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○関数の連続性
\( \displaystyle f(x) \)を関数とする．
(1) \( \displaystyle f(x) \)が \( \displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = f(a) \)を満たすとき，\( \displaystyle f(x) \)は\( \displaystyle x = a \)で連続である（連続である）という.
(2) \( \displaystyle f(x) \)が定義域の任意の点で連続であるとき，\( \displaystyle f(x) \)は連続である（連続である）という.
※連続の定義について，定義域の端の点では，片側極限で考える．例えば\( \displaystyle x \geqq 1 \)で定義された関数について，\( \displaystyle x = 1 \)で連続であるとは，\( \displaystyle \lim_{x \to 1+0} f(x) = f(1) \)が成り立つことと定める．
○関数の微分可能性
(1) \( \displaystyle a \lt b \)のとき，\( \displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \) を，\( \displaystyle x \)が\( \displaystyle a \)から\( \displaystyle b \)まで変化するときの \( \displaystyle f(x) \)の平均変化率という．
(2)極限 \( \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} \) が存在するとき，\( \displaystyle f(x) \)は\( \displaystyle x=a \)で微分可能であるという．
また，この極限値を\( \displaystyle f(x) \)の微分係数といい，\( \displaystyle f'(a) \)で表す.
(3)\( \displaystyle f(x) \)が定義域の内部の任意の点で微分可能であるとき，\( \displaystyle f(x) \)は微分可能であるという．
※\( \displaystyle x=a \)における関数の状況について
(例，岐阜県)\( \displaystyle a,b,c \)を定数とする． \( \displaystyle x \)の関数
\( \displaystyle f(x)=\lim_{n \to \infty} \frac{x^{n+1}+3x^n+ax^3-bx+c}{x^n+2} \)
について，次の各問いに答えよ．
(1) \( \displaystyle x=1 \)において\( \displaystyle f(x) \)が連続であるための条件を，\( \displaystyle a,b,c \)で表せ．
(2) \( \displaystyle x=-1 \)において\( \displaystyle f(x) \)の値が定まるための条件を，\( \displaystyle a,b,c \)で表せ．
(3) \( \displaystyle x=-1 \)において\( \displaystyle f(x) \)の値が定まり，かつ，\( \displaystyle x=1 \)において\( \displaystyle f(x) \)が微分可能であるとき\( \displaystyle a,b,c \)の値を求めよ．
○中間値の定理・平均値の定理
(1) \( \displaystyle f(x) \)を区間 \( \displaystyle [a,b] \)で定義された連続関数とする．
\( \displaystyle f(a) \neq f(b) \)のとき，\( \displaystyle f(a) \)と\( \displaystyle f(b) \)の間の任意の実数\( \displaystyle k \)に対し，
\( \displaystyle \ \ \ \ f(c)=k \ (a \lt c \lt b) \)
を満たす実数 \( \displaystyle c \) が存在する.
(2)区間 \( \displaystyle [a,b] \)で連続，区間 \( \displaystyle (a,b) \)で微分可能な関数 \( \displaystyle f(x) \) に対し，
\( \displaystyle \ \ \ \ f(b)-f(a)=f'(c)(b-a) \ (a \lt c \lt b) \)
を満たす実数 \( \displaystyle c \) が存在する．
※平均値の定理は，「2点\( \displaystyle (a,f(a)),(b,f(b)) \)を結ぶ直線」と傾きが等しい接線が，曲線\( \displaystyle y=f(x) \)上(ただし \( \displaystyle a \lt x \lt b \))に存在することを表す．
※\( \displaystyle a,b \)が相異なる実数のとき，平均値の定理は「\( \displaystyle f(b)-f(a)=f'(a+\theta(b-a))(b-a) \ (0 \lt \theta \lt 1) \)となる\( \displaystyle \theta \)が存在する」とも表現できる．この表現は\( \displaystyle a,b \)の大小関係を気にせず使用することができる．
○関数の増減
(1) 区間\( \displaystyle I \)で「\( \displaystyle a,b \in I, \ a \lt b \implies f(a) \lt f(b) \ (f(a) \gt f(b)) \)」が成り立つとき，\( \displaystyle f(x) \)は\( \displaystyle I \)で単調増加(単調減少)であるという．
(2) 区間\( \displaystyle I \)で\( \displaystyle f'(x) \gt 0 \ (f'(x) \lt 0) \)のとき，\( \displaystyle f(x) \)は\( \displaystyle I \)で単調増加(単調減少)である．
※((2)について)
区間\( \displaystyle I \)の内部の点で\( \displaystyle f'(x) \gt 0 \)とする．任意の\( \displaystyle a,b \in I \ (a \lt b) \)に対し，ある\( \displaystyle c \ (a \lt c \lt b) \)が存在して，\( \displaystyle f(b)-f(a)=f'(c)(b-a) \)と表される．仮定により，\( \displaystyle f'(c) \gt 0, \ b-a \gt 0 \)であるから，\( \displaystyle f(b)-f(a) \gt 0 \ \ \therefore f(a) \lt f(b) \)．\( \displaystyle f'(x) \lt 0 \)の場合も同様．
○導関数・微分
(定義)
微分可能な関数\( \displaystyle f(x) \)に対し，関数\( \displaystyle f'(x) \)を導関数という.また，導関数\( \displaystyle f'(x) \)を求めることを微分するという.
