○極値
\( \displaystyle f(x) \)が\( \displaystyle x=a \)を境目として増加から減少(減少から増加)に変わるとき，\( \displaystyle f(x) \)は\( \displaystyle x=a \)で極大(極小)であるといい，\( \displaystyle f(a) \)を\( \displaystyle f(x) \)の極大値(極小値)という．また，極大値と極小値を合わせて極値という．
極値の定義に関する補足(クリックして下さい)
※極大(極小)は，その付近だけに注目したとき最大(最小)になっていることを意味する．
※「\( \displaystyle f(x) \)が\( \displaystyle x=a \)で極大(極小)」は，もっと一般的には，「ある\( \displaystyle x=a \)を含む開区間が存在し，その開区間上のすべての\( \displaystyle x \)で\( \displaystyle f(x) \leqq f(a) \ (f(x) \geqq f(a)) \)」と定義される． |
※\( \displaystyle f(x) \)が\( \displaystyle x=a \)で極値をもつための，よく使われる条件 ((2)で\( \displaystyle f'(x) \)，(3)で\( \displaystyle f”(x) \)の存在を仮定)
極値をもつ条件について補足(クリックして下さい)
※一般に，「(2)\( \displaystyle \Rightarrow \)(1)」および「(3)\( \displaystyle \Rightarrow \)(2)」は言えるが，それぞれ逆はいえない
(前半の反例：原点付近で\( \displaystyle f'(x)=\begin{cases} -x\left(1+\sin\frac{1}{x}\right) & (x \lt 0) \\ 0 & (x=0) \\ -x & (x \gt 0) \end{cases} \ \ \ \ \left(f(x)=\int_{0}^{x}f'(t)\,dt\right) \)
後半の反例：原点付近で\( \displaystyle y=\pm x^4 \))．
※(2)を弱くした条件「\( \displaystyle f'(a)=0 \)」だけでは，(1)を導くことはできない(反例：原点付近で\( \displaystyle f(x)=\pm x^3 \))． |
○グラフの凹凸・変曲点・漸近線
(凹凸や変曲点)
\( \displaystyle f(x) \)は区間\( \displaystyle I \)において2回微分可能な関数とする．
(1) 区間\( \displaystyle I \)のすべての点\( \displaystyle x \)で\( \displaystyle f”(x) \gt 0 \ (f”(x) \lt 0) \) のとき，\( \displaystyle f(x) \) のグラフは\( \displaystyle I \)において下に凸(上に凸)であるという.
(2) グラフの凹凸(おうとつ)が入れかわる境の点を変曲点という．
(漸近線)
(1) 十分遠くで曲線がある直線に限りなく近づくとき，その直線を漸近線という．
(2)\( \displaystyle \lim_{x \to a \pm 0} f(x) = \pm \infty \)のいずれかが成立するとき，直線\( \displaystyle x=a \)は曲線\( \displaystyle y=f(x) \)の漸近線である.
(3) \( \displaystyle \lim_{x \to \pm \infty} \{f(x)-(mx+n)\}=0 \)のどちらかが成立するとき，直線\( \displaystyle y=mx+n \)は曲線\( \displaystyle y=f(x) \)の漸近線である．
漸近線の求め方(クリックして下さい)
※漸近線の式\( \displaystyle y=mx+n \)を求めるには，
\( \displaystyle \ \ \ \ \frac{f(x)}{x} \left(=\frac{f(x)-(mx+n)}{x}+\frac{mx+n}{x}\right) \to m \ \ (x \to \pm \infty) \)
から\( \displaystyle m \)を求めたあと，
\( \displaystyle \ \ \ \ f(x)-mx (=\{f(x)-(mx+b)\}+b) \to b \ \ (x \to \pm \infty) \)
から\( \displaystyle n \)を求めればよい．\( \displaystyle \frac{f(x)}{x} \)が発散する場合は，\( \displaystyle f(x) \)の\( \displaystyle y=mx+n \)という形の漸近線は存在しない． |
○関数のグラフの図示
定義域を確認し，増減(\( \displaystyle f'(x) \)の符号)や極値の状況を踏まえてグラフをかく．
※状況の整理に増減表が使用されることが多い．
※必要に応じて，極限，凹凸や変曲点，漸近線まで調べる．
(例，新潟県)
関数 \( \displaystyle f(x)=x^2\left(\log x – \frac{3}{2}\right) \ (x \gt 0) \) について，\( \displaystyle \lim_{x \to +0} f(x) \) の値，極値，変曲点を調べ，グラフの概形をかく．
説明例(クリックして下さい)
定義域は \( \displaystyle x \gt 0 \)．
\( \displaystyle \lim_{x \to +0} f(x) = \lim_{t \to +\infty} \left(\frac{1}{t}\right)^2 \left\{\log\left(\frac{1}{t}\right)-\frac{3}{2}\right\}=\lim_{t \to +\infty} \left\{-\frac{\log t}{t^2}-\frac{3}{2t^2}\right\}=0 \) (答)
\( \displaystyle f'(x)=2x \cdot \left(\log x – \frac{3}{2}\right) + x^2 \cdot \frac{1}{x}=2x \cdot (\log x – 1) \)
\( \displaystyle f”(x)=2(\log x – 1) + 2x \cdot \frac{1}{x}=2\cdot \log x \)
となるから，次のように増減表は次のとおり
極小値 \( \displaystyle -\frac{1}{2e^2} \)，極大値なし，変曲点 \( \displaystyle \left(1, -\frac{3}{2}\right) \) (答)
グラフの概形は次のとおり
◯種々のグラフの処理
| 絶対値関数 | 絶対値の中身の符号で場合分け |
| 偶関数・奇関数 | グラフの対称性を利用 |
| 逆関数 | 元の関数のグラフと，直線 \( \displaystyle y=x \)に関して対称であることを利用する |
