空間図形

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○相似な図形の面積比・体積比

(1) 相似比が\( \displaystyle m:n \)である相似な図形の面積比は \( \displaystyle m^2:n^2 \) である.
(2) 相似比が\( \displaystyle m:n \)である相似な図形の体積比は \( \displaystyle m^3:n^3 \) である.

○球の体積・表面積

半径\( \displaystyle r \)の球の体積は \( \displaystyle \frac{4}{3}\pi r^3 \),表面積は \( \displaystyle 4\pi r^2 \) である.

(例)底面が半径\( \displaystyle r \)の円，高さが\( \displaystyle r \)の円柱，半球，円錐の体積

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半径\( \displaystyle r \)の球の体積\( \displaystyle V(r) \)は，半円\( \displaystyle y=\sqrt{r^2-x^2} \)を\( \displaystyle x \)軸の周りに1回転させてできる図形の体積であるから，

\( \displaystyle \ \ \ \ \ V(r)=\int_{-r}^{r} \pi(r^2-x^2) \, dx \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = \pi \left[ r^2 x – \frac{1}{3} x^3 \right]_{-r}^{r} = \frac{4}{3}\pi r^3 \)
また，半径\( \displaystyle r \)の球の表面積を\( \displaystyle S(r) \)とすると，正の実数\( \displaystyle h \)に対して，
\( \displaystyle V(r)-V(r-h) \leqq S(r) \cdot h \leqq V(r+h)-V(r) \ \ (h \gt 0) \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \therefore \frac{V(r)-V(r-h)}{h} \leqq S(r) \leqq \frac{V(r+h)-V(r)}{h} \)
\( \displaystyle \lim_{h \to +0} \frac{V(r)-V(r-h)}{h} = \lim_{h \to +0} \frac{V(r+h)-V(r)}{h} = V'(r) \)
であるから \( \displaystyle S(r)=V'(r)=4\pi r^2 \) ■

○2直線の位置関係となす角

\( \displaystyle l, \ m \)を空間の異なる2直線とする.
・ \( \displaystyle l, \ m \) が同じ平面上にないとき，ねじれの位置にあるという．
・ \( \displaystyle l, \ m \) の位置関係は，①1点で交わる，②平行である，③ねじれの位置にある，のいずれかである．

・ \( \displaystyle l, \ m \) がねじれの位置にあるとき，\( \displaystyle l, \ m \) にそれぞれ平行な交わる直線 \( \displaystyle l’, \ m’ \)に対し，\( \displaystyle l’, \ m’ \)のなす角を\( \displaystyle l, \ m \) のなす角という．

・\( \displaystyle l, \ m \)のなす角が\( \displaystyle 90^\circ \)のとき，\( \displaystyle l, \ m \)は垂直であるといい，\( \displaystyle l \perp m \)と表す．また，垂直な2直線が交わるとき，それらは直交するという．

(例)立方体\( \displaystyle \mathrm{ABCD-EFGH} \)において，
(1)直線\( \displaystyle \mathrm{AC} \)と直線\( \displaystyle \mathrm{EH} \)はねじれの位置にあり，そのなす角は\( \displaystyle 45^\circ \)
(2)直線\( \displaystyle \mathrm{AC} \)と直線\( \displaystyle \mathrm{FH} \)はねじれの位置にあり，そのなす角は\( \displaystyle 90^\circ \)(\( \displaystyle \mathrm{AC} \)と\( \displaystyle \mathrm{FH} \)は垂直だが，直交はしていない)
(3)直線\( \displaystyle \mathrm{AC} \)と直線\( \displaystyle \mathrm{AF} \)は1点で交わり，そのなす角は\( \displaystyle 60^\circ \)

○2平面の位置関係となす角

\( \displaystyle \alpha, \ \beta \) を平面とする.
(1)\( \displaystyle \alpha, \ \beta \)の位置関係は，①平行である，②交わる，のいずれかである．

(2) \( \displaystyle \alpha, \ \beta \) が交わるとき，共有する直線を交線という．交線に垂直な \( \displaystyle \alpha, \ \beta \) 上の直線\( \displaystyle l, \ m \)に対し，\( \displaystyle l, \ m \)のなす角を\( \displaystyle \alpha, \ \beta \)のなす角という．

