○複素数平面
(1) 複素数\( \displaystyle z=a+bi \ \ (a,b : \text{実数}) \)を座標平面上の点\( \displaystyle (a,b) \)で表すとき，この平面を複素数平面という．また，\( \displaystyle x \)軸を実軸，\( \displaystyle y \)軸を虚軸という．
(2) 複素数平面上で，複素数\( \displaystyle z \)の表す点\( \displaystyle \mathrm{P} \)を点\( \displaystyle \mathrm{P}(z) \)と表す．
(3) 複素数の和，差，実数倍は，それぞれベクトルの和，差，実数倍に対応する．
(例) 複素数平面上の\( \displaystyle 3 \)点\( \displaystyle \mathrm{A}(2), \mathrm{B}(1+3i), \mathrm{C}(-4-2i) \)について，
○共役複素数・絶対値
(定義)
\( \displaystyle a,b \)を実数，\( \displaystyle z=a+bi \)とする．
(1) \( \displaystyle a-bi \)を\( \displaystyle z \)の共役複素数といい，\( \displaystyle \bar{z} \)で表す．
(2) \( \displaystyle \sqrt{a^2+b^2} \)を\( \displaystyle z \)の絶対値といい，\( \displaystyle |z| \)で表す．
(性質)
\( \displaystyle z,w \)を複素数とする．
(1) \( \displaystyle \overline{\bar{z}}=z \) \ \ \ \ \ (2) \( \displaystyle |\bar{z}|=|z| \) \ \ \ \ \ (3) \( \displaystyle |z|^2=z\bar{z} \)
(4) \( \displaystyle \overline{z+w}=\bar{z}+\bar{w} \) \ \ \ \ \ (5) \( \displaystyle \overline{z-w}=\bar{z}-\bar{w} \)
(6) \( \displaystyle \overline{zw}=\bar{z} \cdot \bar{w} \) \ \ \ \ \ (7) \( \displaystyle w \neq 0 \)のとき，\( \displaystyle \overline{\left(\frac{z}{w}\right)}=\frac{\bar{z}}{\bar{w}} \)
(8) \( \displaystyle |zw|=|z||w| \) \ \ \ \ \ (9) \( \displaystyle w \neq 0 \)のとき，\( \displaystyle \left|\frac{z}{w}\right|=\frac{|z|}{|w|} \)
説明例(クリックして下さい)
いずれも，\( \displaystyle z=a+bi \ \ (a,b : \text{実数}) \)，\( \displaystyle w=c+di \ \ (c,d : \text{実数}) \)とおいて定義から示せばよい．
(1) \( \displaystyle \overline{\bar{z}}=\overline{a-bi}=a+bi=z \)
(2) \( \displaystyle |\bar{z}|=|a-bi|=\sqrt{a^2+(-b)^2} \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\sqrt{a^2+b^2}=|z| \)
(3) \( \displaystyle |z|^2=a^2+b^2=(a+bi)(a-bi)=z\bar{z} \)
(4)(5) \( \displaystyle \overline{z \pm w}=\overline{(a+bi) \pm (c+di)} \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\overline{(a \pm c)+(b \pm d)i} \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =(a \pm c)-(b \pm d)i \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =(a-bi) \pm (c-di)=\bar{z} \pm \bar{w} \)
(6) \( \displaystyle \overline{zw}=\overline{(ac-bd)+(ad+bc)i} \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =(ac-bd)-(ad+bc)i \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =(a-bi)(c-di)=\bar{z}\bar{w} \)
(7) \( \displaystyle w \neq 0 \)のとき，\( \displaystyle w \cdot \frac{1}{w}=1 \)の両辺の共役を考えて，\( \displaystyle \overline{\left(w \cdot \frac{1}{w}\right)}=1 \)
(6)から\( \displaystyle \bar{w} \cdot \overline{\left(\frac{1}{w}\right)}=1 \ \ \ \therefore \overline{\left(\frac{1}{w}\right)}=\frac{1}{\bar{w}} \)
ゆえに，\( \displaystyle \overline{\left(\frac{z}{w}\right)}=\overline{\left(z \cdot \frac{1}{w}\right)}=\bar{z} \cdot \overline{\left(\frac{1}{w}\right)} \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\bar{z} \cdot \frac{1}{\bar{w}}=\frac{\bar{z}}{\bar{w}} \)