| 陰関数 | \( \displaystyle y=f(x) \text{ or } x=f(y) \)の形にして考える |
| 媒介変数表示された曲線 | \( \displaystyle x,y \) の増減\( \displaystyle \left(\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt}\text{の符号}\right) \)を調べ，\( \displaystyle t \)を変化させたときの点 \( \displaystyle (x,y) \)の動きを考察する． |
○接線公式
| 一般 | \( \displaystyle y=f(x) \)上の点\( \displaystyle (t,f(t)) \)における接線は
\( \displaystyle y=f'(t)(x-t)+f(t) \) |
| 放物線 | 放物線 \( \displaystyle y^2=4px \) 上の点\( \displaystyle (s,t) \)における接線は，
\( \displaystyle \ \ \ \ ty=2p(x+s) \) |
| 楕円 | 楕円 \( \displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \) 上の点 \( \displaystyle (s,t) \)における接線は，
\( \displaystyle \ \ \ \ \frac{sx}{a^2}+\frac{ty}{b^2}=1 \) |
| 双曲線 | 双曲線 \( \displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \) 上の点 \( \displaystyle (s,t) \)における接線は，
\( \displaystyle \ \ \ \ \frac{sx}{a^2}-\frac{ty}{b^2}=1 \) |
説明例(クリックして下さい)
※放物線\( \displaystyle y^2=4px \)の接線の導出
両辺を\( \displaystyle x \)で微分して，
\( \displaystyle \ \ \ \ 2y \cdot y’=4p \)
\( \displaystyle y \)が\( \displaystyle 0 \)でないとき，\( \displaystyle y’=\frac{2p}{y} \)
・\( \displaystyle t \neq 0 \)のとき，点\( \displaystyle (s,t) \)における接線の方程式は
\( \displaystyle \ \ \ \ y-t=\frac{2p}{t}(x-s) \) 整理すると \( \displaystyle ty=2p(x-s)+t^2=2p(x+s) \ \ (\because t^2=4ps) \)
・\( \displaystyle t=0 \)のときは\( \displaystyle s=0 \)であり，接線は(図形的に考察して)\( \displaystyle x=0 \)となる．これは上記の式に\( \displaystyle s=0 \)，\( \displaystyle t=0 \)を代入して得られる．
よって，いずれの場合も接線の式は\( \displaystyle ty=2p(x+s) \)と表される．
※楕円および双曲線\( \displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2-c^2}=1 \)（\( \displaystyle a^2 \gt c^2 \)のときは楕円，\( \displaystyle a^2 \lt c^2 \)のときは双曲線を表す）の接線の導出
両辺を\( \displaystyle x \)で微分して，
\( \displaystyle \ \ \ \ \frac{2x}{a^2}+\frac{2y \cdot y’}{a^2-c^2}=0 \)
\( \displaystyle y \)が\( \displaystyle 0 \)でないとき，\( \displaystyle y’=-\frac{a^2-c^2}{a^2} \cdot \frac{x}{y} \)
・\( \displaystyle t \neq 0 \)のとき，点\( \displaystyle (s,t) \)における接線の方程式は
\( \displaystyle \ \ \ \ y-t=-\frac{(a^2-c^2)s}{a^2 t}(x-s) \) 整理すると \( \displaystyle \frac{sx}{a^2}+\frac{ty}{a^2-c^2}=\frac{s^2}{a^2}+\frac{t^2}{a^2-c^2}=1 \ \ \left(\because \frac{s^2}{a^2}+\frac{t^2}{a^2-c^2}=1\right) \)
・\( \displaystyle t=0 \)のときは\( \displaystyle s=a \)または\( \displaystyle s=-a \)であり，接線は(図形的に考察して)\( \displaystyle x=a \)または\( \displaystyle x=-a \)となる．これは上記の式に\( \displaystyle (s,t)=(a,0),(-a,0) \)を代入した式と一致する．
よって，いずれの場合も接線の式は\( \displaystyle \frac{sx}{a^2}+\frac{ty}{a^2-c^2}=1 \)と表される． |
(例) 楕円 \( \displaystyle x^2+\frac{y^2}{4}=1 \) に，点\( \displaystyle (2,0) \)からひいた接線を求める．
説明例(クリックして下さい)
楕円\( \displaystyle x^2+\frac{y^2}{4}=1 \)の接線を考える．
接点の座標を\( \displaystyle (s,t) \)とすると，接点は楕円上にあるから
\( \displaystyle \ \ \ \ s^2+\frac{t^2}{4}=1 \) ⋯ ①
また，接線の方程式は，
\( \displaystyle \ \ \ \ sx+\frac{ty}{4}=1 \)
と表され，この接線が点\( \displaystyle (2,0) \)を通ることから，
\( \displaystyle \ \ \ \ s \cdot 2+\frac{t \cdot 0}{4}=1 \) すなわち \( \displaystyle s=\frac{1}{2} \) …②
①かつ②\( \displaystyle \iff (s,t)=\left(\frac{1}{2}, \pm\sqrt{3}\right) \)
よって，求める接線の方程式は\( \displaystyle 2x+\sqrt{3}y=4 \)，\( \displaystyle 2x-\sqrt{3}y=4 \) (答) |
※\( \displaystyle x \)軸と垂直な接線が(図形的にみて明らかに)存在しないことから，求める接線を\( \displaystyle y=m(x-2) \)とおき，元の方程式と連立して重解条件を考えてもよい．
