◯微分方程式
独立変数\( \displaystyle x \)と関数\( \displaystyle y \)及びその導関数\( \displaystyle y’, y^{\prime\prime}, \cdots, y^{(n)} \)に関する関係式\( \displaystyle F\left(x, y, y’, y^{\prime\prime}, \cdots, y^{(n)}\right)=0 \)を，関数\( \displaystyle y \)に関する微分方程式という．また，最も階数の高い導関数が\( \displaystyle y^{(n)} \)のときは，
\( \displaystyle F\left(x, y, y’, y^{\prime\prime}, \cdots, y^{(n)}\right)=0 \)を \( \displaystyle n \) 階の微分方程式という．
(例，山梨県)
地面から仰角 \( \displaystyle \theta \)，初速度 \( \displaystyle \vec{v}_0 \) でボールを投げ上げる．
水平方向を \( \displaystyle x \) 軸，鉛直上向きを \( \displaystyle y \) 軸とし，重力加速度の大きさを \( \displaystyle g \) とおく．
初期条件は，\( \displaystyle t=0 \) のとき \( \displaystyle x=0,y=0 \) である．\( \displaystyle t \)秒後のボールの位置\( \displaystyle (x(t),y(t)) \)を求める．
◯微分方程式の解
(1) 微分方程式を満たす関数\( \displaystyle y \)を，その微分方程式の解という．
(2) 微分方程式の解のうち，任意定数\( \displaystyle C \)（\( \displaystyle n \)階なら独立な\( \displaystyle n \)個の任意定数）を含む解を一般解という．また，初期条件「\( \displaystyle x=a \)のとき\( \displaystyle y=A \)」などを使って，一般解に含まれる任意定数を特定の数値にして得られる解を特殊解という．
(3)一般解の任意定数\( \displaystyle C \)にどのような値を代入しても得られない解があるとき，その解を特異解という．
説明例(クリックして下さい)
※連続関数\( \displaystyle F(x,y) \)を使って表される関数\( \displaystyle y \)についての微分方程式
\( \displaystyle \frac{dy}{dx}=F(x,y) \)…①
と，その初期条件「\( \displaystyle x=a \)のとき\( \displaystyle y=A \)」…②について，考えている範囲で
\( \displaystyle L \gt 0 \)が存在して，任意の2点\( \displaystyle (x,y_1),(x,y_2) \)に対して\( \displaystyle |F(x,y_1)-F(x,y_2)| \leq L|y_1-y_2| \)…③
となるとき，\( \displaystyle F(x,y) \)は変数\( \displaystyle y \)に関して「リプシッツ連続」であるという．これは\( \displaystyle y \)を動かすとき\( \displaystyle F(x,y) \)がある程度穏やかに変化することを意味する条件であり，この条件が成り立つときは，①と②を同時に満たす解\( \displaystyle (x=a \)を含むある区間で定義された関数\( \displaystyle y) \)がただ1つに定まる（解の一意性）ことが知られている．
※よく使う関数の中では，多項式，指数関数，三角関数から四則演算で作られる関数の場合は，定義域内で有界な閉領域を定めると，その閉領域上でリプシッツ連続となっている．一方，\( \displaystyle \sqrt{y},y^{2/3},\cdots \)など根号系の関数を\( \displaystyle y=0 \)も含めた範囲で考察するときは，\( \displaystyle y=0 \)付近で傾きが無限大に発散するため，③を満たさない．
※得られた解について，その定義域をどこまで引き伸ばせるか(解の寿命)は，方程式の形や初期条件によって異なる(途中で分母が0になって無限大に爆発したり，定義できない壁にぶつかってそれ以上解を延長できなくなることがある)．本資料ではこの理論的な内容には深入りしない．
◯１階の微分方程式
【Qを消して変数分離へ】の補足(クリックして下さい)
※(【Qを消して変数分離へ】の補足)
\( \displaystyle \frac{dy_0}{dx}+P(x)y_0=Q(x) \)と，もとの式との差をとると，
\( \displaystyle \ \ \ \ \ (y-y_0)’+P(x)(y-y_0)=0 \)
よって\( \displaystyle Y=y-y_0 \)とおくと，\( \displaystyle Y \)は変数分離形\( \displaystyle Y’+P(x)Y= 0 \)…①の解であるから，
\( \displaystyle \ \ \ \ \ Y=y_1 \) (①の一般解，任意定数を含む)
の形になる．よって，\( \displaystyle \frac{dy}{dx}+ P(x)y = Q(x) \)の一般解\( \displaystyle y \)は \( \displaystyle y=y_1+y_0 \)の形で表される． |
(例)次の１階線形微分方程式
\( \displaystyle y’-2y=e^x \)…(ア)
の一般解について，(1)解を1つ求めてから求める方法と，(2)積分因子を使う方法でそれぞれ求める．
説明例(クリックして下さい)
(1) 右辺が指数関数であるから，解を\( \displaystyle y_0=A\cdot e^x \)の形で探してみる．(ア)に代入すると，
\( \displaystyle A\cdot e^x-2A\cdot e^x=e^x \) これを解いて，\( \displaystyle A=-1 \)
よって\( \displaystyle y_0=-e^x \)が1つの解\( \displaystyle (y_0′-2y_0=e^x \)…(イ)\( ) \)として求まった．
\( \displaystyle u=y-y_0 \)とおき，(ア)-(イ)を計算すると，
\( \displaystyle u’-2u=0 \)
これを解いて，\( \displaystyle u=Ce^{2x} \) (Cは任意定数)
よって，一般解は，\( \displaystyle y=Ce^{2x}+(-e^x)=Ce^{2x}-e^x \) (Cは任意定数) (答)
(2)(ア)の両辺に，積分因子\( \displaystyle e^{\int(-2) \ dx}=e^{-2x} \)をかけて，左辺を積の微分でまとめると，
