区間推定と仮説検定

○標本調査
(1)対象全体をもれなく調べる調査を全数調査，対象の一部を抜き出して調べ，そこから全体を推測しようとする調査を標本調査という．
(2)標本調査において，調べようとする調査の対象全体を母集団といい，その要素の個数を母集団の大きさという．
(3)標本調査において，母集団から抜き出された要素の全体を標本といい，標本に含まれる要素の個数を標本の大きさという．
(4)標本を抜き出すことを抽出という．母集団の各要素が同じ確率で抽出されるような抽出法を無作為抽出といい，母集団から無作為に抽出された標本を無作為標本という．

○母平均，母標準偏差
(1)母集団の特性を表す一定の数値を母数という．
(2)とくに，母集団の平均\( \displaystyle m \)，分散\( \displaystyle \sigma^2 \)，標準偏差\( \displaystyle \sigma \)をそれぞれ母平均，母分散，母標準偏差という．
(3)母集団から\( \displaystyle 1 \)個の要素を無作為に抽出するときの変量を\( \displaystyle X \)とすれば，\( \displaystyle X \)は確率変数であり，
\( \displaystyle \ \ \ \ \ E(X)=m, V(X)=\sigma^2 \)

○標本平均
平均\( \displaystyle m \)，分散\( \displaystyle \sigma^2 \)の母集団から大きさ\( \displaystyle n \)の標本を無作為抽出し，この変量を\( \displaystyle X_k \ (k=1,2,\cdots,n) \)とする．
(1)確率変数 \( \displaystyle \overline{X} = \frac{X_1 + X_2 + \cdots + X_n}{n} \) を標本平均という．
(2)\( \displaystyle \ \ \ \ \ E(\overline{X}) = m, V(\overline{X}) = \frac{\sigma^2}{n} \)
(3)\( \displaystyle n \)が十分大きいとき，標本平均 \( \displaystyle \overline{X} \)は近似的に正規分布\( \displaystyle N\left( m, \frac{\sigma^2}{n} \right) \)に従う．

(4) 元の母集団が正規分布\( \displaystyle N(m,\sigma^2) \)のとき，標本平均 \( \displaystyle \overline{X} \)は正規分布\( \displaystyle N\left( m,\frac{\sigma^2}{n} \right) \)に従う(\( \displaystyle n \)が小さくてもよい．正規分布の再生性)．

補足(クリックして下さい)

※確率変数\( \displaystyle X_1,X_2,\cdots,X_n \)は独立で，同一の分布に従う(として計算する)．
※本資料では，確率変数は大文字で表し(例 \( \displaystyle X,\bar{X},R \))，観測後のデータを当てはめた実現値は小文字で表すことにする(例 \( \displaystyle \bar{x},r \))．
※(3)は中心極限定理とよばれる．また，標本平均\( \displaystyle \bar{X} \)の標準偏差が\( \displaystyle \sqrt{\frac{\sigma^2}{n}} \)となることから，\( \displaystyle n \)が大きいとき，\( \displaystyle \bar{X} \)は母平均\( \displaystyle m \)の近くに集中して分布するようになる．これを大数の法則という．もっと厳密には，大数の法則は確率収束，中心極限定理は法則収束という収束概念でそれぞれ記述される．

◯統計的な推測手法

※点推定は，中学校第３学年で，区間推定・仮説検定は高等学校の数学Bで扱われる内容．

(例) ある池にいる魚の数を推定するために，池のいろいろな場所で魚を\( \displaystyle 200 \)匹捕獲し，そのすべてに印をつけて池に放した．\( \displaystyle 10 \)日後，同様の方法で魚を\( \displaystyle 180 \)匹捕獲したところ，印のついた魚が\( \displaystyle 25 \)匹ふくまれていた．この池にいる魚のおよその数を点推定する．

説明例(クリックして下さい)

池にいる魚の数を\( \displaystyle x \)とする．

「池の中にいる魚のうち印が付けられたものの割合(母比率)」と，
「\( \displaystyle 10 \)日後に捕獲した魚のうち印が付いているものの割合(標本比率)」が
等しいとすると，
\( \displaystyle \frac{200}{x}=\frac{25}{180} \ \ \ \ \ \therefore x=1440 \)匹(答)

