積分法の利用 | きょうさい対策ブログ

○体積

座標空間内の\( \displaystyle a \leqq x \leqq b \)の範囲にある立体の体積は,
\( \displaystyle \int_{a}^{b} S(t)\,dt \) (\( \displaystyle S(t) \):平面\( \displaystyle x=t \)による立体の断面積)

※断面の図形は，\( \displaystyle x \)軸と垂直であることに注意．

○回転体の断面積

回転体の回転軸に垂直な平面による断面積は，
\( \displaystyle \pi \cdot (\text{最長距離})^2 – \pi \cdot (\text{最短距離})^2 \)

(例，三重県)放物線 \( \displaystyle y=-x^2+2x \) と直線 \( \displaystyle y=-x \) とで囲まれた部分を \( \displaystyle x \) 軸のまわりに1回転させてできる立体の体積 \( \displaystyle V \) を求める．

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放物線 \( \displaystyle y = -x^2+2x \) と直線 \( \displaystyle y = -x \) の交点の \( \displaystyle x \) 座標は，
\( \displaystyle -x^2+2x=-x \iff x(x-3)=0 \)
により，\( \displaystyle x = 0, 3 \) である．

\( \displaystyle x=t \) のときの回転体の断面について，\( \displaystyle x \) 軸からの距離は，
\( \displaystyle \begin{cases} 0 \leqq t \leqq 1 \text{ のとき，最長距離 } -t^2+2t \text{，最短距離 } 0 \\ 1 \leqq t \leqq 2 \text{ のとき，最長距離 } |-t| \text{，最短距離 } 0 \\ 2 \leqq t \leqq 3 \text{ のとき，最長距離 } |-t| \text{，最短距離 } |-t^2+2t| \end{cases} \)
よって，
\( \displaystyle V = \int_{0}^{1} \pi(-t^2+2t)^2 \, dt + \int_{1}^{2} \pi t^2 \, dt + \int_{2}^{3} \left\{ \pi t^2 – \pi(t^2-2t)^2 \right\} \, dt \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ = \int_{1}^{3} \pi t^2 \, dt + \int_{0}^{1} \pi(t^2-2t)^2 \, dt – \int_{2}^{3} \pi(t^2-2t)^2 \, dt \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ = \pi \left[ \frac{1}{3}t^3 \right]_{1}^{3} + \pi \left[ \frac{1}{5}t^5 – t^4 + \frac{4}{3}t^3 \right]_{0}^{1} – \pi \left[ \frac{1}{5}t^5 – t^4 + \frac{4}{3}t^3 \right]_{2}^{3} \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ = \pi \left( 9 – \frac{1}{3} \right) + \pi \left( \frac{1}{5} – 1 + \frac{4}{3} \right) – \pi \left( \frac{243}{5} – 81 + 36 \right) + \pi \left( \frac{32}{5} – 16 + \frac{32}{3} \right) \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ = \pi \left( 37 + \frac{35}{3} – \frac{210}{5} \right) = \frac{20}{3}\pi \) (答)

○速度・加速度・道のり

○曲線の長さ

\( \displaystyle (x,y)=(f(t),g(t)) \) \( \displaystyle (a \leq t \leq b, f,g\text{は微分可能で導関数が連続}) \)と媒介変数表示された曲線の長さは
\( \displaystyle \int_a^b \sqrt{\{f'(t)\}^2+\{g'(t)\}^2} \ dt \)

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※長さ関数\( \displaystyle L(t) \)を，時刻\( \displaystyle a \)から時刻\( \displaystyle t \) \( \displaystyle (a \leq t \leq b) \)までの区間における，曲線\( \displaystyle (x,y)=(f(t),g(t)) \)が描く曲線の長さと定めると，\( \displaystyle L(t) \)は，時刻\( \displaystyle t \)における点\( \displaystyle \mathrm{P}(f(t),g(t)) \)での速さ\( \displaystyle \sqrt{\{f'(t)\}^2+\{g'(t)\}^2} \)の原始関数の１つであり\( \displaystyle (L'(t)=\sqrt{\{f'(t)\}^2+\{g'(t)\}^2}) \)，上の公式が導かれる．

