指数・対数関数の諸知識 | きょうさい対策ブログ

○累乗根

\( \displaystyle n \) を自然数とする.
・ \( \displaystyle x^n=a \)を満たす数 \( \displaystyle x \) を \( \displaystyle a \) の \( \displaystyle n \) 乗根という．
・\( \displaystyle 2 \)乗根(平方根)，\( \displaystyle 3 \)乗根(立方根)，\( \displaystyle 4 \)乗根，\( \displaystyle \cdots \) をまとめて累乗根という．
・以下，\( \displaystyle a \)が実数の範囲で考える．\( \displaystyle n \)や\( \displaystyle a \)の値によって，\( \displaystyle n \)乗根は以下のように整理できる．

※\( \displaystyle \sqrt[2]{a} \) は，\( \displaystyle \sqrt{a} \) とかく．また，\( \displaystyle \sqrt[n]{0}=0 \) とする．

○指数の定義

\( \displaystyle \alpha \) を \( \displaystyle 0 \) でない複素数，\( \displaystyle a \) を正の実数，\( \displaystyle n \) を自然数，
\( \displaystyle m \) を整数，\( \displaystyle x \) を実数とする.
(1) \( \displaystyle \alpha^0 \) を \( \displaystyle 1 \)，\( \displaystyle \alpha^{-n} \) を \( \displaystyle \frac{1}{\alpha^n} \) で定める．
(2) \( \displaystyle a^{\frac{m}{n}} \) を \( \displaystyle \sqrt[n]{a^m} \) で定める．
(3) \( \displaystyle t \) を有理数の中で \( \displaystyle x \) に限りなく近づけるとき，\( \displaystyle a^t \) が限りなく近づく値を \( \displaystyle a^x \) で表す.
(4) \( \displaystyle a^x \) において，\( \displaystyle a \) を底という．

(関連)定義の背景など
・\( \displaystyle a^x \) の定義の背景…指数法則が成り立つように定義する．

	定義の仕方の背景
\( \displaystyle x \) を整数範囲に広げるとき	・\( \displaystyle \alpha^n \cdot \)\( \displaystyle \alpha^0 \)\( \displaystyle = \alpha^{n+0} = \alpha^n \)が成り立つように， \( \displaystyle \alpha^0 = 1 \)と定義する．・\( \displaystyle \alpha^n \cdot \)\( \displaystyle \alpha^{-n} \) \( \displaystyle = \alpha^{n+(-n)} = \alpha^0 = 1 \)が成り立つように， \( \displaystyle \alpha^{-n} = \frac{1}{\alpha^n} \)と定義する．
\( \displaystyle x \) を有理数範囲に広げるとき	・\( \displaystyle ( \)\( \displaystyle a^{\frac{m}{n}} \)\( \displaystyle )^n = a^{\frac{m}{n} \cdot n} = a^m \)が成り立つように， \( \displaystyle a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} \)と定義する．

・「底の条件」の背景　

	底の条件	底の条件が必要な背景
\( \displaystyle x \) が整数範囲をうごくとき	\( \displaystyle a \neq 0 \)．	\( \displaystyle a^{-n}=\frac{1}{a^n} \) を定義するさい，分母が \( \displaystyle 0 \) になるのを防ぐ
\( \displaystyle x \) が有理数範囲(や実数範囲)をうごくとき	\( \displaystyle a>0 \)	・\( \displaystyle a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m} \) で根号内が負，\( \displaystyle n \) が偶数のとき，対応する実数が存在しない( \( \displaystyle \sqrt[偶数]{負} \) の形)．・一意的に値が定まらないケースが発生する (例 \( \displaystyle (-1)^{\frac{1}{3}}=-1 \)，\( \displaystyle (-1)^{\frac{2}{6}}=\sqrt[6]{1}=1 \))

※さらに，指数関数 \( \displaystyle y=a^x \) を考えるときは，\( \displaystyle a \not= 1 \) という条件も追加する．\( \displaystyle a=1 \) のとき，\( \displaystyle a^x \) は常に値が \( \displaystyle 1 \) で(考えても面白くないというものもあるし)，逆関数をもたなくなり，対数関数を考える上で不都合．