※池の中で印がついた魚の割合\( \displaystyle p=\frac{200}{x} \)について，信頼度\( \displaystyle 95\% \)で母比率の区間推定を行うと，\( \displaystyle r=\frac{25}{180}=\frac{5}{36} \)であるから，
区間の両端の値は\( \displaystyle r\pm 1.96\cdot \sqrt{\frac{r(1-r)}{n}}=\frac{5}{36}\pm 1.96\cdot \sqrt{\frac{5}{36}\cdot \frac{31}{36}\cdot \frac{1}{180}}= \)(電卓)\( \displaystyle =0.13888\cdots \pm 0.05052\cdots =0.08836\cdots ,0.18941\cdots \)
魚の数は\( \displaystyle x=\frac{200}{p} \)として\( \displaystyle \frac{200}{0.18941\cdots}=1055.\cdots \)と\( \displaystyle \frac{200}{0.08836\cdots}=2263.\cdots \)の間で，およそ\( \displaystyle 1056 \)匹から\( \displaystyle 2263 \)匹の間と推定される．

○母平均の区間推定(考え方)

母平均を\( \displaystyle m \)，母分散を\( \displaystyle \sigma^2 \)とし，標本の大きさ\( \displaystyle n \)が十分大きいとする．標本平均 \( \displaystyle \overline{X} \)は近似的に正規分布\( \displaystyle N\left( m,\frac{\sigma^2}{n} \right) \)に従う．よって，

となるから，（抽出の結果ごとに変化する区間）①が母平均を含む確率は\( \displaystyle 95\% \)である．この区間を\( \displaystyle 95\% \)信頼区間という．推定の際，①の確率変数\( \displaystyle \overline{X} \)は実現値\( \displaystyle \overline{x} \)に取り替えて計算する．
※母集団が正規分布のとき，「標本の大きさ\( \displaystyle n \)が十分大きい」という仮定は不要．「近似的に」も不要．

(母平均の区間推定)
母平均を\( \displaystyle m \)，母分散を\( \displaystyle \sigma^2 \)とし，標本の大きさ\( \displaystyle n \)は十分大きいとする．
母平均\( \displaystyle m \)に対する信頼度95%信頼区間は，
\( \displaystyle \ \ \ \ \left[ \overline{x} – 1.96 \cdot \sqrt{\frac{\sigma^2}{n}}, \overline{x} + 1.96 \cdot \sqrt{\frac{\sigma^2}{n}} \right] \)

(例) ある市で6歳児男子100人を無作為抽出したとき，平均体重が21.0kgだった．またこの年の市の6歳児男子の体重の標準偏差は3.3kgであった．この市の6歳児男子の体重が正規分布に従うとするとき，その平均体重\( \displaystyle m \)を信頼度95％で推定せよ．なお，信頼区間の両端の数値は小数第2位を四捨五入すること．

◯母比率の区間推定(考え方)

母集団の中で，ある性質\( \displaystyle A \)を持つ要素の割合を\( \displaystyle p \)とする．この\( \displaystyle p \)を，性質\( \displaystyle A \)をもつ要素の母集団における母比率という．大きさ\( \displaystyle n \)の標本を無作為抽出し，各要素について，性質\( \displaystyle A \)を持つ場合は\( \displaystyle X_k = 1 \)，そうでない場合は\( \displaystyle X_k = 0 \)と決めると，各\( \displaystyle X_k \ (k=1,2,\cdots,n) \)はベルヌーイ分布\( \displaystyle \mathrm{Be}(p) \)に従う．また，標本の中で特性\( \displaystyle A \)をもつものの割合 \( \displaystyle R = \frac{X_1 + X_2 + \cdots + X_n}{n} \)(標本比率という)は，上の内容から，近似的に正規分布\( \displaystyle N\left(p, \frac{p(1-p)}{n}\right) \)に従う．
よって，

となるから，（抽出の結果ごとに変化する区間）②が母比率を含む確率は95%である．この区間を95%信頼区間という．推定の際，②の確率変数\( \displaystyle R \)は実現値\( \displaystyle r \)に取り替えて計算する．また，根号内の\( \displaystyle p \)は未知なため，近似として\( \displaystyle r \)に変える(大数の法則により正当化)．

