方程式と不等式

◯二次方程式の解の公式、判別式

・\( \displaystyle ax^2+bx+c=0 \ (a \neq 0) \) の解は
　　\( \displaystyle x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \)

・実数係数の二次方程式 \( \displaystyle ax^2+bx+c=0 \ (a \neq 0) \) …① について，\( \displaystyle D = b^2-4ac \) とするとき，次が成り立つ．
　\( \ \displaystyle D>0 \iff \) ①に異なる2つの実数解が存在する (①は異なる２つの実数解をもつ)
　\(\ \displaystyle D=0 \iff \) ①にただ1つの実数解(重解)が存在する (①はただ1つの実数解(重解)をもつ)
　\( \ \displaystyle D<0 \iff \) ①に異なる2つの虚数解が存在する (①は異なる２つの虚数解をもつ)

◯解と係数の関係

\( \displaystyle ax^2+bx+c=0 \ (a \neq 0) \)…① について，
\(\ \ \displaystyle \alpha,\beta \) は方程式①の2解 \( \displaystyle \iff \alpha+\beta =-\frac{b}{a}, \ \alpha\beta =\frac{c}{a} \)
\( \displaystyle ax^3+ bx^2+ cx + d = 0 \ (a \neq 0) \) … ② について，
\(\ \ \displaystyle \alpha,\beta,\gamma \) は方程式②の3解 \(\ \ \ \displaystyle \iff \alpha + \beta + \gamma =-\frac{b}{a}, \ \alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha =\frac{c}{a}, \ \alpha\beta\gamma =-\frac{d}{a} \)

◯連立方程式の解法

以下の同値変形を利用して，文字消去する．

(例1)連立方程式 \( \displaystyle \begin{cases} x+y=1 \\ x^2+2xy-y=1 \end{cases} \) を，代入法で解く．

(例2，高知県改題)連立方程式 \( \displaystyle \begin{cases} 2x^2+2y^2-3x-13y-9=0 \\ x^2+y^2-8y-9=0 \end{cases} \) を，加減法で解く．

◯対称式

(1)多項式 \( \displaystyle f(x,y) \) が \( \displaystyle f(y,x)= f(x,y) \) を満たすとき，\( \displaystyle f(x,y) \) を \( \displaystyle x,y \) の対称式という．
(2)\( \displaystyle s = x+y \)，\( \displaystyle t = xy \) とおく．\( \displaystyle x,y \) の対称式 \( \displaystyle f(x,y) \) は \( \displaystyle s,t \) の多項式で表される．\( \displaystyle s,t \) を \( \displaystyle x,y \) の基本対称式という．
(3)多項式 \( \displaystyle f(x,y,z) \) が \( \displaystyle f(y,x,z)= f(x,z,y)= f(z,y,x)= f(x,y,z) \) を満たすとき，\( \displaystyle f(x,y,z) \) を \( \displaystyle x,y,z \) の対称式という．
(4)\( \displaystyle s=x+y+z \)，\( \displaystyle t=xy+yz+zx \)，\( \displaystyle u =xyz \) とおく．\( \displaystyle x,y,z \) の対称式 \( \displaystyle f(x,y,z) \) は \( \displaystyle s,t,u \) の多項式で表される．\( \displaystyle s,t,u \) を \( \displaystyle x,y,z \) の基本対称式という．

◯実数の性質・有理数の性質

(1)\( \displaystyle a,b \) を正の定数，\( \displaystyle x,y \) を実数とするとき，
\( \ \ \ \displaystyle ax^2+by^2=0 \iff x=y=0 \)
(2)\( \displaystyle \alpha \) を無理数の定数，\( \displaystyle x,y \) を有理数とするとき，
\( \ \ \ \displaystyle x\alpha+y=0 \iff x=y=0 \)
(3)\( \displaystyle \alpha \) を虚数の定数，\( \displaystyle x,y \) を実数とするとき，
\( \ \ \ \displaystyle x\alpha+y=0 \iff x=y=0 \)

◯式の計算

\( \displaystyle x=\alpha \) を多項式 \( \displaystyle f(x) \) に代入するとき，\( \displaystyle \alpha \) の満たす多項式 \( \displaystyle g(x) \) をもとめ，\( \displaystyle f(x) \) を \( \displaystyle g(x) \) で割る計算をするとよい．

(例，高知県改題)
\( \displaystyle x=2+\sqrt{3} \) のとき，\( \displaystyle x^4-4x^3+2x^2-2x-3 \) の値を求める．