関数とグラフ

◯写像(関数)

集合 \( \displaystyle A \) から集合 \( \displaystyle B \) への対応 \( \displaystyle f \) であって，\( \displaystyle A \) の要素 \( \displaystyle a \) に対して，ただ1つの \( \displaystyle B \) の要素 \( \displaystyle f(a) \) が定まるとき，この対応 \( \displaystyle f \) を写像(関数)という．集合 \( \displaystyle A \) を定義域，とりうる値の範囲 \( \displaystyle f(A)=\{f(x)|x \in A\} \) を値域という．
※ \( \displaystyle A,B \) が数の集合である場合は，慣習的に，写像よりも関数と表現することが多い．

※関数の説明のバリエーション

◯区間・象限

(0) 集合 \( \displaystyle \{x | a \leqq x \leqq b\} \) 閉区間，\( \displaystyle \{x|a <x<b\}\)を開区間といい，それぞれ\( \displaystyle [a,b],(a,b) \)で表す．
(1) 不等式 \( \displaystyle x>0,y>0 \) の表す領域を第1象限という．
(2) 不等式 \( \displaystyle x<0,y>0 \) の表す領域を第2象限という．
(3) 不等式 \( \displaystyle x<0,y<0 \) の表す領域を第3象限という．
(4) 不等式 \( \displaystyle x>0,y<0 \) の表す領域を第4象限という．

◯基本的なグラフ

【直線】

・点 \( \displaystyle (p,q) \) を通り，傾きが \( \displaystyle m \) の直線は \( \displaystyle y=m(x-p)+q \)
・点 \( \displaystyle (p,q) \) を通り，\( \displaystyle y \) 軸に平行な直線は \( \displaystyle x=p \)

【2次関数のグラフ】

関数 \( \displaystyle y=a(x-p)^2+q \ (a \neq 0) \) のグラフは，
点 \( \displaystyle (p,q) \) を頂点，直線 \( \displaystyle x=p \) を軸とする放物線．
\( \displaystyle a>0 \) のとき下に凸，\( \displaystyle a<0 \) のとき上に凸．

【分数関数、無理関数のグラフ】

◯最大値・最小値

\( \displaystyle f(x) \) を関数とする．\( \displaystyle f(x) \) の値域に最大(最小)の値が存在するとき，その値を \( \displaystyle f(x) \) の最大値(最小値)という．

◯グラフの移動

\( \displaystyle p,q,a,b \ (a,b>0) \) を実数とする．曲線 \( \displaystyle C:f(x,y)=0 \) について，
(1) \( \displaystyle C \) を \( \displaystyle x \) 軸方向に \( \displaystyle p \)，\( \displaystyle y \) 軸方向に \( \displaystyle q \) だけ平行移動した曲線の方程式は \( \displaystyle f(x-p,y-q)=0 \) である．
(2) \( \displaystyle C \) を \( \displaystyle x \) 軸方向に \( \displaystyle a \) 倍，\( \displaystyle y \) 軸方向に \( \displaystyle b \) 倍した曲線の方程式は，\( \displaystyle f\left(\frac{x}{a},\frac{y}{b}\right)=0 \) である．
(3) \( \displaystyle C \) を \( \displaystyle x \) 軸，\( \displaystyle y \) 軸，原点，直線 \( \displaystyle y=x \) に関して対称移動した曲線の方程式は，それぞれ
\( \ \ \displaystyle f(x,-y)=0 \)，\( \displaystyle f(-x,y)=0 \)，
\(\ \ \displaystyle f(-x,-y)=0 \)，\( \displaystyle f(y,x)=0 \) である．

説明例(クリックして下さい)

((1)について)