※導関数は\( \displaystyle f'(x) \)の他にも，\( \displaystyle y’ \)，\( \displaystyle \frac{d}{dx} f(x) \)，\( \displaystyle \frac{dy}{dx} \)などとも表す．
(関数ごとの公式)
\( \displaystyle c,\alpha \) を実数，\( \displaystyle a \)を正の実数とする.
(1) \( \displaystyle (c)’=0 \) (2) \( \displaystyle (x^\alpha)’=\alpha x^{\alpha-1} \) (3) \( \displaystyle (e^x)’=e^x \)
(4) \( \displaystyle (a^x)’=a^x \log a \) (5) \( \displaystyle (\log x)’=\frac{1}{x} \) (6) \( \displaystyle (\log |x|)’=\frac{1}{x} \)
(7) \( \displaystyle (\sin x)’=\cos x \) (8) \( \displaystyle (\cos x)’=-\sin x \)
(9) \( \displaystyle (\tan x)’=\frac{1}{\cos^2 x} \) (10) \( \displaystyle \left(\frac{1}{\tan x}\right)’=-\frac{1}{\sin^2 x} \)
(和，定数倍，積，商の微分)
\( \displaystyle k \)を実数，\( \displaystyle f(x),g(x) \)を微分可能な関数とする.
(1) \( \displaystyle \{f(x)+g(x)\}’=f'(x)+g'(x) \)
(2) \( \displaystyle \{kf(x)\}’=kf'(x) \)
(3) \( \displaystyle \{f(x)g(x)\}’=f'(x)g(x)+f(x)g'(x) \)
(4) \( \displaystyle \left\{\frac{f(x)}{g(x)}\right\}’=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2} \)
○合成関数とその微分
(1) 関数 \( \displaystyle f(x),g(x) \)に対し，関数 \( \displaystyle f(g(x)) \)を\( \displaystyle g(x) \)と \( \displaystyle f(x) \)の合成関数といい，\( \displaystyle (f \circ g)(x) \)で表す.
(2) 微分可能な関数\( \displaystyle f(x),g(x) \)に対し，
\( \displaystyle \ \ \ \ \{f(g(x))\}’=f'(g(x))g'(x) \) (合成関数の微分公式)
○高次導関数
関数 \( \displaystyle y=f(x) \)が\( \displaystyle n \)回微分可能であるとき，\( \displaystyle n \)回微分した関数を\( \displaystyle f(x) \)の第\( \displaystyle n \)次導関数といい，
\( \displaystyle \ \ \ \ f^{(n)}(x),y^{(n)},\frac{d^n}{dx^n}f(x),\frac{d^n y}{dx^n} \) などと表す.