(母比率の区間推定)
母比率を\( \displaystyle p \)とし，標本の大きさ\( \displaystyle n \)は十分大きいとする．
母比率\( \displaystyle p \)に対する信頼度95%の信頼区間は，
\( \displaystyle \left[ r – 1.96 \cdot \sqrt{\frac{r(1-r)}{n}}, r + 1.96 \cdot \sqrt{\frac{r(1-r)}{n}} \right] \)

(例，茨城県) ある県で無作為に回答者を選んでアンケートを行った結果，2400人中960人が「猫が好き」と答えた．この県の全人口に占める猫好きの比率\( \displaystyle p \)を信頼度95%で推定せよ．

◯仮説検定とその手順

・母集団分布に関する仮定を仮説といい，標本から得られた結果によってこの仮説を検証することを仮説検定という．また，仮説が正しくないと判断することを，仮説を棄却するという．
・どの程度小さい確率の事象が起こると仮説を棄却するか，基準となる確率\( \displaystyle \alpha \)を有意水準(または危険率)という．
・有意水準\( \displaystyle \alpha \)に対し，立てた仮説のもとでは実現しにくい確率変数の値の範囲を，その範囲の確率が\( \displaystyle \alpha \)となるように定める．この範囲を有意水準の棄却域といい，実現した確率変数の値が棄却域に入れば仮説を棄却する．
※仮説検定にはいろいろな方法があるが，ここでは，もっとも基本的な形式として，主張したいことが「差がある」「変化がある」などの形になっているもので，「両側検定」と呼ばれる方法を中心に扱う．

(仮説検定の手順)
仮説検定は，通常，次のように行われる．
①有意水準\( \displaystyle \alpha \)を設定する(慣習的に，5%や1%と設定することが多い)
②母集団分布と興味のある母数を確認し，対立仮説\( \displaystyle H_1 \)(主張したいこと)，帰無仮説\( \displaystyle H_0 \)(主張したいことと相反そうはんする内容)を設定する(\( \displaystyle H_0 \)は「母数\( \displaystyle = a \)」のように簡単な形で設定する)．
③帰無仮説\( \displaystyle H_0 \)のもとで，興味のある母数を含む統計量の分布を調べる．
④棄却域\( \displaystyle C \)を計算し，実現値が含まれるか確認し，結論する．

◯母平均の仮説検定(考え方)

ある分布の母平均\( \displaystyle m \)について，「母平均は\( \displaystyle m_0 \)ではない」という主張をしたいため，以下のように仮説検定を行う．
・有意水準５%，対立仮説\( \displaystyle H_1 \)は「\( \displaystyle m \neq m_0 \)」，帰無仮説\( \displaystyle H_0 \)を「\( \displaystyle m = m_0 \)」と設定する．
・母分散を\( \displaystyle \sigma^2 \)とし，標本の大きさ\( \displaystyle n \)は十分大きいとする．帰無仮説\( \displaystyle H_0 \)のもとで，標本平均 \( \displaystyle \bar{X} \)は近似的に正規分布\( \displaystyle N\left(m_0, \frac{\sigma^2}{n}\right) \)に従う．

