○平面ベクトルの成分表示
\( \displaystyle xy \)平面上の\( \displaystyle 2 \)点\( \displaystyle \mathrm{O}(0,0), \mathrm{A}(a,b) \)に対し，\( \displaystyle \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OA}} \)を\( \displaystyle \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \)や\( \displaystyle (a,b) \)で表す．
これを\( \displaystyle \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OA}} \)の成分表示といい，\( \displaystyle a \)を\( \displaystyle \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OA}} \)の\( \displaystyle x \)成分，\( \displaystyle b \)を\( \displaystyle \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OA}} \)の\( \displaystyle y \)成分という．
○成分表示での計算
\( \displaystyle \vec{a}=\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}, \vec{b}=\begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix}, k \)を実数とする．
(1) \( \displaystyle \vec{a}+\vec{b}=\begin{pmatrix} a+c \\ b+d \end{pmatrix} \) (2) \( \displaystyle \vec{a}-\vec{b}=\begin{pmatrix} a-c \\ b-d \end{pmatrix} \) (3) \( \displaystyle k\vec{a}=\begin{pmatrix} ka \\ kb \end{pmatrix} \) (4) \( \displaystyle |\vec{a}|=\sqrt{a^2+b^2} \)
(5) \( \displaystyle \vec{a} \cdot \vec{b}=ac+bd \) (6) \( \displaystyle \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OA}}=\vec{a}, \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OB}}=\vec{b} \)のとき，\( \displaystyle \triangle \mathrm{OAB}=\frac{1}{2}|ad-bc| \)
((5)の証明) \( \displaystyle \vec{a}, \vec{b} \)のいずれかが\( \displaystyle \vec{0} \)のときは，\( \displaystyle \vec{a} \cdot \vec{b}=0, ac+bd=0 \)となり成り立つ．以下，ともに\( \displaystyle \vec{0} \)でないとする．
\( \displaystyle \ \ \ \ \ |\vec{a}-\vec{b}|^2=|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2-2|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \therefore 2\vec{a} \cdot \vec{b}=|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2-|\vec{a}-\vec{b}|^2 \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =a^2+b^2+c^2+d^2-(a-c)^2-(b-d)^2 \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =2(ac+bd) \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \therefore \vec{a} \cdot \vec{b}=ac+bd \) ■
((6)の証明)
\( \displaystyle \triangle \mathrm{OAB}=\frac{1}{2}\sqrt{|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2-(\vec{a} \cdot \vec{b})^2} \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{1}{2}\sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)-(ac+bd)^2} \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{1}{2}\sqrt{a^2 d^2+b^2 c^2-2abcd} \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{1}{2}\sqrt{(ad-bc)^2}=\frac{1}{2}|ad-bc| \) ■
※(1)-(4)は対応するベクトルを図示し，成分を考えて導くことができる．
○方向ベクトル・法線ベクトル
直線に平行なベクトルをその直線の方向ベクトル，垂直なベクトルをその直線の法線ベクトルという．
※\( \displaystyle \vec{a} \)が方向(法線)ベクトルのとき，\( \displaystyle k\vec{a} \ (k \neq 0) \)も方向(法線)ベクトルである．
※空間においても同様に，直線に対して方向ベクトルが，平面に対して法線ベクトルがそれぞれ定義される．
○直線の方程式(平面座標版)
(1) 点\( \displaystyle \mathrm{A}(p,q) \)を通り，ベクトル\( \displaystyle \vec{d}=\begin{pmatrix} l \\ m \end{pmatrix} \)を方向ベクトルにもつ直線上の点\( \displaystyle \mathrm{P}(x,y) \)は，
ある実数\( \displaystyle t \)を用いて，\( \displaystyle \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AP}}=t\vec{d} \ \ \left(\Leftrightarrow \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OP}}=\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OA}}+t\vec{d}\right) \)と表される．すなわち，
\( \displaystyle \ \ \ \ \ x=p+lt, y=q+mt \)（直線の媒介変数表示）
