[指数関数・対数関数のよく使う変形]
| 元の形 | 有力な方法 |
| 指数関数 | \( \displaystyle a^x=a^y \)，\( \displaystyle a^x<a^y\)などの形 | 両辺を \( \displaystyle a^X \) の形に変形して指数を比較する |
| (上の形にできないとき) | \( \displaystyle a^X \) をカタマリで考える． |
| \( \displaystyle a^x \) と \( \displaystyle a^{-x} \) の対称式 | 「\( \displaystyle a^x+a^{-x} \)」のみで表す
(背景) \( \displaystyle a^x \cdot a^{-x}=1 \) から，対称式は \( \displaystyle a^x+a^{-x} \) のみで表すことができる． |
| 対数関数 | 和・差・実数倍のみで構成されている対数方程式・不等式 | \( \displaystyle \log_a x=\log_a y \) や \( \displaystyle \log_a x<\log_a y \) の形に変形し，真数を比較する．
(背景) \( \displaystyle \log_a MN=\log_a M+\log_a N \) や \( \displaystyle \log_a \frac{M}{N}=\log_a M-\log_a N \) を用いて \( \displaystyle \log \) をまとめることができる． |
| 積・商を含む対数方程式・不等式・関数 | \( \displaystyle \log_a X \) をカタマリで考える． |
(例1，沖縄県改題)
関数 \( \displaystyle y = 3(9^x + 9^{-x}) – 13(3^x + 3^{-x}) \) について，次の問に答えよ．
(1) 関数 \( \displaystyle y \) の最小値を求めよ．
(2) \( \displaystyle y = -16 \) となる \( \displaystyle x \) を求めよ．
説明例(クリックして下さい)
(1) \( \displaystyle t = 3^x + 3^{-x} \) とおく．
\( \displaystyle 3^x > 0 \)，\( \displaystyle 3^{-x} > 0 \) であるから，相加・相乗平均の不等式により，
\( \displaystyle \ \ \ \ t = 3^x + 3^{-x} \geqq 2 \cdot \sqrt{3^x \cdot 3^{-x}} = 2 \)
\( \displaystyle x = 0 \) のとき，等号が成立するから，\( \displaystyle t \) のとりうる値の範囲は \( \displaystyle t \geqq 2 \) である．
\( \displaystyle y = 3(t^2 – 2) – 13t \) (∵\( \displaystyle 9^x + 9^{-x} = t^2 – 2 \))
\( \displaystyle \ \ \ = 3t^2 – 13t – 6 \)
\( \displaystyle \ \ \ = 3\left(t – \frac{13}{6}\right)^2 – \frac{241}{12} \)
\( \displaystyle t \geqq 2 \) の範囲において，\( \displaystyle y \) は \( \displaystyle t = \frac{13}{6} \) のとき最小値 \( \displaystyle -\frac{241}{12} \) をとる．(答)
(2) \( \displaystyle y = -16 \) とする．
\( \displaystyle \ \ \ 3t^2 – 13t – 6 = -16 \)
\( \displaystyle \iff (3t – 10)(t – 1) = 0 \)
\( \displaystyle \iff t = \frac{10}{3} \) (∵\( \displaystyle t \geqq 2 \))
であるから，\( \displaystyle t = \frac{10}{3} \)．
また，
\( \displaystyle \ \ \ 3^x + 3^{-x} = \frac{10}{3} \)
\( \displaystyle \iff 3 \cdot (3^x)^2 – 10 \cdot 3^x + 3 = 0 \) (∵\( \displaystyle 3^x > 0 \))
\( \displaystyle \iff (3 \cdot 3^x – 1)(3^x – 3) = 0 \)
\( \displaystyle \iff 3^x = \frac{1}{3}, 3 \iff x = -1, 1 \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \therefore x = -1, 1 \) (答) |
※この例の「\( \displaystyle y = 3(9^x + 9^{-x}) – 13(3^x + 3^{-x}) \)」は「\( \displaystyle a^x \) と \( \displaystyle a^{-x} \) の対称式」の形であるから，\( \displaystyle a^x \cdot a^{-x} = 1 \) であることを考慮して，「\( \displaystyle 3^x + 3^{-x} \)」のみで表す変形を行った．
(例２，埼玉県)
方程式 \( \displaystyle \log_2 (x-2) + \log_2 (x-9) = 3 \) を解け．
説明例(クリックして下さい)
\( \displaystyle \log_2 (x-2) + \log_2 (x-9) = 3 \)
\( \displaystyle \iff \begin{cases} x-2>0, x-9>0 \ (\text{∵真数条件}) \\ \log_2 (x-2)(x-9) = \log_2 2^3 \end{cases} \)
\( \displaystyle \iff \begin{cases} x>9 \\ (x-2)(x-9) = 2^3 \end{cases} \)
\( \displaystyle \iff \begin{cases} x>9 \\ x^2 – 11x + 10 = 0 \ (\iff (x-1)(x-10) = 0) \end{cases} \)
\( \displaystyle \therefore x = 10 \) (答)
※この例の「( \displaystyle \log_2 (x-2) + \log_2 (x-9) = 3 )」は「和・差・実数倍のみで構成されている対数方程式」であるから，logの性質を使って \( \displaystyle \log_a x = \log_a y \) の形に整理する変形を行った．
(例３，長野県)
方程式 \( \displaystyle \log_2 x = \log_x 8 + 2 \) を解け．
説明例(クリックして下さい)
\( \displaystyle \log_2 x = \log_x 8 + 2 \)
\( \displaystyle \iff \begin{cases} x>0 \text{かつ} x \neq 1 \ (\text{∵真数条件,底の条件}) \\ \log_2 x = \frac{\log_2 8}{\log_2 x} + 2 \end{cases} \)
\( \displaystyle \iff \begin{cases} x>0 \text{かつ} x \neq 1 \\ (\log_2 x)^2 – 2 \log_2 x – 3 = 0 \ (\iff (\log_2 x – 3)(\log_2 x + 1) = 0) \end{cases} \)
\( \displaystyle \therefore x = 2^3 = 8 \ \text{または} \ x = 2^{-1} = \frac{1}{2} \)
※この例の「\( \displaystyle \log_2 x = \frac{\log_2 8}{\log_2 x} + 2 \)」は「積・商を含む対数方程式」であるから，\( \displaystyle \log_a X \) をカタマリで考える方針で変形を行った．