(8) \( \displaystyle |zw|^2=zw\overline{zw}=zw \cdot \bar{z} \cdot \bar{w} \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =z\bar{z} \cdot w\bar{w}=(|z||w|)^2 \)
\( \displaystyle |zw| \geqq 0, |z||w| \geqq 0 \)により，\( \displaystyle |zw|=|z||w| \)
(9) \( \displaystyle w \neq 0 \)のとき \( \displaystyle w \cdot \frac{1}{w}=1 \)の両辺の絶対値を考えて，\( \displaystyle \left|w \cdot \frac{1}{w}\right|=1 \)
(8)から\( \displaystyle |w| \cdot \left|\frac{1}{w}\right|=1 \ \ \ \therefore \left|\frac{1}{w}\right|=\frac{1}{|w|} \)
ゆえに，\( \displaystyle \left|\frac{z}{w}\right|=\left|z \cdot \frac{1}{w}\right|=|z| \cdot \left|\frac{1}{w}\right| \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =|z| \cdot \frac{1}{|w|}=\frac{|z|}{|w|} \) ■ |
○実数・純虚数条件
(1) 複素数\( \displaystyle z \)の実部は\( \displaystyle \frac{z+\bar{z}}{2} \)，虚部は\( \displaystyle \frac{z-\bar{z}}{2i} \)である．
(2) \( \displaystyle z \)が実数\( \displaystyle \Leftrightarrow z=\bar{z} \)
(3) \( \displaystyle z \)が純虚数\( \displaystyle \Leftrightarrow z=-\bar{z}, z \neq 0 \)
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\( \displaystyle z=a+bi \ \ (a,b : \text{実数}) \)とおくと，\( \displaystyle \bar{z}=a-bi \)である．
(1) \( \displaystyle \begin{cases} z+\bar{z}=2a \\ z-\bar{z}=2bi \end{cases} \ \ \ \ \ \therefore a=\frac{z+\bar{z}}{2}, b=\frac{z-\bar{z}}{2i} \)
(2) \( \displaystyle z \)が実数\( \displaystyle \Leftrightarrow b=0 \Leftrightarrow z=\bar{z} \)
(3) \( \displaystyle z \)が純虚数\( \displaystyle \Leftrightarrow a=0, z \neq 0 \Leftrightarrow z=-\bar{z}, z \neq 0 \) ■
(例)実数でない複素数\( \displaystyle z \)に対して，\( \displaystyle z+\frac{1}{z} \)が実数となるとき，\( \displaystyle |z| \)の値を求めよ．
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\( \displaystyle z+\frac{1}{z} \)が実数\( \displaystyle \Leftrightarrow z+\frac{1}{z}=\overline{\left(z+\frac{1}{z}\right)} \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \Leftrightarrow z+\frac{1}{z}=\bar{z}+\frac{1}{\bar{z}} \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \Leftrightarrow z-\bar{z}+\frac{\bar{z}-z}{z\bar{z}}=0 \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \Leftrightarrow (z-\bar{z})\left(1-\frac{1}{|z|^2}\right)=0 \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \Leftrightarrow 1-\frac{1}{|z|^2}=0 \ \ \ (\because z \neq \bar{z}) \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \Leftrightarrow |z|^2=1 \Leftrightarrow |z|=1 \)
よって，\( \displaystyle |z|=1 \) (答)
○複素数平面での直線と円の方程式
動点を\( \displaystyle \mathrm{P}(z) \)とし，\( \displaystyle \alpha, \beta \)を異なる複素数，\( \displaystyle r \)を正の実数とする．
※複素数を含む方程式が与えられたとき，
\( \displaystyle -\bar{A}z-A\bar{z}+\cdots=0 \)の形(\( \displaystyle 1 \)次の共役和)は直線
\( \displaystyle |z|^2-\bar{A}z-A\bar{z}+\cdots=0 \)の形(\( \displaystyle 2 \)次\( \displaystyle +1 \)次共役和)は円
になる可能性を想定して式変形するとよい．
(例) 次の等式を満たす点\( \displaystyle z \)の集合は，どのような図形を表すか．
(ア) \( \displaystyle z\bar{z}-(1-i)z-(1+i)\bar{z}=0 \)
(イ) \( \displaystyle |z+1|=2|z-2| \)