また，\( \displaystyle l,m \neq 0 \)のときは，\( \displaystyle t \)を消去することにより，
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \frac{x-p}{l}=\frac{y-q}{m} \)（直線の方程式）
(2) 点\( \displaystyle \mathrm{A}(p,q) \)を通り，ベクトル\( \displaystyle \vec{n}=\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \)を法線ベクトルにもつ直線上の点\( \displaystyle \mathrm{P}(x,y) \)は，
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AP}} \cdot \vec{n}=0 \ \ \left(\Leftrightarrow \left(\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OP}}-\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OA}}\right) \cdot \vec{n}=0\right) \)を満たす．すなわち，\( \displaystyle a(x-p)+b(y-q)=0 \)（直線の方程式）
(例) 点\( \displaystyle (1,2) \)を通り，ベクトル\( \displaystyle \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} \)に垂直な直線の方程式は，
\( \displaystyle \ \ \ \ \ 3(x-1)+4(y-2)=0 \ \ \therefore 3x+4y-11=0 \)
○2直線のなす角
２直線のなす角は，法線ベクトル or 傾き\( \displaystyle (\tan\theta) \)で考察する
※\( \displaystyle 2 \)つのベクトルのなす角は\( \displaystyle 0^\circ \)から\( \displaystyle 180^\circ \)の範囲で考えるが， \( \displaystyle 2 \)直線のなす角は通常\( \displaystyle 0^\circ \)から\( \displaystyle 90^\circ \)の範囲で考える．
(例) \( \displaystyle 2 \)直線\( \displaystyle l:x+2y+3=0, m:x-3y+1=0 \)のなす角について，(1)法線ベクトルによる方法，(2)傾き\( \displaystyle (\tan\theta) \)による方法でそれぞれ求める．
○直線の平行条件・垂直条件
(1) \( \displaystyle 2 \)直線\( \displaystyle l:ax+by+c=0, m:Ax+By+C=0 \)について，
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \begin{cases} l\text{と}m\text{が平行(法線ベクトル}\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} A \\ B \end{pmatrix}\text{が平行)} \Leftrightarrow aB-bA=0 \ (a:b=A:B) \\ l\text{と}m\text{が垂直(法線ベクトル}\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} A \\ B \end{pmatrix}\text{が垂直)} \Leftrightarrow aA+bB=0 \end{cases} \)
(2) \( \displaystyle 2 \)直線\( \displaystyle l:y=mx+n, m:y=Mx+N \)について，
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \begin{cases} l\text{と}m\text{が平行(法線ベクトル}\begin{pmatrix} m \\ -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} M \\ -1 \end{pmatrix}\text{が平行)} \Leftrightarrow m=M \\ l\text{と}m\text{が垂直(法線ベクトル}\begin{pmatrix} m \\ -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} M \\ -1 \end{pmatrix}\text{が垂直)} \Leftrightarrow mM=-1 \end{cases} \)
○点と直線の距離・円の方程式
(1)点\( \displaystyle \mathrm{A}(X,Y) \)と直線\( \displaystyle ax+by+c=0 \)の距離を\( \displaystyle d \)とすると，
\( \displaystyle \ \ \ \ \ d=\frac{|aX+bY+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} \)
与えられた点を\( \displaystyle \mathrm{A}(X,Y) \)，直線\( \displaystyle l:ax+by+c=0 \)の法線ベクトル(の1つ)を\( \displaystyle \vec{n}=\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \)，直線\( \displaystyle l \)上の任意の点\( \displaystyle \mathrm{P}(x,y) \)をとる．
点\( \displaystyle \mathrm{A} \)から直線\( \displaystyle l \)に下ろした垂線の足を\( \displaystyle \mathrm{H} \)とすると，
\( \displaystyle \ \ \ \ \ d=|\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AH}}|=\frac{|\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AP}} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|} \ \ \ \left(d\text{を}\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AP}}\text{の正射影ベクトルの大きさとしてとらえる}\right) \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{|a(x-X)+b(y-Y)|}{\sqrt{a^2+b^2}} \ \ \ \left(\because \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AP}}=\begin{pmatrix} x-X \\ y-Y \end{pmatrix}, |\vec{n}|=\sqrt{a^2+b^2}\right) \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{|-aX-bY-c|}{\sqrt{a^2+b^2}} \ \ \ \left(\because ax+by=-c\right) \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{|aX+bY+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} \) ■