○指数法則

\( \displaystyle a, b \) を正の実数，\( \displaystyle x, y \) を実数とする.
(1) \( \displaystyle a^x a^y=a^{x+y} \) (2) \( \displaystyle \frac{a^x}{a^y}=a^{x-y} \) (3) \( \displaystyle (a^x)^y=a^{xy} \)
(4) \( \displaystyle (ab)^x=a^x b^x \) (5) \( \displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^x=\frac{a^x}{a^y} \)

○指数関数のグラフ

○指数と大小関係

\( \displaystyle a \) を正の実数，\( \displaystyle x, y \) を実数とする.
(1) \( \displaystyle a \neq 1 \) のとき，\( \displaystyle a^x=a^y \iff x=y \)
(2) \( \displaystyle a>1 \) のとき，\( \displaystyle a^x>a^y \iff x>y \)
(3) \( \displaystyle 0<a<1\)のとき，\( \displaystyle a^x>a^y \iff x<y\)

○対数

\( \displaystyle a, b, M \) は実数で，\( \displaystyle a>0 \)，\( \displaystyle a \neq 1 \)，\( \displaystyle M>0 \) を満たすものとする.
(1) \( \displaystyle a^x=M \) を満たす実数 \( \displaystyle x \) を \( \displaystyle a \) を底とする \( \displaystyle M \) の対数といい，
\( \displaystyle \log_a M \) で表す.また，\( \displaystyle M \) を真数という.
(2) \( \displaystyle \log_a a^b = b \) (3) \( \displaystyle a^{\log_a M}=M \)

※ \( \displaystyle a>0 \)，\( \displaystyle a \neq 1 \) は指数関数を考えるための条件．\( \displaystyle M>0 \) は \( \displaystyle a^x=M \) を満たす実数 \( \displaystyle x \) が存在するための条件．

○対数の性質

\( \displaystyle a, b \) を \( \displaystyle 1 \) と異なる正の実数，\( \displaystyle k \) を実数，\( \displaystyle M, N \) を正の実数とする.
(1) \( \displaystyle \log_a MN = \log_a M + \log_a N \) (2) \( \displaystyle \log_a \frac{M}{N} = \log_a M – \log_a N \)
(3) \( \displaystyle \log_a M^k = k \log_a M \) (4) \( \displaystyle \log_a b \cdot \log_b M = \log_a M \) \( \displaystyle \left( \iff \log_b M = \frac{\log_a M}{\log_a b} \right) \)

説明例(クリックして下さい)

((1) の証明)
対数の定義により，\( \displaystyle M = a^{\log_a M}, N = a^{\log_a N} \) である．
\( \displaystyle MN = a^{\log_a M} \cdot a^{\log_a N} \)
\( \displaystyle \ \ \ = a^{\log_a M + \log_a N} \) (∵指数法則)
よって，\( \displaystyle \log_a MN = \log_a M + \log_a N \)．
(∵「\( \displaystyle \triangle = a^{\bigcirc} \)となるときの，\( \displaystyle \bigcirc \)のことを\( \displaystyle \log_a \triangle \)と表す」というlogの定義)

((2) の証明)
\( \displaystyle \frac{M}{N} = \frac{a^{\log_a M}}{a^{\log_a N}} \)
\( \displaystyle \ \ \ = a^{\log_a M – \log_a N} \) (∵指数法則)
よって，\( \displaystyle \log_a \frac{M}{N} = \log_a M – \log_a N \)．

((3) の証明)
\( \displaystyle M^k = (a^{\log_a M})^k \)
\( \displaystyle \ \ \ = a^{k \cdot \log_a M} \) (∵指数法則)
よって， \( \displaystyle \log_a M^k = k \log_a M \)．

