◯二次曲線
※(双曲線について)\( \displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=-1 \)のときは，\( \displaystyle 2 \)点\( \displaystyle \left(0, \pm\sqrt{a^2+b^2}\right) \)を焦点，焦点からの距離の差が\( \displaystyle 2b \)，漸近線の方程式が\( \displaystyle y=\pm\frac{b}{a}x \)となる．
(放物線)
点\( \displaystyle \mathrm{F}(p,0) \)を焦点，直線\( \displaystyle l:x=-p \)を準線とする放物線を\( \displaystyle C \)とし，点\( \displaystyle \mathrm{P} \)から\( \displaystyle l \)に下ろした垂線を\( \displaystyle \mathrm{PH} \)とすると，
「点\( \displaystyle \mathrm{P}(x,y) \)が\( \displaystyle C \)上にある」
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \Leftrightarrow \mathrm{PF}^2=\mathrm{PH}^2 \ \ \ (\because \mathrm{PF} \geqq 0, \mathrm{PH} \geqq 0) \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \Leftrightarrow (x-p)^2+y^2=(x+p)^2 \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \Leftrightarrow y^2=4px \) ■
(楕円)
\( \displaystyle c=\sqrt{a^2-b^2} \)とおき，点\( \displaystyle \mathrm{F}(c,0), \mathrm{F}'(-c,0) \)を焦点，焦点からの距離の和が\( \displaystyle 2a \)となる点からなる楕円を\( \displaystyle C \)とすると，
「点\( \displaystyle \mathrm{P}(x,y) \)が\( \displaystyle C \)上にある」
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \Leftrightarrow \mathrm{PF}+\mathrm{PF}’=2a \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \Leftrightarrow \sqrt{(x-c)^2+y^2}+\sqrt{(x+c)^2+y^2}=2a \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \Leftrightarrow \left(\sqrt{(x-c)^2+y^2}+\sqrt{(x+c)^2+y^2}\right)^2=(2a)^2 \) …① \( \displaystyle \left(\because \sqrt{(x-c)^2+y^2}+\sqrt{(x+c)^2+y^2} \geqq 0, 2a \geqq 0\right) \)
\( \displaystyle A=x^2+y^2+c^2 \)とおくと，
① \( \displaystyle \Leftrightarrow \left(\sqrt{A-2cx}+\sqrt{A+2cx}\right)^2=4a^2 \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \Leftrightarrow (A-2cx)+2\sqrt{(A-2cx)(A+2cx)}+(A+2cx)=4a^2 \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \Leftrightarrow \sqrt{A^2-4c^2x^2}=2a^2-A \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \Leftrightarrow \begin{cases} A^2-4c^2x^2=(2a^2-A)^2 \\ 2a^2-A \geqq 0 \end{cases} \ \ \ (\because \sqrt{A^2-4c^2x^2} \geqq 0) \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \Leftrightarrow \begin{cases} -4c^2x^2=4a^4-4a^2(x^2+y^2+c^2) \\ 2a^2-(x^2+y^2+c^2) \geqq 0 \end{cases} \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \Leftrightarrow \begin{cases} (a^2-c^2)x^2+a^2y^2=a^2(a^2-c^2) \\ x^2+y^2 \leqq 2a^2-c^2 \end{cases} \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \Leftrightarrow \begin{cases} b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2 \\ x^2+y^2 \leqq a^2+b^2 \end{cases} \ \ \ (\because c^2=a^2-b^2) \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \Leftrightarrow \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \ \ \ \left(\because \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \text{のとき，} x^2 \leqq a^2, y^2 \leqq b^2 \text{により} x^2+y^2 \leqq a^2+b^2\right) \) ■
(双曲線)
\( \displaystyle c=\sqrt{a^2+b^2} \)とおき，点\( \displaystyle \mathrm{F}(c,0), \mathrm{F}'(-c,0) \)を焦点，焦点からの距離の差が\( \displaystyle 2a \)となる点からなる双曲線を\( \displaystyle C \)とすると，
「点\( \displaystyle \mathrm{P}(x,y) \)が\( \displaystyle C \)上にある」
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \Leftrightarrow |\mathrm{PF}-\mathrm{PF}’|=2a \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \Leftrightarrow \left|\sqrt{(x-c)^2+y^2}-\sqrt{(x+c)^2+y^2}\right|=2a \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \Leftrightarrow \left(\sqrt{(x-c)^2+y^2}-\sqrt{(x+c)^2+y^2}\right)^2=4a^2 \) …① \( \displaystyle \left(\because \left|\sqrt{(x-c)^2+y^2}-\sqrt{(x+c)^2+y^2}\right| \geqq 0, 2a \gt 0\right) \)
\( \displaystyle A=x^2+y^2+c^2 \)とおくと，