実際，図のように\( \displaystyle \mathrm{P}(f(t),g(t)),\mathrm{Q}(f(t+h),g(t+h)) \)をとり，\( \displaystyle \mathrm{P},\mathrm{Q} \)上での接線の交点を\( \displaystyle \mathrm{R} \)とすると
\( \displaystyle \mathrm{PQ} \leq L(t+h)-L(t) \leq \mathrm{PR}+\mathrm{RQ} \)
であり，\( \displaystyle h \to 0 \)において
\( \displaystyle \frac{\mathrm{PQ}}{h}=\sqrt{\left\{\frac{f(t+h)-f(t)}{h}\right\}^2+\left\{\frac{g(t+h)-g(t)}{h}\right\}^2} \to \sqrt{\{f'(t)\}^2+\{g'(t)\}^2} \)
また，\( \displaystyle \angle \mathrm{QPR}=\theta_1,\angle \mathrm{PQR}=\theta_2 \)とおくと，正弦定理により，
\( \displaystyle \frac{\mathrm{PR}+\mathrm{RQ}}{h}=\frac{1}{h}\left\{ \frac{\mathrm{PQ}\cdot\sin\theta_1}{\sin(\theta_1+\theta_2)}+\frac{\mathrm{PQ}\cdot\sin\theta_2}{\sin(\theta_1+\theta_2)} \right\} \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{\mathrm{PQ}}{h}\cdot\frac{2\sin\left(\frac{\theta_1+\theta_2}{2}\right)\cos\left(\frac{\theta_1-\theta_2}{2}\right)}{2\sin\left(\frac{\theta_1+\theta_2}{2}\right)\cos\left(\frac{\theta_1+\theta_2}{2}\right)} \to \sqrt{\{f'(t)\}^2+\{g'(t)\}^2} \ \ (h \to 0) \)

※一般の関数\( \displaystyle y=f(x) \)で表される曲線の長さは，グラフをパラメータ表示\( \displaystyle (t,f(t)) \)とみなして\( \displaystyle \int_a^b \sqrt{1+\{f'(t)\}^2} \ dt \)を計算すればよい．

※極方程式\( \displaystyle r=f(\theta) \)で表される場合は，\( \displaystyle x=f(\theta)\cos\theta,y=f(\theta)\sin\theta \)であるから，
\( \displaystyle \left(\frac{dx}{d\theta}\right)^2+\left(\frac{dy}{d\theta}\right)^2=\{f'(\theta)\cos\theta-f(\theta)\sin\theta\}^2+\{f'(\theta)\sin\theta+f(\theta)\cos\theta\}^2 \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =f'(\theta)^2\{\cos^2\theta+\sin^2\theta\}+f(\theta)^2\{\cos^2\theta+\sin^2\theta\} \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =f'(\theta)^2+f(\theta)^2=\left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2+r^2 \)
となる．

(例，秋田県)媒介変数表示された曲線\( \displaystyle x=e^{-t}\cos 2\pi t \), \( \displaystyle y=e^{-t}\sin 2\pi t \) \( \displaystyle (0 \leqq t \leqq 1) \) の長さを求める．

