分数式、無理式、ガウス記号

◯分数式の方程式・不等式

(1)\( \ \ \displaystyle \frac{a}{b}=c \iff b \neq 0 \) かつ \( \displaystyle a=bc \)
(2)\(\ \ \displaystyle \frac{a}{b}>c \iff (b>0 \) かつ \( \displaystyle a>bc) \) または \( \displaystyle (b<0 \) かつ \( \displaystyle a<bc) \)…①

◯分数対称式(独自名称)

\( \displaystyle x \) と \( \displaystyle \frac{1}{x} \) の対称式は，\( \displaystyle x \cdot \frac{1}{x}=1 \) であるから，\( \displaystyle x+\frac{1}{x} \) だけで表すことができる．

(例)
\( \displaystyle x^3+\frac{1}{x^3}=\left(x+\frac{1}{x}\right)^3-3 \cdot x \cdot \frac{1}{x} \cdot \left(x+\frac{1}{x}\right) \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\left(x+\frac{1}{x}\right)^3-3\left(x+\frac{1}{x}\right) \)

◯相反方程式

(1) 次数 \( \displaystyle n \) の多項式 \( \displaystyle P(x) \) のうち，「\( \displaystyle P(x)=x^n \cdot P\left(\frac{1}{x}\right) \)」が成り立つもの(係数を次数の順に並べると左右対称な並びとなるもの)を相反式といい，「相反式 \( \displaystyle =0 \)」と表される方程式を相反方程式という．
(2) \( \displaystyle 2n+1 \) 次の相反方程式は \( \displaystyle x=-1 \) を解にもち，\( \displaystyle (x+1)f(x)=0 \) (\( \displaystyle f \) は \( \displaystyle n \) 次の相反式)に変形できる．
(3) \( \displaystyle 2n \) 次の相反方程式は，両辺を \( \displaystyle x^n \) で割ることで分数対称式の形がつくれ，\( \displaystyle x+\frac{1}{x} \) をカタマリとみて処理することができる．

(例)方程式 \( \displaystyle x^5+3x^4+x^3+x^2+3x+1=0 \cdots \text{①} \) について，上の(2)(3)を確かめながら解く．

◯無理式の方程式・不等式

無理式について，平方して根号をなくすような変形をするさいは，無理関数の定義域(根号内は \( \displaystyle 0 \) 以上)と値域(根号の値は \( \displaystyle 0 \) 以上)に気を遣う．
(1) \( \displaystyle \sqrt{a}=b \iff b \geqq 0 \) かつ \( \displaystyle a=b^2 \)
(2) \( \displaystyle \sqrt{a}<b \iff b>0 \) かつ \( \displaystyle a \geqq 0 \) かつ \( \displaystyle a <b^2 \)
(3) \( \displaystyle \sqrt{a}>b \iff (b \geqq 0 \) かつ \( \displaystyle a>b^2) \) または \( \displaystyle (b<0 \) かつ \( \displaystyle a \geqq 0\)

◯整数部分・小数部分・ガウス記号

(1)実数を \( \displaystyle x=m+a \) (\( \displaystyle m \) は整数, \( \displaystyle 0 \leqq a < 1 \)) のように表したとき，この \( \displaystyle m, a \) をそれぞれ \( \displaystyle x \) の整数部分，小数部分という．
(2) \( \displaystyle x \) の整数部分を \( \displaystyle [x] \) (ガウス記号)で表す．

◯ガウス記号の性質

\( \displaystyle m \) を整数とするとき，
・\( \displaystyle [x]=m \iff m \leqq x < m+1 \)
・\( \displaystyle 0 \leqq x-[x] < 1 \) (上右式で全項から \( \displaystyle [x] \) を引いた)
・\( \displaystyle [x+m]=[x]+m \)
※ガウス記号の処理をする際は，「\( \displaystyle [x] \) が整数であること」や「\( \displaystyle 0 \leqq x-[x] < 1 \)」を利用する．

(例，埼玉県)方程式 \( \displaystyle [x^2+3x-3]=5x \cdots \text{①} \) を解く．

◯分数式・有理式

・多項式 \( \displaystyle P \) と \( \displaystyle 1 \) 次以上の多項式 \( \displaystyle Q \) を用いて \( \displaystyle \frac{P}{Q} \) と表される式を分数式という．
・多項式と分数式を合わせて有理式という．
・これ以上約分できない分数式を既約分数式という．
・有理式の四則演算は，数や多項式と同様に計算する．

◯恒等式

(1) 両辺の式の値が存在する限り，含まれる文字にどのような値を代入しても成立する等式を恒等式という．
(2) 有理式 \( \displaystyle R(x),S(x) \) に対し，
\( \displaystyle R(x)=S(x) \) が \( \displaystyle x \) の恒等式である \( \displaystyle \iff R(x)=S(x) \)
(3)(全称条件の処理)「すべての ◯◯ で △△ となる」という条件は，直接処理するか，具体値を代入する(必要条件から絞り込む)方法で考えるとよい．

◯多項式の剰余の処理

・直接処理…商と余りの関係式 \( \displaystyle f(x)=g(x)q(x)+r(x) \) (\( \displaystyle r(x) \) の次数 \( \displaystyle < g(x) \) の次数) の形に変形する．
・間接処理…商と余りの関係式に，具体値を代入する（十分性は，商と余りの一意性から保証される）．
・\( \displaystyle 1 \) 次式で割った余りの処理…剰余の定理を利用する．

(例，山口県)整式(多項式) \( \displaystyle P(x) \) を \( \displaystyle x^2-3x+2 \) で割ると余りは \( \displaystyle x+2 \)，\( \displaystyle x^2-1 \) で割ると余りは \( \displaystyle 4x-1 \) である．\( \displaystyle P(x) \) を \( \displaystyle x^2-x-2 \) で割ったときの余りを求めよ．

◯比例式の処理

比を文字設定すると扱いやすくなる．

(例，石川県)
\( \displaystyle \frac{x}{-3}=\frac{y}{2}=-z \ (\neq 0) \) のとき，\( \displaystyle \frac{x+y+z}{4x-y+2z} \) の値を求める．