① \( \displaystyle \Leftrightarrow \left(\sqrt{A-2cx}-\sqrt{A+2cx}\right)^2=4a^2 \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \Leftrightarrow (A-2cx)-2\sqrt{(A-2cx)(A+2cx)}+(A+2cx)=4a^2 \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \Leftrightarrow \sqrt{A^2-4c^2x^2}=A-2a^2 \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \Leftrightarrow \begin{cases} A^2-4c^2x^2=(A-2a^2)^2 \\ A-2a^2 \geqq 0 \end{cases} \ \ \ (\because \sqrt{A^2-4c^2x^2} \geqq 0) \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \Leftrightarrow \begin{cases} -4c^2x^2=-4a^2(x^2+y^2+c^2)+4a^4 \\ (x^2+y^2+c^2)-2a^2 \geqq 0 \end{cases} \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \Leftrightarrow \begin{cases} (a^2-c^2)x^2+a^2y^2=a^2(a^2-c^2) \\ x^2+y^2 \geqq 2a^2-c^2 \end{cases} \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \Leftrightarrow \begin{cases} -b^2x^2+a^2y^2=-a^2b^2 \\ x^2+y^2 \geqq a^2-b^2 \end{cases} \ \ \ (\because c^2=a^2+b^2) \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \Leftrightarrow \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \ \ \ \left(\because \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \text{のとき，} x^2 \geqq a^2 \text{により} x^2+y^2 \geqq x^2 \geqq a^2 \geqq a^2-b^2\right) \)
(双曲線の漸近線について)
\( \displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \)を\( \displaystyle y \)について解くと，\( \displaystyle y=\pm\sqrt{\frac{b^2}{a^2}x^2-b^2} \)であり，
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \lim_{x \to \pm\infty} \left\{\sqrt{\frac{b^2}{a^2}x^2-b^2}-\left(\pm\frac{b}{a}\right)x\right\}=\lim_{x \to \pm\infty} \frac{-b^2}{\sqrt{\frac{b^2}{a^2}x^2-b^2}\pm\frac{b}{a}x}=0 \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \lim_{x \to \pm\infty} \left\{-\sqrt{\frac{b^2}{a^2}x^2-b^2}-\left(\mp\frac{b}{a}\right)x\right\}=\lim_{x \to \pm\infty} \frac{b^2}{\sqrt{\frac{b^2}{a^2}x^2-b^2}\pm\frac{b}{a}x}=0 \)
であるから，双曲線\( \displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \)の漸近線は，\( \displaystyle y=\pm\frac{b}{a}x \)である．■
※楕円及び双曲線の式はまとめて
\( \displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2-c^2}=1 \)
と表される．\( \displaystyle a^2 \gt c^2 \)のときは楕円，\( \displaystyle a^2 \lt c^2 \)のときは双曲線．
(例，岩手県)
\( \displaystyle 2 \)点\( \displaystyle (2,0), (-2,0) \)を焦点とし，この\( \displaystyle 2 \)点からの距離の和が\( \displaystyle 6 \)である楕円の方程式を求める．
焦点が\( \displaystyle x \)軸上，中心が原点にある楕円であるから，方程式は\( \displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \ \ (a \gt b \gt 0) \)と表される．
焦点からの距離の和(長軸の長さ)が\( \displaystyle 6 \)，焦点が\( \displaystyle (2,0), (-2,0) \)となる条件は，
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \begin{cases} 2a=6 \\ \sqrt{a^2-b^2}=2 \end{cases} \ \ \ (\Leftrightarrow a=3, b^2=5) \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \therefore \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1 \) (答)
(例，名古屋市)
\( \displaystyle xy \)平面上で，中心が原点，頂点の\( \displaystyle 1 \)つが\( \displaystyle (0,2) \)，漸近線が\( \displaystyle y=2x \)，\( \displaystyle y=-2x \)である双曲線の方程式，および焦点の座標を求める．
中心が原点で，頂点の\( \displaystyle 1 \)つが\( \displaystyle y \)軸上にあることから，方程式は\( \displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=-1 \ \ (a \gt 0, b \gt 0) \)と表される．
頂点の\( \displaystyle 1 \)つが\( \displaystyle (0,2) \)，漸近線の方程式が\( \displaystyle y=\pm 2x \)となる条件は，
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \begin{cases} b=2 \\ \frac{b}{a}=2 \end{cases} \ \ \ (\Leftrightarrow a=1, b=2) \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \therefore x^2-\frac{y^2}{4}=-1 \) (答)
また，焦点の座標は\( \displaystyle \left(0, \pm\sqrt{1^2+2^2}\right)=(0, \pm\sqrt{5}) \) (答)
○領域
(1) 不等式 \( \displaystyle y \gt f(x) \ (y \lt f(x)) \)の表す領域は，曲線 \( \displaystyle y=f(x) \)の上側(下側)である．
(2) 不等式 \( \displaystyle (x-a)^2+(y-b)^2 \lt r^2 \ \ \left((x-a)^2+(y-b)^2 \gt r^2\right) \)の表す領域は，
円 \( \displaystyle (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 \)の内側(外側)である．
(3) 不等式 \( \displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} \lt 1 \ \ \left(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} \gt 1\right) \)の表す領域は，楕円 \( \displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \)の内側(外側)である．
(4) 不等式 \( \displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2} \lt 1 \ \ \left(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2} \gt 1\right) \)の表す領域は，双曲線 \( \displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \)の原点を含む側(原点を含まない側)である．
○媒介変数表示(二次曲線)
※楕円の媒介変数表示における\( \displaystyle (x,y)=(a\cos\theta, b\sin\theta) \)は，楕円上の点の偏角を意味するわけではないことに注意．
※楕円について，上の媒介変数表示は\( \displaystyle \cos^2\theta+\sin^2\theta=1 \)の形に合わせて\( \displaystyle \frac{x}{a}=\cos\theta, \frac{y}{b}=\sin\theta \)として得られる．
※双曲線について，上の媒介変数表示は\( \displaystyle \frac{1}{\cos^2\theta}-\tan^2\theta=1 \)の形に合わせて\( \displaystyle \frac{x}{a}=\frac{1}{\cos\theta}, \frac{y}{b}=\tan\theta \)として得られる．
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