaystyle \mathrm{B} \) と反対側の円周上に点 \( \displaystyle \mathrm{E} \) をとると，四角形 \( \displaystyle \mathrm{ABCE} \) は円に内接するので \( \displaystyle \angle \mathrm{B} + \angle \mathrm{E} = 180^\circ \) となり，\( \displaystyle \angle \mathrm{D} = \angle \mathrm{E} \) が成り立つ．点 \( \displaystyle \mathrm{D} \) と点 \( \displaystyle \mathrm{E} \) は直線 \( \displaystyle \mathrm{AC} \) に関して同じ側にあるため，円周角の定理の逆より \( \displaystyle 4 \) 点 \( \displaystyle \mathrm{A}, \mathrm{C}, \mathrm{E}, \mathrm{D} \) は同一円周上にある．したがって，\( \displaystyle \mathrm{D} \) は \( \displaystyle 3 \) 点 \( \displaystyle \mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C} \) を通る円の上にある)
※((2)接弦定理の逆) 「円の周上の点 \( \displaystyle \mathrm{T} \) を通る直線 \( \displaystyle \mathrm{PT} \) と，弦 \( \displaystyle \mathrm{AT} \) がなす角 \( \displaystyle \angle \mathrm{PTA} \) が，その角の内部に含まれる弧 \( \displaystyle \mathrm{AT} \) に対する円周角 \( \displaystyle \angle \mathrm{ABT} \) と等しいとき，直線 \( \displaystyle \mathrm{PT} \) はその円の接線である．」も成立する．以下，鋭角の場合の説明．
(\( \displaystyle \because \angle \mathrm{PTA} = \angle \mathrm{ABT} = \alpha (< 90^\circ) \) とおき，点 \( \displaystyle \mathrm{T} \) を通る直径を \( \displaystyle \mathrm{TB’} \) とする．\( \displaystyle \angle \mathrm{B’TP} = 90^\circ \) を示せばよい．
\( \displaystyle \angle \mathrm{AB’T} = \angle \mathrm{ABT} = \alpha \) であり，\( \displaystyle \triangle \mathrm{B’AT} \) は直角三角形であるから，
\( \displaystyle \angle \mathrm{B’TA} = 90^\circ – \alpha \)
よって，\( \displaystyle \angle \mathrm{B’TP} = \angle \mathrm{B’TA} + \angle \mathrm{PTA} = (90^\circ – \alpha) + \alpha = 90^\circ \))

※いずれも，円周角の定理，円に内接する四角形の対角和が \( \displaystyle 180^\circ \) であること，接弦定理からそれぞれ相似な三角形を得て，導くことができる(どこに相似ができるかを理解しておくことのほうが有用)．
※(1)や(2)の逆「\( \displaystyle 2 \) つの線分 \( \displaystyle \mathrm{AB} \) と \( \displaystyle \mathrm{CD} \), または，それらの延長どうしが点 \( \displaystyle \mathrm{P} \) で交わるとき, \( \displaystyle \mathrm{PA} \cdot \mathrm{PB} = \mathrm{PC} \cdot \mathrm{PD} \) が成り立つならば, \( \displaystyle 4 \) 点 \( \displaystyle \mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}, \mathrm{D} \) は \( \displaystyle 1 \) つの円周上にある．」も成立する．
(\( \displaystyle \because \mathrm{PA} \cdot \mathrm{PB} = \mathrm{PC} \cdot \mathrm{PD} \iff \mathrm{PA}:\mathrm{PD} = \mathrm{PC}:\mathrm{PB} \) であり，かつ \( \displaystyle \angle \mathrm{APC} = \angle \mathrm{DPB} \) であるから \( \displaystyle \triangle \mathrm{PAC} \sim \triangle \mathrm{PDB} \) ．
とくに \( \displaystyle \angle \mathrm{PAC} = \angle \mathrm{PDB} \) となるから，(円周角の定理の逆，または，四角形の向かい合う内角の和が \( \displaystyle 180^\circ \) のときの性質により) \( \displaystyle 4 \) 点 \( \displaystyle \mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}, \mathrm{D} \) は \( \displaystyle 1 \) つの円周上にある．)
※(3)の逆「 一直線上にない \( \displaystyle 3 \) 点 \( \displaystyle \mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{T} \) および線分 \( \displaystyle \mathrm{AB} \) の延長上の点 \( \displaystyle \mathrm{P} \) について, \( \displaystyle \mathrm{PA} \cdot \mathrm{PB} = \mathrm{PT}^2 \) が成り立つならば, 直線 \( \displaystyle \mathrm{PT} \) は \( \displaystyle 3 \) 点 \( \displaystyle \mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{T} \) を通る円に接する．」も成立する．
(\( \displaystyle \because \mathrm{PA} \cdot \mathrm{PB} = \mathrm{PT}^2 \iff \mathrm{PA}:\mathrm{PT} = \mathrm{PT}:\mathrm{PB} \) であり，かつ \( \displaystyle \angle \mathrm{APT} = \angle \mathrm{TPB} \) (共通)であるから \( \displaystyle \triangle \mathrm{PTA} \sim \triangle \mathrm{PBT} \) ．
とくに \( \displaystyle \angle \mathrm{PTA} = \angle \mathrm{PBT} \) となるから，(接弦定理の逆により) \( \displaystyle \mathrm{PT} \) は \( \displaystyle \mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{T} \) を通る円に接する．)

\( \displaystyle \mathrm{AP}=a_1, \mathrm{BP}=a_2, \mathrm{DR}=b_1, \mathrm{CR}=b_2 \) とおくと，
\( \displaystyle S=\triangle \mathrm{OAB}+\triangle \mathrm{OBC}+\triangle \mathrm{OCD}+\triangle \mathrm{ODA} \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ =\frac{1}{2}ra+\frac{1}{2}r(a_2+b_2)+\frac{1}{2}rb+\frac{1}{2}r(b_1+a_1) \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ =\frac{1}{2}r(a+b+(a_1+a_2)+(b_1+b_2)) \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ =\frac{1}{2}r(a+b+a+b)=r(a+b) \) (答)