積分法 | きょうさい対策ブログ

○不定積分・定積分

\( \displaystyle f(x) \)を関数とする.
(1) \( \displaystyle F'(x)=f(x) \)を満たす関数\( \displaystyle F(x) \)を\( \displaystyle f(x) \)の原始関数という.
(2) \( \displaystyle F(x) \)を\( \displaystyle f(x) \)の原始関数の1つとする．\( \displaystyle f(x) \)の原始関数は定数\( \displaystyle C \)を用いて\( \displaystyle F(x)+C \)と表される．
\( \displaystyle \ \ \ \ \)これを\( \displaystyle f(x) \)の不定積分といい\( \displaystyle \int f(x)\,dx \) で表す．また，\( \displaystyle C \)を積分定数という．
(3) \( \displaystyle F(x) \)を\( \displaystyle f(x) \)の原始関数の1つとする.
\( \displaystyle \ \ \ \ F(b)-F(a) \)を\( \displaystyle f(x) \)の\( \displaystyle a \)から\( \displaystyle b \)までの定積分といい，\( \displaystyle [F(x)]_{a}^{b} \) や\( \displaystyle \int_{a}^{b} f(x)\,dx \) で表す.

※ \( \displaystyle f(x) \)は区間 \( \displaystyle [a,b] \) で連続で，\( \displaystyle f(x) \geqq 0 \) とする．面積関数 \( \displaystyle S(x) \)を，\( \displaystyle a \) から変数 \( \displaystyle x \ (x \in [a,b]) \)までの区間における，グラフ\( \displaystyle y=f(x) \)と \( \displaystyle x \) 軸との間の部分の面積と定めると，\( \displaystyle S(x) \)は \( \displaystyle f(x) \) の原始関数の1つである(\( \displaystyle S'(x)=f(x) \))．とくに，\( \displaystyle a \) から \( \displaystyle b \) までの面積は，定積分を用いて次のように求めることができる．
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \int_{a}^{b} f(x)\,dx =S(b)-S(a) \)

○積分公式

\( \displaystyle \alpha \)を\( \displaystyle -1 \)と異なる実数，\( \displaystyle a \)は正の実数，\( \displaystyle C \)を積分定数とする.
(1) \( \displaystyle \int x^{\alpha}\,dx=\frac{1}{\alpha+1}x^{\alpha+1}+C \ \ \) (2)\( \displaystyle \int \frac{1}{x}\,dx=\log|x|+C \)
(3)\( \displaystyle \int e^x\,dx=e^x+C \) (4) \( \displaystyle \int a^x\,dx=\frac{1}{\log a}a^x+C \ \ \) (\( \displaystyle a \neq 1 \)とする)
(5) \( \displaystyle \int \sin x\,dx=-\cos x+C \ \ \) (6)\( \displaystyle \int \cos x\,dx=\sin x+C \)
(7) \( \displaystyle \int \frac{1}{\cos^2 x}\,dx=\tan x+C \ \ \) (8) \( \displaystyle \int \frac{1}{\sin^2 x}\,dx=-\frac{1}{\tan x}+C \)
(9) \( \displaystyle \int \frac{1}{a^2+x^2}\,dx=\frac{1}{a}\mathrm{Arctan}\frac{x}{a}+C \ \) (10) \( \displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\,dx=\mathrm{Arcsin}\frac{x}{a}+C \)
(11) \( \displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{x^2 \pm a^2}}\,dx=\log\left|x+\sqrt{x^2 \pm a^2}\right|+C \)
※高等学校学習指導要領において逆三角関数が必須の指導範囲に含まれていないこともあり，(9)以降は置換積分を利用して計算することが多い．

(1次合成型の積分)

\( \displaystyle F(x) \)を\( \displaystyle f(x) \)の原始関数，\( \displaystyle a,b(a \neq 0) \)を実数とする.
\( \displaystyle \ \ \ \ \int f(ax+b)\,dx=\frac{1}{a}F(ax+b)+C \ \ (C:\text{積分定数}) \)

○置換積分と部分積分

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※部分積分について，後から微分する関数(\( \displaystyle f(x) \)にあたるもの)としては，微分して簡単になりやすいものを優先する．
よく登場する関数では，「対数関数」，「多項式」，「三角関数・指数関数」の順で考えるとよい．例えば\( \displaystyle \log x \)の積分は，自分自身が後から微分されるように，以下のように変形する．
\( \displaystyle \ \ \ \ \int \log x\,dx=\int (x)’ \log x\,dx=x \log x – \int x \cdot (\log x)’\,dx \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =x \log x – \int 1\,dx=x \log x – x + C \ \ (C\text{は積分定数}) \)

※置換積分について，①を逆向きに使うと(変数\( \displaystyle u \)を\( \displaystyle x \)，\( \displaystyle x \)を\( \displaystyle t \)に変えて)
\( \displaystyle \ \ \ \ \left. \int f(x)\,dx \right|_{x=g(t)} = \int \left( \left. f(x) \right|_{x=g(t)} \right) \frac{d}{dt} g(t)\,dt \)
もし，\( \displaystyle x=g(t) \)が逆関数をもつなら，\( \displaystyle g^{-1}(x)=t \) (\( \displaystyle t \)の式が\( \displaystyle x \)の式で表現できる！)であるから，
\( \displaystyle \ \ \ \ \int f(x)\,dx = \left. \int \left( \left. f(x) \right|_{x=g(t)} \right) \frac{d}{dt} g(t)\,dt \right|_{t=g^{-1}(x)} \)