(例)立方体\( \displaystyle \mathrm{ABCD-EFGH} \)において，平面\( \displaystyle \mathrm{ABCD} \)と平面\( \displaystyle \mathrm{ABGH} \)のなす角は\( \displaystyle 45^\circ \)

○直線と平面の垂直条件

(定義)直線\( \displaystyle l \)が平面\( \displaystyle \alpha \)上の任意の直線と垂直であるとき，\( \displaystyle l \)と\( \displaystyle \alpha \)は垂直であるといい，\( \displaystyle l \perp \alpha \)で表す．
(性質)平面\( \displaystyle \alpha \)上の２直線\( \displaystyle m, \ n \)(ただし，\( \displaystyle m, \ n \)は平行でないとする)について，\( \displaystyle l \perp m \)かつ\( \displaystyle l \perp n \)ならば，\( \displaystyle l \perp \alpha \)となる．

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\( \displaystyle (\because) \)\( \displaystyle l, \ m, \ n \)の方向ベクトルをそれぞれ\( \displaystyle \vec{l}, \ \vec{a}, \ \vec{b} \)とすると，仮定により\( \displaystyle \vec{l} \cdot \vec{a} = 0, \ \vec{l} \cdot \vec{b} = 0 \)．\( \displaystyle \alpha \)上の任意のベクトルは，実数\( \displaystyle s, \ t \)を使って\( \displaystyle s\vec{a}+t\vec{b} \)と表され，\( \displaystyle \vec{l} \cdot (s\vec{a}+t\vec{b}) = s\vec{l} \cdot \vec{a} + t\vec{l} \cdot \vec{b} = 0 \)．

◯三垂線の定理

(例，三垂線の定理)平面\( \displaystyle \alpha \)上に直線\( \displaystyle l \)がある．\( \displaystyle \alpha \)上にない点\( \displaystyle \mathrm{A} \)，\( \displaystyle l \)上の点\( \displaystyle \mathrm{B} \)，\( \displaystyle l \)上にない\( \displaystyle \alpha \)上の点\( \displaystyle \mathrm{O} \)について，次が成り立つ．

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(1)
\( \displaystyle \begin{cases} \mathrm{OA} \perp \alpha \text{により，} \mathrm{OA} \perp l \\ \text{仮定により，} \mathrm{OB} \perp l \end{cases} \)
であるから，平面\( \displaystyle \mathrm{OAB} \perp l \)．とくに，\( \displaystyle \mathrm{AB} \perp l \) ■
(2) \( \displaystyle \mathrm{AB} \perp l \)， \( \displaystyle \mathrm{OB} \perp l \)により，平面\( \displaystyle \mathrm{OAB} \perp l \)
とくに，\( \displaystyle \mathrm{OA} \perp l \)．よって，
\( \displaystyle \mathrm{OA} \perp \mathrm{OB} \)， \( \displaystyle \mathrm{OA} \perp l \)により，\( \displaystyle \mathrm{OA} \perp \alpha \) ■

○空間図形の解法

…平面を抽出し，平面図形の処理をする

(例)1辺の長さが\( \displaystyle a \)の正四面体\( \displaystyle \mathrm{ABCD} \)について，次のものを求める．
(1)体積\( \displaystyle V \) (2)内接球の半径\( \displaystyle r \) (3)外接球の半径\( \displaystyle R \)

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(1)点\( \displaystyle \mathrm{A} \)から平面\( \displaystyle \mathrm{BCD} \)に垂線を下ろし，その交点を\( \displaystyle \mathrm{H} \)とする．

\( \displaystyle \mathrm{H} \)は三角形\( \displaystyle \mathrm{BCD} \)の外心(\( \displaystyle \because \mathrm{AH} \)を共通の辺，\( \displaystyle \mathrm{AB} \)，\( \displaystyle \mathrm{AC} \)，\( \displaystyle \mathrm{AD} \)を斜辺とする３つの直角三角形が合同)であり，正三角形の性質から，重心でもある．\( \displaystyle \mathrm{BH} \)と辺\( \displaystyle \mathrm{CD} \)との交点を\( \displaystyle \mathrm{E} \)とすると，
\( \displaystyle \mathrm{BH}=\frac{2}{3}\mathrm{BE}=\frac{2}{3} \cdot a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{a}{\sqrt{3}} \)
よって，\( \displaystyle \mathrm{AH}=\sqrt{1-\frac{1}{3}}a=\sqrt{\frac{2}{3}}a \)
\( \displaystyle \therefore V=\frac{1}{3} \cdot \left(\frac{1}{2}a^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \sqrt{\frac{2}{3}}a=\frac{\sqrt{2}}{12}a^3 \) (答)