\( \displaystyle C \) を \( \displaystyle x \) 軸方向に \( \displaystyle p \)，\( \displaystyle y \) 軸方向に \( \displaystyle q \) だけ平行移動した曲線を \( \displaystyle D \) とすると，
「点 \( \displaystyle (x,y) \) が \( \displaystyle D \) 上にある」
\( \displaystyle \iff \) 「\( \displaystyle x=s+p,y=t+q,f(s,t)=0 \) を満たす実数 \( \displaystyle s,t \) が存在する」
\( \displaystyle \iff f(x-p,y-q)=0 \) (∵ \( \displaystyle s=x-p,t=y-q \))
\( \displaystyle \therefore D:f(x-p,y-q)=0 \) ■

((2)について)

\( \displaystyle C \) を \( \displaystyle x \) 軸方向に \( \displaystyle a \) 倍，\( \displaystyle y \) 軸方向に \( \displaystyle b \) 倍した曲線を \( \displaystyle D \) とすると，
「点 \( \displaystyle (x,y) \) が \( \displaystyle D \) 上にある」
\( \displaystyle \iff \) 「\( \displaystyle x=as,y=bt,f(s,t)=0 \) を満たす実数 \( \displaystyle s,t \) が存在する」
\( \displaystyle \iff f\left(\frac{x}{a},\frac{y}{b}\right)=0 \) (∵ \( \displaystyle a>0,b>0 \))
\( \displaystyle \therefore D:f\left(\frac{x}{a},\frac{y}{b}\right)=0 \) ■

((3)について)

\( \displaystyle x \) 軸に関して対称移動した曲線を \( \displaystyle D \) とすると，
「点 \( \displaystyle (x,y) \) が \( \displaystyle D \) 上にある」
\( \displaystyle \iff \) 「\( \displaystyle x=s,y=-t,f(s,t)=0 \) を満たす実数 \( \displaystyle s,t \) が存在する」
\( \displaystyle \iff f(x,-y)=0 \) (∵ \( \displaystyle s=x,t=-y \))
\( \displaystyle \therefore D:f(x,-y)=0 \) ■
(\( \displaystyle y \) 軸対称，原点対称，\( \displaystyle y=x \) 対称も同様に示せる．)

(関連)偶関数と奇関数
・定義域のすべての \( \displaystyle x \) で \( \displaystyle f(-x)=f(x) \) がなりたつ関数 \( \displaystyle f(x) \) を偶関数という．
・定義域のすべての \( \displaystyle x \) で \( \displaystyle f(-x)=-f(x) \) がなりたつ関数 \( \displaystyle f(x) \) を奇関数という．
・偶関数のグラフは，\( \displaystyle y \) 軸に関して対称である．奇関数のグラフは，原点に関して対称である．

◯定数分離

\( \displaystyle x \) の方程式 \( \displaystyle f(x)=k \) が解をもつ \( \displaystyle \iff y=f(x) \) のグラフと \( \displaystyle y=k \) のグラフが共有点をもつ
※ \( \displaystyle f(x)=ax+k \) 形でも同様に考察でき，この場合は一次分離ということがある．

◯逆像法

\( \displaystyle k \) が \( \displaystyle f(x) \) の値域に含まれる \( \displaystyle \iff \) 方程式 \( \displaystyle f(x)=k \) が定義域に解をもつ
※関数 \( \displaystyle y=f(x) \) について，\( \displaystyle f^{-1}(k)=\{a|f(a)=k\} \) を \( \displaystyle k \) の逆像という．

(例)関数 \( \displaystyle f(x)=x+\frac{1}{x} \) の値域を求める．

◯相加・相乗平均の不等式

\( \displaystyle a,b,c \) を \( \displaystyle 0 \) 以上の実数とする．
(1) \( \displaystyle \frac{a+b}{2} \geqq \sqrt{ab} \) (等号成立条件は \( \displaystyle a=b \))
(2) \( \displaystyle \frac{a+b+c}{3} \geqq \sqrt[3]{abc} \) (等号成立条件は \( \displaystyle a=b=c \))

◯多変数関数の処理