数の種類、展開と因数分解

◯数の種類

※自然数が 1 から始まるのは学習指導要領に準拠したもの．
※整数 \( \displaystyle p,q \ (q \neq 0) \) による分数 \( \displaystyle \frac{p}{q} \) がそれ以上約分できない場合 ( \( \displaystyle \iff p,q \) が互いに素 ) は，既約分数という．
※無理数の集合を１文字で表す慣習はあまりなく，表す必要がある場合は \( \displaystyle \mathrm{R} \setminus \mathrm{Q} \) ( \( \displaystyle \mathrm{R} \) のうち \( \displaystyle \mathrm{Q} \) でないもの ) のように表す．

◯循環小数の分数表示

循環する部分の桁数 \( \displaystyle n \) に対し，\( \displaystyle 10^n r-r \) を計算して求める．
(例) \( \displaystyle r = 0.123123\cdots \) (循環する部分は 123 の3 桁)を分数表記する．

◯指数法則、展開公式

\( \displaystyle P^m \cdot P^n = P^{m+n}, \ (P^m)^n = P^{mn}, \ (PQ)^n = P^n \cdot Q^n \)

\( \displaystyle (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)
\( \displaystyle (a+b)^3 = a^3 + 3a^2 b + 3ab^2 + b^3 \)
\( \displaystyle (a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca \)

◯二項定理関係

\( \displaystyle (a+b)^n \) の展開式における \( \displaystyle a^{n-k} \cdot b^k \) の項の係数は \( \displaystyle {}_n\mathrm{C}_k \)

\( \displaystyle (a+b+c)^n \) の展開式における\( \displaystyle a^p \cdot b^q \cdot c^r \ (p+q+r=n, \ p \geqq 0, \ q \geqq 0, \ r \geqq 0) \)の項の係数は \( \displaystyle \frac{n!}{p!q!r!} \)

◯因数分解公式

\( \displaystyle a^2- b^2=(a+b)(a-b) \)
\( \displaystyle a^3\pm b^3= (a\pm b)(a^2\mp ab + b^2 ) \)
\( \displaystyle a^3+ b^3+ c^3- 3abc = (a+b+c)(a^2+ b^2+ c^2- ab – bc – ca) \)

◯複2次式の因数分解

\( \displaystyle (px^2\pm q)^2- (rx)^2 \) の形に変形する．

(例) \( \displaystyle x^4+ x^2+ 1 \)を因数分解する．

◯剰余の定理と因数定理

多項式 \( \displaystyle P(x) \) を \( \displaystyle ax-b \) で割ったときの商を \( \displaystyle Q(x) \)，余りを \( \displaystyle R \) とすると，
\( \displaystyle P(x)=(ax-b)Q(x)+R \) と表される．よって，
・剰余の定理：
多項式 \( \displaystyle P(x) \) を \( \displaystyle ax-b \) で割った余りは \( \displaystyle P\left( \frac{b}{a}\right) \)
・因数定理：
\( \displaystyle P(x) \) が \( \displaystyle ax-b \) で割り切れる \( \displaystyle \iff P\left( \frac{b}{a}\right)=0 \)

◯根号の性質

・\( \displaystyle (\sqrt{a})^2 = a, \ \sqrt{a^2} = |a| \)
・\( \displaystyle a \geqq 0, \ b \geqq 0 \) のとき，\( \displaystyle \sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \)
・\( \displaystyle a \geqq 0, \ b > 0 \) のとき，\( \displaystyle \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \)

・\( \displaystyle a \geqq b \geqq 0 \) のとき，\( \displaystyle \sqrt{a+b \pm 2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} \pm \sqrt{b} \)

◯絶対値の性質

・\( \displaystyle |a|^2= a^2, \ |ab|= |a| \cdot |b| \)

・\( \displaystyle a>0 \) のとき，
　\( \displaystyle |x|=a \iff x=a \) または \( \displaystyle x=-a \)
　\( \displaystyle |x|<a \iff -a<x<a \)
　\( \displaystyle |x|>a \iff x<-a \) または \( \displaystyle a<x \)