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\( \displaystyle \frac{dx}{dt}=-e^{-t}\left(\cos 2\pi t+2\pi \sin 2\pi t\right) \), \( \displaystyle \frac{dy}{dt}=-e^{-t}\left(\sin 2\pi t-2\pi \cos 2\pi t\right) \)
により，
\( \displaystyle \left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2 \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ = e^{-2t}\left(\cos 2\pi t+2\pi \sin 2\pi t\right)^2+e^{-2t}\left(\sin 2\pi t-2\pi \cos 2\pi t\right)^2 \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ = e^{-2t}\left\{\left(\cos^2 2\pi t+\sin^2 2\pi t\right)+4\pi^2 \left(\sin^2 2\pi t+\cos^2 2\pi t\right)\right\} \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ = e^{-2t}\left(1+4\pi^2\right) \)
よって，求める曲線の長さは，
\( \displaystyle L=\int_{0}^{1}\sqrt{e^{-2t}\left(1+4\pi^2\right)}\,dt \)
\( \displaystyle \ \ \ = \sqrt{1+4\pi^2}\int_{0}^{1}e^{-t}\,dt=\sqrt{1+4\pi^2}\left(1-\frac{1}{e}\right) \) （答）

※関係式\( \displaystyle r^2=x^2+y^2 \)，\( \displaystyle \frac{x}{r}=\cos \theta \)，\( \displaystyle \frac{y}{r}=\sin \theta \)から\( \displaystyle r=e^{-t} \)，\( \displaystyle \theta=2\pi t \)となるため，
「\( \displaystyle x=e^{-t}\cos 2\pi t \), \( \displaystyle y=e^{-t}\sin 2\pi t \) \( \displaystyle (0 \leqq t \leqq 1) \)」は極方程式で「\( \displaystyle r=e^{-\frac{\theta}{2\pi}} \) \( \displaystyle (0 \leqq \theta \leqq 2\pi) \)」と表される．
そこで，極方程式版の曲線の長さの公式を使うと，
\( \displaystyle L=\int_{0}^{2\pi}\sqrt{\left(\frac{d}{d\theta}e^{-\frac{\theta}{2\pi}}\right)^2+\left(e^{-\frac{\theta}{2\pi}}\right)^2}\,d\theta=\int_{0}^{2\pi}\sqrt{\left(e^{-\frac{\theta}{2\pi}}\right)^2\left(\frac{1}{4\pi^2}+1\right)}\,d\theta \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ = \sqrt{\frac{1}{4\pi^2}+1}\int_{0}^{2\pi}e^{-\frac{\theta}{2\pi}}\,d\theta=\sqrt{\frac{1}{4\pi^2}+1}\left[-2\pi e^{-\frac{\theta}{2\pi}}\right]_{0}^{2\pi}=\sqrt{1+4\pi^2}\left(1-\frac{1}{e}\right) \)

◯定積分で表される関数の処理

※変区間を含む方程式において同値変形を行う場合，「微分して等しい」だけだと同値性が崩れるため，ある１点で等しい条件を加えるとよい．すなわち，
\( \displaystyle F(x)=G(x) \iff \begin{cases} F'(x)=G'(x) \quad \text{（両辺の微分）} \\ \text{ある実数 } a \text{ に対し，} F(a)=G(a) \quad \text{（1点を代入）} \end{cases} \)

○定積分と不等式
\( \displaystyle f(x) \leqq g(x) \ (a \leqq x \leqq b) \)のとき，
\( \displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx \leqq \int_{a}^{b}g(x)\,dx \) (等号成立条件は，「区間上でつねに\( \displaystyle f(x)=g(x) \)」)

(例，典型問題)\( \displaystyle n \)を2以上の自然数とするとき，次の不等式を示す．
\( \displaystyle \log(n+1) \lt 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n} \lt 1+\log n \)

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関数\( \displaystyle f(x)=\frac{1}{x} \ (x \gt 0) \)のグラフを考えると，

\( \displaystyle \int_1^{n+1} \frac{1}{x} \ dx \lt \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} \lt 1+\int_1^{n} \frac{1}{x} \ dx \)
を得る．\( \displaystyle \int_1^{n+1} \frac{1}{x} \ dx=\log(n+1),\int_1^{n} \frac{1}{x} \ dx=\log n \)であるから，示すべき不等式が導かれる．

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