◯種々の微分法
| \( \displaystyle \{f(x)\}^{g(x)} \)の微分 | \( \displaystyle e^{g(x) \log f(x)} \) に変形して微分する． |
| 陰関数の微分 | \( \displaystyle F(x,f(x))=0 \)の両辺を\( \displaystyle x \)で微分する． |
| 逆関数の微分 | \( \displaystyle f(f^{-1}(x))=x \)の両辺を\( \displaystyle x \)で微分する． |
| 媒介変数表示された関数の微分 | \( \displaystyle x=f(t),y=g(t) \)から\( \displaystyle y=g(f^{-1}(x)) \)と考えて，両辺を\( \displaystyle x \)で微分する． |
○陰関数とその微分
(1)2つの変数の間に関係式\( \displaystyle F(x,y)=0 \)があり，\( \displaystyle F(x,f(x))=0 \)を満たす関数\( \displaystyle y=f(x) \)が存在するとき，この関数\( \displaystyle y=f(x) \)を，関係式によって定められた陰関数という．
(2)陰関数の微分は， \( \displaystyle F(x,f(x))=0 \)の両辺を\( \displaystyle x \)で微分して求める．
※\( \displaystyle F(x,y) \) の偏導関数 \( \displaystyle F_x,F_y \) が連続，\( \displaystyle f(x) \)が微分可能で\( \displaystyle F_y (x,f(x)) \neq 0 \)のとき，\( \displaystyle f'(x)=-\frac{F_x (x,f(x))}{F_y (x,f(x))} \)と表される．
(例)関係式 \( \displaystyle x^2+xy+y^2-3=0 \) によって定められる陰関数\( \displaystyle y \)の導関数 \( \displaystyle y’ \) を求める．
○逆関数
(1) 関数\( \displaystyle f \) について，その値域の各 \( \displaystyle x \) に対し，\( \displaystyle f(y)=x \)を満たす定義域の要素\( \displaystyle y \)がただ1つ存在するとき，\( \displaystyle y \)は\( \displaystyle x \)の関数
である．この関数を\( \displaystyle f \) の逆関数といい，\( \displaystyle f^{-1}(x) \)で表す．
(2) 区間\( \displaystyle I \)上で定義された\( \displaystyle f \)が単調増加(単調減少)のとき，\( \displaystyle f \)の値域\( \displaystyle f(I) \)を定義域とする単調増加(単調減少)な逆関数\( \displaystyle f^{-1} \)が存在する．
(3) 逆関数\( \displaystyle f^{-1} \)が存在するとき，\( \displaystyle f(x)=y \iff x=f^{-1}(y) \)であるから，
\( \displaystyle \ \ \ \ (f \circ f^{-1})(y)=y \) (\( \displaystyle f \)の値域の要素)，\( \displaystyle (f^{-1} \circ f)(x)=x \) (\( \displaystyle f \)の定義域の要素)．
(逆関数の例)
・逆関数が存在するとき，もとの関数\( \displaystyle y=f(x) \)で\( \displaystyle x,y \)を入れ替えた\( \displaystyle x=f(y) \)について，\( \displaystyle y \)について解くことで逆関数の式\( \displaystyle f^{-1}(x)=y \)が得られる．
・慣れていない逆関数を扱う場合は，いったん\( \displaystyle f^{-1}(x)=y \)とおき，逆関数を含まない形\( \displaystyle x=f(y) \)にしてから考察するとよい．
※\( \displaystyle \frac{e^x+e^{-x}}{2},\frac{e^x-e^{-x}}{2} \)はそれぞれ，\( \displaystyle \cosh x, \sinh x \)とも表す．
○逆関数の微分
\( \displaystyle f(x) \)が区間\( \displaystyle I \)の内部で微分可能かつ，つねに\( \displaystyle f'(x) \neq 0 \)ならば， \( \displaystyle f(I) \)の内部を定義域とする微分可能な逆関数\( \displaystyle f^{-1}(x) \)が存在し，\( \displaystyle \{f^{-1}(x)\}’=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))} \) (\( \displaystyle \leftarrow f^{-1} \) の微分が，\( \displaystyle f \)の微分で表現できる)
\( \displaystyle y=f^{-1}(x) \)とおく．逆関数の定義から，\( \displaystyle x=f(y) \)である．
\( \displaystyle x \)の増分を \( \displaystyle k \ (k \neq 0) \)，これに対応する\( \displaystyle y \)の増分を \( \displaystyle h \) とすると，
\( \displaystyle f^{-1}(x+k)-f^{-1}(x)=h, \ k=(x+k)-x=f(y+h)-f(y) \)と表されるから，
\( \displaystyle \frac{f^{-1}(x+k)-f^{-1}(x)}{k}=\frac{h}{f(y+h)-f(y)}=\frac{1}{\frac{f(y+h)-f(y)}{h}} \)…①
(\( \displaystyle \because \)区間\( \displaystyle I \)の内部でつねに\( \displaystyle f'(x) \neq 0 \)により，\( \displaystyle f(x) \)が\( \displaystyle I \)で単調関数であることから，\( \displaystyle k \neq 0 \) のとき \( \displaystyle h \neq 0 \))