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(ア) \( \displaystyle z\bar{z}-(1-i)z-(1+i)\bar{z}=0 \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \Leftrightarrow z\bar{z}-\overline{(1+i)}z-(1+i)\bar{z}=0 \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \Leftrightarrow \{z-(1+i)\}\overline{\{z-(1+i)\}}-(1+i)\overline{(1+i)}=0 \ \ \ \textcolor{red}{\leftarrow \text{最終項だけ調整}} \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \Leftrightarrow |z-(1+i)|^2=2 \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \Leftrightarrow |z-(1+i)|=\sqrt{2} \ \ \ (\because |z-(1+i)| \geqq 0) \)
であるから，点\( \displaystyle 1+i \)を中心とする半径\( \displaystyle \sqrt{2} \)の円 (答)
(イ) \( \displaystyle |z+1|=2|z-2| \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \Leftrightarrow |z+1|^2=4|z-2|^2 \ \ \ (\because |z+1| \geqq 0, |z-2| \geqq 0) \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \Leftrightarrow z\bar{z}+z+\bar{z}+1=4(z\bar{z}-2z-2\bar{z}+4) \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \Leftrightarrow z\bar{z}-3z-3\bar{z}+5=0 \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \Leftrightarrow (z-3)\overline{(z-3)}-9+5=0 \ \ \ \textcolor{red}{\leftarrow \text{最終項だけ調整}} \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \Leftrightarrow |z-3|^2=4 \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \Leftrightarrow |z-3|=2 \ \ \ (\because |z-3| \geqq 0) \)
であるから，点\( \displaystyle 3 \)を中心とする半径\( \displaystyle 2 \)の円 (答) |
※(イ)のように，\( \displaystyle 2 \)点\( \displaystyle \mathrm{A}, \mathrm{B} \)からの距離の比が\( \displaystyle m:n \ \ (m \neq n) \)であるような点は円をえがく．この円をアポロニウスの円とよぶ．
(例) 次の等式が\( \displaystyle |z-\alpha|=|z-\beta| \)の形に変形できることを示し，\( \displaystyle z \)が直線上を動くことを示す．
(ウ) \( \displaystyle (1-i)z+(1+i)\bar{z}=2 \)
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(ウ) \( \displaystyle (1-i)z+(1+i)\bar{z}=2 \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \Leftrightarrow -\overline{(1+i)}z-(1+i)\bar{z}=-2 \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \Leftrightarrow \{z-(1+i)\}\overline{\{z-(1+i)\}}-z\bar{z}-(1+i)(1-i)=-2 \ \ \ \ \ \textcolor{red}{\leftarrow \text{先頭・最終項調整}} \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \Leftrightarrow |z-(1+i)|^2=|z|^2 \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \Leftrightarrow |z-(1+i)|=|z| \ \ \ (\because |z-(1+i)| \geqq 0, |z| \geqq 0) \)
であるから，
\( \displaystyle 2 \)点\( \displaystyle 1+i, 0 \)を結ぶ線分の垂直二等分線 (答) |
(ウ)に関する補足(クリックして下さい)
※(ウ)の変形について．最初から\( \displaystyle |z-\alpha|=|z-\beta| \)の\( \displaystyle \alpha, \beta \)が分かるわけではないので，\( \displaystyle |z-\Box| \)のカタマリを機械的に作ってもうまくいかない場合もある．例えば，(\( \displaystyle \alpha=-(1+i) \)と予想して) \( \displaystyle \{z+(1+i)\}\overline{\{z+(1+i)\}} \)の形を左辺につくると，
\( \displaystyle \ \ \ \ \ |z+(1+i)|^2=|z|^2+4 \)
となり，形状を読み取るのは難しい．
※式変形がうまくいかない場合は，最終手段として\( \displaystyle x+yi \ \ (x,y : \text{実数}) \)の形に直して考えるとよい．例えば(ウ)では，