◯置換積分の利用

以下表では，積分定数は無視する．

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※置換積分について，不定積分の場合は最終的に\( \displaystyle u=g(x) \)や\( \displaystyle t=g^{-1}(x) \)などで旧変数に戻すのが普通．定積分においては，新変数で積分後に，新変数に対応した上端・下端(数値)を代入するため，関数全体を旧変数で書き直す計算は不要．それぞれの具体的な定積分の形は次のとおり．
型1では，
\( \displaystyle \int_{a}^{b} \left( \left. f(u) \right|_{u=g(x)} \right) \frac{d}{dx} g(x)\,dx=\left[ \left. \int f(u)\,du \right|_{u=g(x)} \right]_{x=a}^{x=b}=\int_{g(a)}^{g(b)} f(u)\,du \)
型2では，
\( \displaystyle \int_{a}^{b} f(x)\,dx=\left[ \left. \int \left( \left. f(x) \right|_{x=g(t)} \right) \frac{d}{dt} g(t)\,dt \right|_{t=g^{-1}(x)} \right]_{x=a}^{x=b}=\int_{g^{-1}(a)}^{g^{-1}(b)} \left( \left. f(x) \right|_{x=g(t)} \right) \frac{d}{dt} g(t)\,dt \)

○定積分の性質

\( \displaystyle a,b,c \)を実数，\( \displaystyle f(x) \)を関数とする.
(1) \( \displaystyle \int_{a}^{a} f(x)\,dx=0 \)
(2) \( \displaystyle \int_{b}^{a} f(x)\,dx=-\int_{a}^{b} f(x)\,dx \)
(3) \( \displaystyle \int_{a}^{b} f(x)\,dx=\int_{a}^{c} f(x)\,dx+\int_{c}^{b} f(x)\,dx \)

○面積

\( \displaystyle f(x),g(x) \)を\( \displaystyle f(x) \geqq g(x) \ (a \leqq x \leqq b) \)を満たす関数とする．
曲線\( \displaystyle y=f(x) \)，\( \displaystyle y=g(x) \)と直線\( \displaystyle x=a \)，\( \displaystyle x=b \)で囲まれた図形の面積は，
\( \displaystyle \ \ \ \ \int_{a}^{b} \{f(x)-g(x)\}\,dx \)

◯種々の積分の処理

絶対値関数の定積分	絶対値の中身の符号で区間を分割する
偶関数・奇関数の定積分	関数の対称性を利用．とくに，・ \( \displaystyle f(x) \)が偶関数のとき， \( \displaystyle \int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 2 \int_{0}^{a} f(x)\,dx \) ・ \( \displaystyle f(x) \)が奇関数のとき， \( \displaystyle \int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 0 \)

◯種々の積分の処理(具体的な関数ごと，三角関数以外)

補足(クリックして下さい)

※1/6公式は，ベータ関数\( \displaystyle B(x,y) \)と呼ばれる関数の特別な値とみなせる．また，次のように一般化できる．
\( \displaystyle \ \ \ \ \int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)^m (\beta-x)^n \,dx=\frac{m!n!}{(m+n+1)!}(\beta-\alpha)^{m+n+1} \)
※部分分数分解では，次のような変形ができることをおさえておきたい
\( \displaystyle a,b,\alpha,\beta(\alpha \neq \beta) \)を数とする.
・\( \displaystyle \frac{1}{(x-\alpha)(x-\beta)}=\frac{1}{\alpha-\beta}\left(\frac{1}{x-\alpha}-\frac{1}{x-\beta}\right) \)
・\( \displaystyle \frac{ax+b}{(x-\alpha)^2}=\frac{a}{x-\alpha}+\frac{a\alpha+b}{(x-\alpha)^2} \)

◯種々の積分の処理(三角関数)

説明例(クリックして下さい)

※以下のように，\( \sin\theta, \cos\theta \) は，\( \tan\frac{\theta}{2} \) だけの式で表すことができる．
\( \displaystyle \sin\theta = 2\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2} = 2 \cdot \frac{\sin\frac{\theta}{2}}{\cos\frac{\theta}{2}} \cdot \cos^2\frac{\theta}{2} = 2\tan\frac{\theta}{2} \cdot \frac{1}{1+\tan^2\frac{\theta}{2}} \)
\( \displaystyle \cos\theta = \cos^2\frac{\theta}{2} – \sin^2\frac{\theta}{2} = \left(1-\frac{\sin^2\frac{\theta}{2}}{\cos^2\frac{\theta}{2}}\right) \cos^2\frac{\theta}{2} = \left(1-\tan^2\frac{\theta}{2}\right) \cdot \frac{1}{1+\tan^2\frac{\theta}{2}} \)

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