ここで，\( \displaystyle f^{-1}(x) \)は連続関数(枠外参照)であるから，\( \displaystyle k \to 0 \)のとき，\( \displaystyle h \to 0 \)である．よって，
\( \displaystyle \lim_{k \to 0} \frac{f^{-1}(x+k)-f^{-1}(x)}{k}=\lim_{h \to 0} \frac{1}{\frac{f(y+h)-f(y)}{h}}=\frac{1}{f'(y)} \)
※上の定理により，「\( \displaystyle f(x) \)が区間\( \displaystyle I \)の内部で微分可能かつ，つねに\( \displaystyle f'(x) \neq 0 \)」のとき，微分可能な逆関数が存在することがわかる．また，\( \displaystyle \{f^{-1}(x)\}’=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))} \)は，\( \displaystyle y=f^{-1}(x) \)のとき\( \displaystyle f(y)=x \)の両辺を\( \displaystyle x \)で微分することで導くことができる．
※(補足)上の説明の中では，「\( \displaystyle f \)が単調連続関数とするとき，\( \displaystyle f^{-1}(x) \)も単調連続関数」…②であることを使っている．
(②の説明)\( \displaystyle f \)は単調増加な連続関数とする．\( \displaystyle f \)が単調増加であるから，\( \displaystyle f^{-1} \)が存在し，\( \displaystyle f^{-1} \)も単調増加である．よって，\( \displaystyle f^{-1} \)が連続関数であることを示せばよい．
\( \displaystyle f^{-1} \) の定義域(\( \displaystyle f \)の値域\( \displaystyle f(I) \))の内部の点\( \displaystyle b \)に対し，\( \displaystyle b=f(a) \)とおき(\( \displaystyle \)このとき\( \displaystyle a=f^{-1}(b) \))，この点\( \displaystyle b=f(a) \)で\( \displaystyle f^{-1} \)が連続であることを示す．(\( \displaystyle a \pm \varepsilon \)が\( \displaystyle f \)の定義域に含まれる程度に十分小さい範囲で)任意の正の数\( \displaystyle \varepsilon \)をとる．\( \displaystyle f \)は単調増加であるから，
\( \displaystyle \ \ \ \ f(a-\varepsilon) \lt f(a) \lt f(a+\varepsilon) \)すなわち\( \displaystyle f(a-\varepsilon) \lt b \lt f(a+\varepsilon) \)
\( \displaystyle b \)と両端の幅の小さい方を\( \displaystyle \delta \)とおく(\( \displaystyle \delta=\min \{b-f(a-\varepsilon), \ f(a+\varepsilon)-b\} \))と，\( \displaystyle \delta \gt 0 \)である．
\( \displaystyle |y-b| \lt \delta \) を満たす任意の\( \displaystyle y \)について，\( \displaystyle f(a-\varepsilon) \le b-\delta \lt y \lt b+\delta \le f(a+\varepsilon) \)となるので，
\( \displaystyle \ \ \ \ a-\varepsilon \lt f^{-1}(y) \lt a+\varepsilon \) (\( \displaystyle \because f^{-1} \) は単調増加)
これは，\( \displaystyle f^{-1} \)が\( \displaystyle b(=f(a)) \)で連続であることを表す．なお，\( \displaystyle f^{-1} \) の定義域(\( \displaystyle f \)の値域\( \displaystyle f(I) \))の端の点でも同様の議論が成立する(左右から挟む不等式評価で，右または左を削除して同様の議論をすればよい)．
よって，定義域の任意の点で\( \displaystyle f^{-1} \)は連続である．
※よく逆関数として登場するものの微分
| 関数 | 微分 |
| \( \displaystyle y=\log x \) | \( \displaystyle e^y=x \) の両辺を\( \displaystyle x \)で微分 \( \displaystyle e^y \cdot (y)’=1 \ \ \ \ \therefore y’=\frac{1}{e^y}=\frac{1}{x} \) |
| \( \displaystyle y=\log(x+\sqrt{x^2-1}) \) | \( \displaystyle \frac{e^y+e^{-y}}{2}=x \)の両辺を\( \displaystyle x \)で微分 \( \displaystyle 1=\frac{e^y-e^{-y}}{2} \cdot y’ \ \ \ \ \therefore y’=\frac{2}{e^y-e^{-y}}=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}} \) \( \displaystyle \left(\because \begin{array}{l} y \geqq 0 \text{により} e^y-e^{-y} \geqq 0, \\ \frac{e^y-e^{-y}}{2}=\sqrt{\left(\frac{e^y+e^{-y}}{2}\right)^2-1}=\sqrt{x^2-1} \end{array}\right) \) |