\( \displaystyle \frac{d}{dx}\{y\cdot e^{-2x}\}=e^{-x} \)
これを積分して\( \displaystyle y=e^{2x}\cdot(-e^{-x}+C)=-e^x+Ce^{2x} \) (Cは任意定数) (答) |
(例，神奈川県)
\( \displaystyle y \)を\( \displaystyle x \)の関数とする．微分方程式
\( \displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}+\frac{2x}{y} \ \ (x=e \)のとき\( \displaystyle y=e^2) \)
の解において，\( \displaystyle x=1 \)を代入したときの\( \displaystyle y \ (y \gt 0) \)の値を求める．
説明例(クリックして下さい)
\( \displaystyle u=\frac{y}{x} \)とおく．\( \displaystyle y=ux \)の両辺を\( \displaystyle x \)で微分した式\( \displaystyle \frac{dy}{dx}=u+x\cdot\frac{du}{dx} \)をもとの式に代入し，整理すると
\( \displaystyle x\cdot\frac{du}{dx}=\frac{2}{u} \) すなわち\( \displaystyle \frac{u}{2}\cdot\frac{du}{dx}=\frac{1}{x} \)…①
①の両辺を\( \displaystyle x \)で積分して，
\( \displaystyle \int u \ du = \int \frac{2}{x} \ dx \)
\( \displaystyle \frac{1}{2}u^2=2\log|x|+C_0 \) (\( \displaystyle C_0 \)は積分定数)
よって一般解は，
\( \displaystyle y^2=x^2(4\log|x|+C) \) (\( \displaystyle C=2C_0 \))
「\( \displaystyle x=e \)のとき\( \displaystyle y=e^2 \)」であるから，
\( \displaystyle e^4=e^2(4+C) \therefore C=e^2-4 \)
よって，初期条件を満たす特殊解は，
\( \displaystyle y^2=x^2(4\log x+e^2-4) \)
\( \displaystyle x=1 \)のとき，\( \displaystyle y(\gt 0) \)の値は，
\( \displaystyle y=\sqrt{1\cdot(0+e^2-4)}=\sqrt{e^2-4} \) (答) |
※\( \displaystyle x=e \gt 0 \)を含む区間で考察しているから，解の表示において\( \displaystyle \log|x|=\log x \)．
※初期条件\( \displaystyle x=e \)のとき\( \displaystyle y=e^2 \)と，解\( \displaystyle y \)の連続性から\( \displaystyle y \gt 0 \)が(問題文で与えられていなくても)自動的に従う．
※一般的に，微分方程式の解を示すさい，陽表示\( \displaystyle (y=\cdots \)の形\( ) \)が難しいことも多いため，陰表示のままで解答とすることも多い．
◯２階の微分方程式
補足(クリックして下さい)
※\( \displaystyle y^{\prime\prime}+py’+qy=0 \)の解法は，3項間漸化式の解法と同じ要領で，次のように導くことができる．
\( \displaystyle p=-(\alpha+\beta),q=\alpha\beta \)となる\( \displaystyle \alpha,\beta(\alpha \neq \beta) \) ←\( \displaystyle t^2+pt+q=0 \)の2解
見つけられたとすると，
\( \displaystyle y^{\prime\prime}+py’+qy=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}-\beta y\right)-\alpha\left(\frac{dy}{dx}-\beta y\right)=0 \)
\( \displaystyle u=\frac{dy}{dx}-\beta y \)とおくと，\( \displaystyle \frac{du}{dx}-\alpha u=0 \) (変数分離形)となり，積分して\( \displaystyle u=C_1 e^{\alpha x} \)を得る．
よって，\( \displaystyle \frac{dy}{dx}-\beta y=C_1 e^{\alpha x} \) (１階線形)となるが，両辺に\( \displaystyle e^{-\beta x} \)をかけると，積の微分により，
\( \displaystyle \frac{d}{dx}(y e^{-\beta x})=C_1 e^{(\alpha-\beta)x} \)…① すなわち\( \displaystyle y=\frac{C_1}{\alpha-\beta}e^{\alpha x}+C_2 e^{\beta x} \)
\( \displaystyle \frac{C_1}{\alpha-\beta} \)をあらためて\( \displaystyle C_1 \)と置き直せば，\( \displaystyle y=C_1 e^{\alpha x}+C_2 e^{\beta x} \)…②の形となる．
もし，\( \displaystyle \alpha \)が重解\( \displaystyle (\alpha=\beta) \)であった場合は，①までは同じで(右辺は定数)，積分して\( \displaystyle y=(C_1+C_2 x)e^{\alpha x} \)の形となる．
また，\( \displaystyle \alpha,\beta \)が虚数\( \displaystyle a \pm bi \)であった場合は，②の形までは同じで，オイラーの公式\( \displaystyle e^{(a \pm bi)x}=e^{ax}(\cos bx+i\sin bx) \)を利用して変形し，定数をおきなおすと，\( \displaystyle y=e^{ax}(C_1 \cos bx+C_2 \sin bx) \)の形となる(複素数値関数の微分を扱っており，厳密には高校範囲は超える)．
※\( \displaystyle y^{\prime\prime}+py’+qy=R(x) \)について，1つの解を求めたあと差をとって同次形に帰着させるのは１階線形の【Qを消して変数分離へ】の方法と同様．