となるから，①が棄却域となる．

(母平均の仮説検定)
母平均を\( \displaystyle m \)，母分散を\( \displaystyle \sigma^2 \)とし，標本の大きさ\( \displaystyle n \)は十分大きいとする．
有意水準5%，対立仮説\( \displaystyle H_1 \)「\( \displaystyle m \neq m_0 \)」，帰無仮説\( \displaystyle H_0 \)「\( \displaystyle m = m_0 \)」の下で，
棄却域\( \displaystyle C \)は
\( \displaystyle \ \ \ \ C: \bar{X} \lt m_0 – 1.96 \cdot \sqrt{\frac{\sigma^2}{n}} \) または \( \displaystyle m_0 + 1.96 \cdot \sqrt{\frac{\sigma^2}{n}} \lt \bar{X} \) (両側の範囲)
となる．実現値 \( \displaystyle \bar{x} \) について，
\( \displaystyle \ \ \ \ \begin{cases} \bar{x} \in C \text{ のとき，} H_0 \text{ を棄却し，} H_1 \text{ を結論する．} \\ \bar{x} \notin C \text{ のとき，} H_0 \text{ は棄却されず，特に何も言えない．} \end{cases} \)
※高校範囲では，母分散\( \displaystyle \sigma^2 \)は，標本から得られる分散で代用することが多い．大学以降は，母分散も未知として統計量を計算し，\( \displaystyle t \)分布を利用することが多い．
※帰無仮説\( \displaystyle H_0 \)が棄却されなかった場合は，帰無仮説\( \displaystyle H_0 \)を否定するだけの根拠が得られなかったということであり，帰無仮説が肯定されるということではない．

(例) 出荷予定の製品から100個を無作為抽出し，重さを調べたところ，平均は59.5g，標準偏差は2.0gであった．この製品全体の1個当たりの重さの平均は60gといえるか，帰無仮説\( \displaystyle H_0 \)を「平均は60gである」，対立仮説\( \displaystyle H_1 \)を「平均は60gでない」として，有意水準5％で検定する．

○母比率の仮説検定(考え方)

ある分布の母比率\( \displaystyle p \)について，「母比率は\( \displaystyle p_0 \)ではない」という主張をしたいため，以下のように仮説検定を行う．
・有意水準５%，対立仮説\( \displaystyle H_1 \)は「\( \displaystyle p \neq p_0 \)」，帰無仮説\( \displaystyle H_0 \)を「\( \displaystyle p = p_0 \)」と設定する．
・標本の大きさ\( \displaystyle n \)は十分大きいとする．帰無仮説\( \displaystyle H_0 \)のもとで，標本比率 \( \displaystyle R \)は近似的に正規分布\( \displaystyle N\left(p_0, \frac{p_0(1-p_0)}{n}\right) \)に従う．

となるから，②が棄却域となる．
※\( \displaystyle r \)が棄却域に入る⇔\( \displaystyle |r – p_0| \gt 1.96 \sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}} \)

◯母比率の仮説検定
母比率を\( \displaystyle p \)とし，標本の大きさ\( \displaystyle n \)は十分大きいとする．
有意水準5%，対立仮説\( \displaystyle H_1 \)「\( \displaystyle p \neq p_0 \)」，帰無仮説\( \displaystyle H_0 \)「\( \displaystyle p = p_0 \)」の下で，
棄却域\( \displaystyle C \)は
\( \displaystyle \ \ \ \ C: R \lt p_0 – 1.96 \cdot \sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}} \) または \( \displaystyle p_0 + 1.96 \cdot \sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}} \lt R \) (両側の範囲)
となる．実現値 \( \displaystyle r \) について，
\( \displaystyle \ \ \ \ \begin{cases} r \in C \text{ のとき，} H_0 \text{ を棄却し，} H_1 \text{ を結論する．} \\ r \notin C \text{ のとき，} H_0 \text{ は棄却されず，特に何も言えない．} \end{cases} \)

(例) あるさいころを100回投げたところ，1の目が20回出た．このさいころは，通常のサイコロとくらべて，1の目が出やすいと考えられるか．このさいころの1の目がでる確率を\( \displaystyle p \)とし，帰無仮説\( \displaystyle H_0 \)を「\( \displaystyle p = \frac{1}{6} \)」，対立仮説\( \displaystyle H_1 \)を「\( \displaystyle p \neq \frac{1}{6} \)」，として，有意水準5％で検定せよ．ただし，必要なら\( \displaystyle 1.96 \cdot \sqrt{5} = 4.38 \)として計算せよ．

◯第1種の誤り・第２種の誤り

以下では，片側検定として記述する．

※上図で，第１種の誤りが起きる確率\( \displaystyle \alpha \)は，有意水準と同じである．
※第２種の誤りが起きる確率を\( \displaystyle \beta \)とするとき，\( \displaystyle 1-\beta \)を検出力という(帰無仮説が正しくないときに，棄却(正しい判断)ができる確率を意味する)．