※\( \displaystyle \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AH}}=k\vec{n} \)とおく方法でも導ける．実際，\( \displaystyle \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OH}}=\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OA}}+\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AH}}=\begin{pmatrix} X+ka \\ Y+kb \end{pmatrix} \)が直線上にあることから\( \displaystyle a(X+ka)+b(Y+kb)+c=0 \)．これを解いて\( \displaystyle k=-\frac{aX+bY+c}{a^2+b^2} \)から，\( \displaystyle |\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AH}}|=|k||\vec{n}|=\frac{|aX+bY+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} \)．この方法では\( \displaystyle \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OH}}=\begin{pmatrix} X+ka \\ Y+kb \end{pmatrix} \)から，\( \displaystyle \mathrm{H} \)の座標も求めることができる．
(2)点\( \displaystyle \mathrm{A}(a,b) \)を中心とする半径\( \displaystyle r \)の円の方程式は，
\( \displaystyle \ \ \ \ \ (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 \)
○交点を通る図形
２つの図形の交点を通る図形…\( \displaystyle kf(x,y)+g(x,y)=0 \)が\( \displaystyle f(x,y)=0, g(x,y)=0 \)の交点を通ることを利用する
(例，山口県改題) \( \displaystyle 2 \)つの円
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \)\( \displaystyle x^2+4x+y^2-6y \)\( \displaystyle =0 \ \ \left(\Leftrightarrow (x+2)^2+(y-3)^2=13\right), \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ x^2-4x+y^2-2y-2=0 \ \ \left(\Leftrightarrow (x-2)^2+(y-1)^2=7\right) \)
は，\( \displaystyle \sqrt{13}-\sqrt{7} \lt \sqrt{4^2+2^2} \lt \sqrt{13}+\sqrt{7} \ \ (|\text{半径の差}| \lt \text{中心間の距離} \lt \text{半径の和}) \)
であるから，\( \displaystyle 2 \)点で交わる．その交点を\( \displaystyle \mathrm{A}, \mathrm{B} \)とする．
\( \displaystyle \ \ \ \ \ k(\)\( \displaystyle x^2+4x+y^2-6y \)\( \displaystyle )+(x^2-4x+y^2-2y-2)=0 \ \ \cdots \text{①} \)とおく．このとき，
・図形①は，交点\( \displaystyle \mathrm{A}, \mathrm{B} \)を通る「直線または円」を表す．
・特に\( \displaystyle k=-1 \)として得られる\( \displaystyle 4x-2y+1=0 \)は，交点\( \displaystyle \mathrm{A}, \mathrm{B} \)を通る直線を表す．
・交点\( \displaystyle \mathrm{A}, \mathrm{B} \)を通る「直線または円」がすべて①で表されるわけではない．実際，どんな\( \displaystyle k \)を使っても，\( \displaystyle x^2+4x+y^2-6y \)\( \displaystyle =0 \)を表すことはできない．
○媒介変数表示(陽関数，円)
(1) 曲線\( \displaystyle y=f(x) \)は，\( \displaystyle (x,y)=(t,f(t)) \)と媒介変数表示できる．
(2) 円\( \displaystyle (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 \)は，\( \displaystyle (x,y)=(a+r\cos\theta, b+r\sin\theta) \)と媒介変数表示できる．
※媒介変数表示の方法は\( \displaystyle 1 \)通りではない．たとえば，\( \displaystyle (x,y)=(2t,f(2t)) \)や\( \displaystyle (x,y)=(a+r\cos 2\theta, b+r\sin 2\theta) \)のような表示でも，同じ曲線を表す．
○点の存在範囲(軌跡)の処理
直接処理→直接動かして存在範囲を考察
間接処理→逆像法を利用
(例1，愛知県) 直接処理
円\( \displaystyle C:x^2+y^2=1 \)と\( \displaystyle 2 \)点\( \displaystyle \mathrm{A}(5,3), \mathrm{B}(1,6) \)がある．円\( \displaystyle C \)上の動点を\( \displaystyle \mathrm{P} \)とするとき，\( \displaystyle \triangle \mathrm{ABP} \)の重心\( \displaystyle \mathrm{G} \)の軌跡を求める．
円\( \displaystyle C \)上の動点\( \displaystyle \mathrm{P} \)は\( \displaystyle \mathrm{P}(\cos\theta, \sin\theta) \)と表され，このとき，