(2)内接球の中心を\( \displaystyle \mathrm{I} \)とする．

四面体\( \displaystyle \mathrm{ABCD} \)の体積\( \displaystyle V \)は，４つの合同な四面体\( \displaystyle \mathrm{IABC} \)，\( \displaystyle \mathrm{IACD} \)，\( \displaystyle \mathrm{IADB} \)，\( \displaystyle \mathrm{IBCD} \)の体積の和であるから，
\( \displaystyle V=4 \times \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{1}{2}a^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot r \)
(1)で求めた\( \displaystyle V \)の値により，
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{1}{2}a^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \sqrt{\frac{2}{3}}a=4 \times \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{1}{2}a^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot r \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \therefore r=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{2}{3}}a=\frac{\sqrt{6}}{12}a \) (答)
(3)

外接球の中心を\( \displaystyle \mathrm{O} \)とすると\( \displaystyle \mathrm{OB}=\mathrm{OC}=\mathrm{OD} \)であるから，\( \displaystyle \mathrm{O} \)から平面\( \displaystyle \mathrm{BCD} \)への垂線を下ろすと，その交点は三角形\( \displaystyle \mathrm{BCD} \)の外心\( \displaystyle \mathrm{H} \)に一致する．よって，3点\( \displaystyle \mathrm{A} \)，\( \displaystyle \mathrm{O} \)，\( \displaystyle \mathrm{H} \)は同じ直線上にある．

\( \displaystyle \mathrm{OA}=\mathrm{OB} \)であるから，辺\( \displaystyle \mathrm{AB} \)の中点を\( \displaystyle \mathrm{M} \)とすると，
\( \displaystyle R=\frac{a}{2} \cdot \frac{1}{\cos\angle \mathrm{BAH}} \)
ここで，
\( \displaystyle \cos\angle \mathrm{BAH}=\frac{\mathrm{AH}}{\mathrm{AB}}=\frac{\sqrt{\frac{2}{3}}a}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3} \)
であるから，
\( \displaystyle \ \ \ \ \ R=\frac{a}{2} \cdot \frac{3}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{4}a \) (答)

(例2) 1辺の長さが6の正四面体\( \displaystyle \mathrm{ABCD} \)において，辺\( \displaystyle \mathrm{AB} \)の中点を\( \displaystyle \mathrm{E} \)とし，辺\( \displaystyle \mathrm{AD} \)上の点\( \displaystyle \mathrm{F} \)を\( \displaystyle \mathrm{AF}:\mathrm{FD}=1:2 \)を満たす点とするとき，\( \displaystyle \triangle \mathrm{CEF} \)の面積\( \displaystyle S \)を求める．

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条件により，\( \displaystyle \mathrm{AE}=3, \ \mathrm{AF}=2 \)である．

\( \displaystyle \triangle \mathrm{AEC} \)，\( \displaystyle \triangle \mathrm{AFC} \)，\( \displaystyle \triangle \mathrm{AEF} \)にそれぞれ余弦定理を適用して，
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \mathrm{CE}^2=6^2+3^2-2 \cdot 6 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2}=27 \ \ \ \ \ \therefore \mathrm{CE}=3\sqrt{3} \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \mathrm{CF}^2=6^2+2^2-2 \cdot 6 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2}=28 \ \ \ \ \ \therefore \mathrm{CF}=2\sqrt{7} \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \mathrm{EF}^2=3^2+2^2-2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2}=7 \ \ \ \ \ \therefore \mathrm{EF}=\sqrt{7} \)
よって，
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \cos\angle \mathrm{ECF}=\frac{27+28-7}{2 \cdot 3\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{7}}=\frac{4}{\sqrt{21}} \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \sin\angle \mathrm{ECF}=\sqrt{1-\left(\frac{4}{\sqrt{21}}\right)^2}=\sqrt{\frac{5}{21}} \)
したがって，
\( \displaystyle \ \ \ \ \ S=\frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{7} \cdot \sqrt{\frac{5}{21}}=3\sqrt{5} \) (答)