複素数の利用、極方程式 | きょうさい対策ブログ

○極形式と複素数の積・商(ほぼ再掲)

\( \displaystyle z_1=r_1 (\cos \theta_1 + i \sin \theta_1) \)，\( \displaystyle z_2=r_2 (\cos \theta_2 + i \sin \theta_2) \)を極形式とする．
\( \displaystyle \ \ \ \ \ z_1 z_2=\{r_1 (\cos \theta_1 + i \sin \theta_1)\}\{r_2 (\cos \theta_2 + i \sin \theta_2)\}=r_1 r_2 \{\cos (\theta_1+\theta_2)+i \sin (\theta_1+\theta_2)\} \)
\( \displaystyle \to z_1 z_2 \)は，\( \displaystyle z_1 \)を原点中心に\( \displaystyle \theta_2 \)回転し，\( \displaystyle r_2 \)倍したもの．

○複素数平面上の図形の処理

(例)複素数平面上の\( \displaystyle 3 \)点\( \displaystyle \mathrm{A}(\alpha), \mathrm{B}(\beta), \mathrm{C}(z) \ \ (\text{ただし，}\alpha \neq \beta) \)について，

(例，鳥取県) \( \displaystyle 0 \)でない複素数\( \displaystyle \alpha, \beta \)が\( \displaystyle |\alpha-\beta|=3, \alpha^2-2\alpha\beta+4\beta^2=0 \)を満たしているとき，\( \displaystyle \frac{\alpha}{\beta} \)の値求め，
さらに，複素数平面において\( \displaystyle 3 \)点\( \displaystyle \mathrm{O}(0), \mathrm{A}(\alpha), \mathrm{B}(\beta) \)のつくる三角形の面積を求める．

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\( \displaystyle \alpha^2-2\alpha\beta+4\beta^2=0 \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \Leftrightarrow \left(\frac{\alpha}{\beta}\right)^2-2 \cdot \left(\frac{\alpha}{\beta}\right)+4=0 \ \ \ (\because \beta \neq 0) \)
よって，\( \displaystyle \frac{\alpha}{\beta}=1 \pm \sqrt{3}i \) (答)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \frac{\alpha}{\beta}=1 \pm \sqrt{3}i=2\left(\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{2}i\right) \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =2\left\{\cos\left(\pm \frac{\pi}{3}\right)+i \sin\left(\pm \frac{\pi}{3}\right)\right\} \ \ \ \ \ \textcolor{red}{\leftarrow \text{式から図形情報を読み取る}} \)
であるから，点\( \displaystyle \mathrm{A}(\alpha) \)は，点\( \displaystyle \mathrm{B}(\beta) \)を点\( \displaystyle \mathrm{O}(0) \)を中心として\( \displaystyle \pm \frac{\pi}{3} \)だけ回転させたもので，\( \displaystyle |\alpha|=2|\beta| \)を満たす．
\( \displaystyle |\alpha-\beta|=3 \)と合わせて，余弦定理により，
\( \displaystyle \ \ \ \ \ 3^2=|\beta|^2+(2|\beta|)^2-2 \cdot |\beta| \cdot 2|\beta| \cdot \cos \frac{\pi}{3} \ \ \ \ \ \therefore |\beta|=\sqrt{3} \)
したがって，
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \triangle \mathrm{OAB}=\frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} \cdot \sin \frac{\pi}{3}=\frac{3\sqrt{3}}{2} \) (答)

方程式を解くとき，極形式で\( \displaystyle r \)と\( \displaystyle \theta \)を分けて求めるのが有効な場合がある．

(例) 方程式\( \displaystyle z^3=64i \)を解け．

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\( \displaystyle z^3=64i \Rightarrow |z^3|=|64i| \ \ \ \ \textcolor{red}{\leftarrow \text{いったん} r \text{から求める}}\)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Leftrightarrow |z|^3=64 \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Leftrightarrow |z|=4 \ \ \ (\because |z| \geqq 0) \)
\( \displaystyle z=4(\cos \theta + i \sin \theta) \ \ (0 \leqq \theta \lt 2\pi) \)とおくと，
\( \displaystyle \ \ \ \ \ z^3=64i \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \Leftrightarrow 64(\cos 3\theta + i \sin 3\theta)=64i \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \Leftrightarrow \cos 3\theta + i \sin 3\theta=i \)
\( \displaystyle 0 \leqq 3\theta \lt 6\pi \)であるから，
\( \displaystyle \ \ \ \ \ 3\theta=\frac{\pi}{2}, \frac{5}{2}\pi, \frac{9}{2}\pi \)
よって，\( \displaystyle \theta=\frac{\pi}{6}, \frac{5}{6}\pi, \frac{3}{2}\pi \)であるから，
\( \displaystyle \ \ \ \ \ z=4\left(\cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6}\right), 4\left(\cos \frac{5}{6}\pi + i \sin \frac{5}{6}\pi\right), 4\left(\cos \frac{3}{2}\pi + i \sin \frac{3}{2}\pi\right) \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ =2(\sqrt{3}+i), 2(-\sqrt{3}+i), -4i \) (答)

※上の計算を一般化すると， \( \displaystyle 0 \)でない複素数 \( \displaystyle w \) の \( \displaystyle n \) 乗根（\( \displaystyle z^n=w \)の解）は，すべて絶対値が等しく，偏角が\( \displaystyle \frac{2\pi}{n} \) ずつ等間隔になることがわかる．複素数平面上においては，原点を中心とする円に内接する正 \( \displaystyle n \) 角形の頂点に対応する．