| \( \displaystyle y=\log(x+\sqrt{x^2+1}) \) | \( \displaystyle \frac{e^y-e^{-y}}{2}=x \)の両辺を\( \displaystyle x \)で微分 \( \displaystyle 1=\frac{e^y+e^{-y}}{2} \cdot y’ \ \ \ \ \therefore y’=\frac{2}{e^y+e^{-y}}=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}} \) \( \displaystyle \left(\because \begin{array}{l} e^y+e^{-y} \geqq 0 \\ \frac{e^y+e^{-y}}{2}=\sqrt{\left(\frac{e^y-e^{-y}}{2}\right)^2+1}=\sqrt{x^2+1} \end{array}\right) \) |
| \( \displaystyle y=\mathrm{Arcsin}\ x \) | \( \displaystyle \sin y=x \)の両辺を\( \displaystyle x \)で微分 \( \displaystyle \cos y \cdot y’=1 \ \ \ \ \therefore y’=\frac{1}{\cos y}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \) \( \displaystyle \left(\because -\frac{\pi}{2} \leqq y \leqq \frac{\pi}{2}, \sin^2 y+\cos^2 y=1\right) \) |
| \( \displaystyle y=\mathrm{Arccos}\ x \) | \( \displaystyle \cos y=x \)の両辺を\( \displaystyle x \)で微分 \( \displaystyle -\sin y \cdot y’=1 \ \ \ \ \therefore y’=\frac{-1}{\sin y}=\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}} \) \( \displaystyle \left(\because 0 \leqq y \leqq \pi, \sin^2 y+\cos^2 y=1\right) \) |
| \( \displaystyle y=\mathrm{Arctan}\ x \) | \( \displaystyle \tan y=x \)の両辺を\( \displaystyle x \)で微分 \( \displaystyle \frac{1}{\cos^2 y} \cdot y’=1 \ \ \ \ \therefore y’=\cos^2 y=\frac{1}{1+x^2} \ \ \ \ \left(\because \tan^2 y+1=\frac{1}{\cos^2 y}\right) \) |
※\( \displaystyle y=\log(x+\sqrt{x^2 \pm 1}) \)はよく知られた関数の組合せであるから，そのまま微分しても導ける．
\( \displaystyle \ \ \ \ y’=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{x^2 \pm 1}}}{x+\sqrt{x^2 \pm 1}}=\frac{1}{x+\sqrt{x^2 \pm 1}} \cdot \frac{\sqrt{x^2 \pm 1}+x}{\sqrt{x^2 \pm 1}}=\frac{1}{\sqrt{x^2 \pm 1}} \)
○媒介変数表示された関数の微分
媒介変数表示\( \displaystyle x=f(t) \)，\( \displaystyle y=g(t) \)(\( \displaystyle f(t),g(t) \)を微分可能，\( \displaystyle f'(t) \)は連続)で定まる関係について，
\( \displaystyle f'(t) \neq 0 \)となる\( \displaystyle t \)を含むある開区間上で\( \displaystyle y \)を\( \displaystyle x \)の関数とみなすことができ，
\( \displaystyle \ \ \ \ \frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{g'(t)}{f'(t)} \)
\( \displaystyle x=f(t) \)について，\( \displaystyle f'(t) \neq 0 \)かつ\( \displaystyle f’ \)が連続であるから，\( \displaystyle t \)を含む十分小さい開区間\( \displaystyle I \)で，\( \displaystyle f’ \neq 0 \)である．よって\( \displaystyle f(I) \)を定義域とする逆関数\( \displaystyle f^{-1}(x)=t \)が存在する．
よって，\( \displaystyle f(I) \)を定義域として，\( \displaystyle y \)が\( \displaystyle x \)の関数として
\( \displaystyle \ \ \ \ y=g(t)=g(f^{-1}(x)) \)
と表される．両辺を\( \displaystyle x \)で微分すると，合成関数の微分法・逆関数の微分法により，
\( \displaystyle \ \ \ \ \frac{dy}{dx}=g'(f^{-1}(x)) \cdot \left(\frac{d}{dx}f^{-1}(x)\right)=g'(f^{-1}(x)) \cdot \frac{1}{f'(f^{-1}(x))} \)
となる．(\( \displaystyle f^{-1}(x)=t \)とかくと右辺は\( \displaystyle \frac{g'(t)}{f'(t)} \))
※公式として覚えていなくても，上の計算のように，\( \displaystyle y=g(t) \)の両辺を\( \displaystyle x \)で微分し，合成関数の微分法と逆関数の微分法から\( \displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{g'(t)}{f'(t)} \)を導くことができる．
(例，愛知県)
曲線\( \displaystyle x=\sqrt{3}t^2 \), \( \displaystyle y=\frac{1}{3}t^3-3t \) について，\( \displaystyle \frac{d^2 y}{dx^2} \) を \( \displaystyle t \) を用いて表す．
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