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OG}}=\frac{\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OA}}+\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OB}}+\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OP}}}{3}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix} 5+1+\cos\theta \\ 3+6+\sin\theta \end{pmatrix} \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}+\frac{1}{3}\begin{pmatrix} \cos\theta \\ \sin\theta \end{pmatrix} \)
よって，\( \displaystyle \mathrm{G} \)の軌跡は，円\( \displaystyle (x-2)^2+(y-3)^2=\frac{1}{9} \) (答)
(例2，新潟県) 間接処理
放物線\( \displaystyle y=x^2-1 \)と直線\( \displaystyle y=mx \)の\( \displaystyle 2 \)つの交点を\( \displaystyle \mathrm{A}, \mathrm{B} \)とする．\( \displaystyle m \geqq 1 \)の範囲で\( \displaystyle m \)の値が変化するとき，線分\( \displaystyle \mathrm{AB} \)の中点\( \displaystyle \mathrm{M} \)の軌跡を求めよ．
(放物線\( \displaystyle y=x^2-1 \)と直線\( \displaystyle y=mx \)は常に異なる\( \displaystyle 2 \)点で交わるから，\( \displaystyle \mathrm{A}, \mathrm{B} \)が存在するための条件は考えなくてよい)
\( \displaystyle \mathrm{A}, \mathrm{B} \)の\( \displaystyle x \)座標をそれぞれ\( \displaystyle \alpha, \beta \)とすると，
\( \displaystyle \alpha, \beta \)は\( \displaystyle x^2-1=mx \ \ \left(\Leftrightarrow x^2-mx-1=0\right) \)の\( \displaystyle 2 \)解であるから，
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \alpha+\beta=m \ \ \left(\because \text{解と係数の関係}\right) \)
\( \displaystyle \mathrm{A}(\alpha, m\alpha), \mathrm{B}(\beta, m\beta) \)により，
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OM}}=\frac{\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OA}}+\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OB}}}{2}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} \alpha+\beta \\ m(\alpha+\beta) \end{pmatrix}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} m \\ m^2 \end{pmatrix} \)
であるから，点\( \displaystyle \mathrm{M} \)の座標は\( \displaystyle \left(\frac{1}{2}m, \frac{1}{2}m^2\right) \)である．
「点\( \displaystyle (x,y) \)が\( \displaystyle \mathrm{M} \)の軌跡上にある」
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \Leftrightarrow \)「\( \displaystyle x=\frac{1}{2}m, y=\frac{1}{2}m^2, m \geqq 1 \)を満たす\( \displaystyle m \)が存在する」
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \Leftrightarrow y=\frac{1}{2}(2x)^2, 2x \geqq 1 \ \ \left(\because m=2x\right) \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \Leftrightarrow y=2x^2, x \geqq \frac{1}{2} \)
であるから，点\( \displaystyle \mathrm{M} \)の軌跡は，放物線\( \displaystyle y=2x^2 \)の\( \displaystyle x \geqq \frac{1}{2} \)の部分 (答)
※例えば，求めたい軌跡の座標が\( \displaystyle (m,m^2), (m \geqq 1) \)のように\( \displaystyle x \)座標が単一の文字で表された場合は，上のように逆像法を使うまでもなく，直接\( \displaystyle m \)を動かして考えて\( \displaystyle y=x^2 \ (x \geqq 1) \)と求めればよい．
○斜交座標
平面上に，斜めに交わる\( \displaystyle 2 \)つのベクトル\( \displaystyle \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OA}}, \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OB}} \)があるとき，平面上の点\( \displaystyle \mathrm{P} \)は
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OP}}=s\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OA}}+t\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OB}} \)
のように表される．このときの実数の組\( \displaystyle (s,t) \)を点\( \displaystyle \mathrm{P} \)の斜交座標という．
※\( \displaystyle \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OA}}, \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OB}} \)の大きさは\( \displaystyle 1 \)でなくてもよい．
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