○極座標

・平面上に点\( \displaystyle \mathrm{O} \)と半直線\( \displaystyle \mathrm{OX} \)を定める．\( \displaystyle r=\mathrm{OP} \)と\( \displaystyle \mathrm{OX} \)を始線とする動径\( \displaystyle \mathrm{OP} \)の表す一般角\( \displaystyle \theta \)の組\( \displaystyle (r, \theta) \)を点 \( \displaystyle \mathrm{P} \)の極座標という．このとき，点\( \displaystyle \mathrm{O} \)を極，\( \displaystyle \theta \)を点\( \displaystyle \mathrm{P} \)の偏角という．
・ある曲線が極座標\( \displaystyle (r, \theta) \)に関する方程式で表されるとき，その方程式を曲線の極方程式という．
・ \( \displaystyle r \lt 0 \)のとき，点\( \displaystyle (r, \theta) \)を点\( \displaystyle (-r, \theta+\pi) \)で定める．

※\( \displaystyle r, \theta \)に制限がない場合，極座標による点の表し方は一意的ではない．
※「\( \displaystyle r \)について，極座標を考えるだけの場合は\( \displaystyle r \geqq 0 \)で考え，極方程式を考える際は負の範囲も認める」という立場もあるが，ここでは区別せずに定義している．

(例) 直交座標で\( \displaystyle (x, y)=(-1, 1) \)と表される点を極座標で表す(原点を極，\( \displaystyle x \)軸の正の部分を始線とする)．
・\( \displaystyle r \geqq 0, 0 \leqq \theta \lt 2\pi \)に制限すると，\( \displaystyle (r, \theta)=\left(\sqrt{2}, \frac{3}{4}\pi\right) \)．
・一般には，\( \displaystyle (r, \theta)=\left(\sqrt{2}, \frac{3}{4}\pi+2n\pi\right) \ \ (n\text{は整数}), (r, \theta)=\left(-\sqrt{2}, -\frac{1}{4}\pi+2n\pi\right) \ \ (n\text{は整数}) \)とも表せる．

○極方程式

※\( \displaystyle xy \)平面上で，原点を極，\( \displaystyle x \)軸の正の部分を始線とする極座標について，
\( \displaystyle \ \ \ \ \ x^2+y^2=r^2, x=r \cos \theta, y=r \sin \theta \)
が成り立つ．これを利用して，「極方程式」と「直交座標に関する方程式」の変換ができる．

次の極方程式を，直交座標に関する方程式に表し，どのような図形か考察する．
(1) \( \displaystyle 2r \sin\left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)=1 \)
(2) \( \displaystyle r=\frac{3}{1+2\cos\theta} \)

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(1) \( \displaystyle 2r \sin\left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)=1 \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \Leftrightarrow 2r\left(\sin \theta \cos \frac{\pi}{6} + \cos \theta \sin \frac{\pi}{6}\right)=1 \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \Leftrightarrow \sqrt{3}r \sin \theta + r \cos \theta=1 \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \Leftrightarrow \sqrt{3}y+x=1 \)
よって，与えられた極方程式が表す図形は，
直線\( \displaystyle x+\sqrt{3}y=1 \) (答)
(2) \( \displaystyle r=\frac{3}{1+2\cos \theta} \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \Leftrightarrow r(1+2\cos \theta)=3 \ \ \ \left(\because \cos \theta=-\frac{1}{2}\text{のとき，}r(1+2\cos \theta)=0 \neq 3\right) \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \Leftrightarrow r=3-2r \cos \theta \ \ \ \cdots \text{①} \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \Rightarrow r^2=(3-2r \cos \theta)^2 \ \ \ \cdots \text{②} \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \Leftrightarrow \{r-(3-2r \cos \theta)\}\{r+(3-2r \cos \theta)\}=0 \)
ここで，\( \displaystyle r+(3-2r \cos \theta)=0 \)において，\( \displaystyle \theta \)を\( \displaystyle \theta+\pi \)，\( \displaystyle r \)を\( \displaystyle -r \)に置き換えた
\( \displaystyle -r+(3+2r \cos(\theta+\pi))=0 \)は，\( \displaystyle r-(3-2r \cos \theta)=0 \)と同じ曲線を表す．よって，
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \text{①} \Leftrightarrow x^2+y^2=(3-2x)^2 \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Leftrightarrow 3x^2-12x-y^2+9=0 \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Leftrightarrow (x-2)^2-\frac{y^2}{3}=1 \)
よって，与えられた極方程式が表す図形は，
双曲線\( \displaystyle (x-2)^2-\frac{y^2}{3}=1 \) (答)

※上の計算からもわかるように，一般に，\( \displaystyle r=f(r \cos \theta, r \sin \theta) \)の形の極方程式は，二乗しても同値である．
※一般に，二次曲線は極と始線をうまくとれば\( \displaystyle r=\frac{ea}{1+e \cos \theta} \ \ (a, e \gt 0) \) と表されることが知られており，この極方程式は
(i) \( \displaystyle 0 \lt e \lt 1 \)のとき，\( \displaystyle \mathrm{O} \)を焦点の\( \displaystyle 1 \)つとする楕円
(ii) \( \displaystyle e=1 \)のとき，\( \displaystyle \mathrm{O} \)を焦点とする放物線
(iii) \( \displaystyle 1 \lt e \)のとき，\( \displaystyle \mathrm{O} \)を焦点の\( \displaystyle 1 \)つとする双曲線
を表す(上の例(2)は，\( \displaystyle e=2, a=\frac{3}{2} \))．また，この\( \displaystyle e \)を離心率という．

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