((4) の証明)
\( \displaystyle M = b^{\log_b M} = (a^{\log_a b})^{\log_b M} \)
\( \displaystyle \ \ \ = a^{(\log_a b) \cdot (\log_b M)} \) (∵指数法則)
よって，\( \displaystyle \log_a b \cdot \log_b M = \log_a M \)．
また，両辺を \( \displaystyle \log_a b (\neq 0) \) で割れば，\( \displaystyle \log_b M = \frac{\log_a M}{\log_a b} \)

○常用対数

(1) 底を \( \displaystyle 10 \) とする対数を常用対数という.
(2) \( \displaystyle \log_{10} x \) の整数部分を \( \displaystyle m \)，小数部分を \( \displaystyle a \) とすると，
\( \displaystyle \ \ \ \ x=10^{m+a}=10^a \cdot 10^m \quad (1 \leqq 10^a < 10) \) と表される．
→ \( \displaystyle [x] \) の桁数は \( \displaystyle m+1 \)，最高位の数字は \( \displaystyle [10^a] \) である．

(例，長野県改題)
\( \displaystyle \log_{10} 2 = 0.3010 \)，\( \displaystyle \log_{10} 3 = 0.4771 \) とする．\( \displaystyle 18^{40} \) について，次の値を求めなさい．
(1) 桁数
(2) 最高位の数

説明例(クリックして下さい)

(1) 常用対数をとると，
\( \displaystyle \log_{10} 18^{40} = 40 \cdot \log_{10} 18 \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = 40 \cdot \log_{10} (2 \cdot 3^2) \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = 40 \cdot (\log_{10} 2 + 2 \log_{10} 3) \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = 40 \cdot (0.3010 + 2 \cdot 0.4771) \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = 40 \cdot 1.2552 = 50.208 \)
すなわち，\( \displaystyle 18^{40} = 10^{50.208} \) であるから，\( \displaystyle 10^{50} \leqq 18^{40} < 10^{51} \)
したがって，\( \displaystyle 18^{40} \) の桁数は \( \displaystyle 51 \) 桁 (答)

(2) (1) により，
\( \displaystyle 18^{40} = 10^{50 + 0.208} = 10^{0.208} \cdot 10^{50} \)
ここで，
\( \displaystyle 10^0 = 1, 10^{0.3010} = 2 \) (∵\( \displaystyle \log_{10} 1 = 0, \log_{10} 2 = 0.3010 \))
であるから，\( \displaystyle 1 \leqq 10^{0.208} < 2 \)
したがって，\( \displaystyle 18^{40} = 10^{0.208} \cdot 10^{50} \) の最高位の数は \( \displaystyle 1 \) (答)

○対数関数のグラフ

○対数と大小関係

\( \displaystyle a \) を \( \displaystyle 1 \) と異なる正の実数，\( \displaystyle x, y \) を正の実数とする.
(1) \( \displaystyle \log_a x = \log_a y \iff x=y \)
(2) \( \displaystyle a>1 \) のとき，\( \displaystyle \log_a x > \log_a y \iff x>y \)
(3) \( \displaystyle 0<a<1\)のとき，\( \displaystyle \log_a x > \log_a y \iff x<y \)

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	定義の仕方の背景
\( \displaystyle x \) を整数範囲に広げるとき	・\( \displaystyle \alpha^n \cdot \)\( \displaystyle \alpha^0 \)\( \displaystyle = \alpha^{n+0} = \alpha^n \)が成り立つように， \( \displaystyle \alpha^0 = 1 \)と定義する．・\( \displaystyle \alpha^n \cdot \)\( \displaystyle \alpha^{-n} \) \( \displaystyle = \alpha^{n+(-n)} = \alpha^0 = 1 \)が成り立つように， \( \displaystyle \alpha^{-n} = \frac{1}{\alpha^n} \)と定義する．
\( \displaystyle x \) を有理数範囲に広げるとき	・\( \displaystyle ( \)\( \displaystyle a^{\frac{m}{n}} \)\( \displaystyle )^n = a^{\frac{m}{n} \cdot n} = a^m \)が成り立つように， \( \displaystyle a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} \)と定義する．