論理と集合

◯命題と条件

・「\( \displaystyle 3 \)は素数である」「長方形は正方形である」のような数学的な主張を命題という．
・命題が正しいとき，その命題は真であるといい，誤りであるとき，その命題は偽であるという．
・真の命題のうち，重要なものは定理という．
・「\( \displaystyle x>1 \)」「\( \displaystyle x^2+y^2=z^2 \)」「図形\( \displaystyle C \)は円である」のように，変数を含む主張を(その変数についての)条件という．条件を考える場合は，考察する範囲をあらかじめ定めておく．
・\( \displaystyle 2 \)つの条件\( \displaystyle p, q \)を用いて「\( \displaystyle p \)ならば\( \displaystyle q \)」の形で表される命題は，「\( \displaystyle p \)を満たすすべてのものが，\( \displaystyle q \)も満たす」ときに限り真である．また，記号で「 \( \displaystyle p \Rightarrow q \) 」とかく．\( \displaystyle p \)を仮定，\( \displaystyle q \)を結論という．

◯必要条件と十分条件

命題「\( \displaystyle p \Rightarrow q \)」が真であるとする．
このとき，
　条件 \( \displaystyle p \) は 条件 \( \displaystyle q \) であるための十分条件といい，
　条件 \( \displaystyle q \) は 条件 \( \displaystyle p \) であるための必要条件という．
「\( \displaystyle p \Rightarrow q \)」と「\( \displaystyle q \Rightarrow p \)」が真のとき，条件 \( \displaystyle p \) は 条件 \( \displaystyle q \) であるための必要十分条件という．また，条件\( \displaystyle p, q \)は同値であるといい，\( \displaystyle p \Leftrightarrow q \)と表す．

◯ドモルガンの法則、「すべて」と「ある」の否定

・\( \displaystyle \overline{p \text{ かつ } q} \Leftrightarrow \overline{p} \text{ または } \overline{q} \)
・\( \displaystyle \overline{p \text{ または } q} \Leftrightarrow \overline{p} \text{ かつ } \overline{q} \)
・「すべての \( \displaystyle x \) で \( \displaystyle p(x) \)」の否定は「ある \( \displaystyle x \) について \( \displaystyle \overline{p(x)} \)」
・「ある \( \displaystyle x \) について \( \displaystyle p(x) \)」の否定は「すべての \( \displaystyle x \) で \( \displaystyle \overline{p(x)} \)」

◯逆，裏，対偶

命題「\( \displaystyle p \Rightarrow q \)」に対し，
「\( \displaystyle q \Rightarrow p \)」を元の命題の逆，
「\( \displaystyle \overline{p} \Rightarrow \overline{q} \)」を元の命題の裏，
「\( \displaystyle \overline{q} \Rightarrow \overline{p} \)」を元の命題の対偶という．
対偶は，元の命題と真偽が一致する．

◯背理法

どんな命題でも，真か偽のどちらか一方だけが成り立つこと(排中律)を認めると，
命題の否定を仮定して矛盾が生じたとき，元の命題は真となる．
このように，命題の否定を仮定し矛盾を導くことで命題を証明する方法を背理法という．

◯集合・要素

(1)範囲のはっきりしたものの集まりを集合という.
(2)集合に属している1つ1つを，その集合の要素(元)という.
(3) \( \displaystyle a \)が集合\( \displaystyle A \)の要素であることを\( \displaystyle a \in A \)で表す． \( \displaystyle a \) が集合 \( \displaystyle A \) の要素でないことを\( \displaystyle a \notin A \)で表す.
(4) 集合は，
・\( \displaystyle \{a, b, c, \cdots \} \) (要素を列挙，モノに着目)
・{ \( \displaystyle x \mid x \) についての条件 } (要素の条件，性質に着目)
のどちらかで表す.

◯部分集合・空集合

\( \displaystyle A, B \) を集合とする.
(1)「\( \displaystyle x \in A \Rightarrow x \in B \)」のとき，\( \displaystyle A \)は\( \displaystyle B \)の部分集合であるといい，\( \displaystyle A \subset B \) または \( \displaystyle B \supset A \)で表す.
(2) \( \displaystyle A \subset B \)かつ\( \displaystyle A \supset B \)のとき，\( \displaystyle A = B \)で表す.
(3) 要素を1つももたない集合を空集合といい，\( \displaystyle \varnothing \)で表す.
(4) \( \displaystyle \varnothing \subset A \)

(例)自然数\( \displaystyle a, b, q, r \)について，
\( \displaystyle a = bq + r \)
が成り立つとき，\( \displaystyle (a, b) = (b, r) \)が成立する．
(ただし，自然数\( \displaystyle m, n \)の最大公約数を\( \displaystyle (m, n) \)で表す．)

○共通部分・和集合・全体集合・補集合

\( \displaystyle A, B \) を集合とする.
(1) 集合 { \( \displaystyle x \mid x \in A \) かつ \( \displaystyle x \in B \) }を\( \displaystyle A \)と\( \displaystyle B \) の共通部分といい，\( \displaystyle A \cap B \)で表す.
(2) 集合 { \( \displaystyle x \mid x \in A \) または \( \displaystyle x \in B \) }を\( \displaystyle A \)と\( \displaystyle B \)の和集合といい，\( \displaystyle A \cup B \) で表す.
(3) 全体として考える集合を全体集合という.
(4) \( \displaystyle U \)を全体集合，\( \displaystyle A \)を部分集合とする.{ \( \displaystyle x \mid x \in U \) かつ \( \displaystyle x \notin A \) }を \( \displaystyle A \) の補集合といい，\( \displaystyle \overline{A} \) で表す.

◯有限集合・無限集合・要素の個数

・有限個の要素からなる集合を有限集合という．
・有限集合ではない集合(無限に多くの要素からなる集合)を無限集合という．
・有限集合\( \displaystyle A \)に含まれる要素の個数を\( \displaystyle n(A) \)で表す．
・有限集合 \( \displaystyle U \)を全体集合，\( \displaystyle A, B \) をその部分集合とするとき，
\( \displaystyle \begin{cases} n(A \cup B) = n(A) + n(B) – n(A \cap B) \\ n(\overline{A}) = n(U) – n(A) \end{cases} \)
・有限集合 \( \displaystyle U \)を全体集合，\( \displaystyle A, B, C \) をその部分集合とするとき，
\( \displaystyle n(A \cup B \cup C) \)
\( \displaystyle = n(A) + n(B) + n(C) \)
\( \displaystyle – n(A \cap B) – n(B \cap C) – n(C \cap A) + n(A \cap B \cap C) \)

(例) \( \displaystyle 600 \)以下の自然数のうち，\( \displaystyle 3 \)でも\( \displaystyle 4 \)でも\( \displaystyle 5 \)でも割り切れない数の個数を求める．