\( \displaystyle \ \ \ \ \ (1-i)z+(1+i)\bar{z}=2 \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \Leftrightarrow (1-i)(x+yi)+(1+i)(x-yi)=2 \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \Leftrightarrow \begin{cases} (x+y)+(x+y)=2 \\ (y-x)+(x-y)=0 \end{cases} \ \ \ (\text{実部虚部の比較}) \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \Leftrightarrow x+y=1 \)
であるから，複素数平面の言葉に翻訳し直して，「\( \displaystyle 2 \)点\( \displaystyle 1,i \)を通る直線」とわかる(「\( \displaystyle 2 \)点\( \displaystyle 1+i,0 \)を端点とする線分の垂直二等分線」と同じ)．
※(ウ)は，複素数の積が回転・拡大に対応する性質(次セクションで扱う)を用いると，\( \displaystyle |\Box|^2 \)の形を回避して以下のようにしても求められる．
\( \displaystyle (1-i)z+(1+i)\bar{z}=2 \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \Leftrightarrow \frac{z}{1+i}+\frac{\bar{z}}{\overline{1+i}}=\frac{2}{(1+i)\overline{(1+i)}}=1 \ \ \textcolor{red}{\leftarrow\frac{z}{A}+\overline{\left(\frac{z}{A}\right)}=\cdots \text{の形を作った}} \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \Leftrightarrow 2\text{Re}\left(\frac{z}{1+i}\right)=1 \Leftrightarrow \text{Re}\left(\frac{z}{1+i}\right)=\frac{1}{2} \)
\( \displaystyle w=\frac{z}{1+i} \)とおくと，\( \displaystyle w \)は複素数平面上において実部が\( \displaystyle \frac{1}{2} \)の直線をえがく．
\( \displaystyle \ \ \ \ \ z=w \cdot (1+i)=w \cdot \sqrt{2}\left(\cos 45^\circ + i \sin 45^\circ\right) \)
であるから，\( \displaystyle z \)は，「実部が\( \displaystyle \frac{1}{2} \)の直線」を，原点を中心として\( \displaystyle 45^\circ \)回転し，さらに\( \displaystyle \sqrt{2} \)倍に拡大移動した図形を表す．すなわち，傾きが\( \displaystyle -1 \)で点\( \displaystyle \frac{1}{2}(1+i) \)を通る直線を表す(「\( \displaystyle 2 \)点\( \displaystyle 1,i \)を通る直線」，「\( \displaystyle 2 \)点\( \displaystyle 1+i,0 \)を端点とする線分の垂直二等分線」と同じ)．
このように，
\( \displaystyle \ \ \ \ \ |z-\alpha|=|z-\beta| \Leftrightarrow \text{Re}\left(\frac{z}{\alpha-\beta}\right)=\frac{1}{2} \cdot \frac{|\alpha|^2-|\beta|^2}{|\alpha-\beta|^2} \)
のように変形することで，「実部が\( \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \frac{|\alpha|^2-|\beta|^2}{|\alpha-\beta|^2} \)である直線」を，原点を中心にして\( \displaystyle \alpha-\beta \)の偏角だけ回転させ，\( \displaystyle \alpha-\beta \)の絶対値だけ拡大したものとしても直線を求めることができる．これを複素数での表現(1)の別形式として整理するのもアリ．
(例，熊本県) 複素数平面上で点\( \displaystyle \mathrm{P}(z) \)がの原点を中心とする半径\( \displaystyle 1 \)の円周上を動くとき，
\( \displaystyle w=(1+2i)z+i \)で定められる点\( \displaystyle \mathrm{Q}(w) \)はどのような図形を描くかを，逆像法(間接処理)で求める．
説明例(クリックして下さい)
「点\( \displaystyle w \)が点\( \displaystyle \mathrm{Q} \)の軌跡上にある」
\( \displaystyle \Leftrightarrow \)「\( \displaystyle |z|=1, w=(1+2i)z+i \)を満たす複素数\( \displaystyle z \)が存在」
\( \displaystyle \Leftrightarrow \left|\frac{w-i}{1+2i}\right|=1 \ \ \ \left(\because z=\frac{w-i}{1+2i}\right) \)
\( \displaystyle \Leftrightarrow |w-i|=|1+2i|=\sqrt{5} \)
であるから，点\( \displaystyle \mathrm{Q} \)の軌跡は，
点\( \displaystyle i \)を中心とする半径\( \displaystyle \sqrt{5} \)の円 (答) |
上の例の別解(クリックして下さい)
※(補足)複素数の積が回転・拡大に対応することを利用して，次のように直接的に軌跡を求めることもできる．
