数列の極限 | きょうさい対策ブログ

○数列の極限の定義

{\( \displaystyle a_n \)}を実数列，\( \displaystyle \alpha \)は実数とする．

※\( \displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = \alpha \)のことを，「\( \displaystyle n \to \infty \)のとき\( \displaystyle a_n \to \alpha \)」，「数列\( \displaystyle \{a_n\} \)は\( \displaystyle \alpha \)に収束する（収束する）」「数列\( \displaystyle \{a_n\} \)の極限値は（極限値は）\( \displaystyle \alpha \)」などとも表現する．
※ \( \displaystyle n \to \infty \)のとき\( \displaystyle a_n \)がどの値にも収束しないとき，\( \displaystyle a_n \)は発散する（発散する）という．
※数列の極限は，関数の極限と同様に計算する．

○無限級数

(1)式\( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n + \cdots \)を無限級数という．
\( \displaystyle S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k \)をこの無限級数の第 \( \displaystyle n \) 項までの部分和という．\( \displaystyle \{S_n\} \)が\( \displaystyle S \)に収束するとき，
\( \displaystyle S \)をこの無限級数の和といい，\( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n = S \)と表す．
(2)\( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n \)が収束する\( \displaystyle \Rightarrow \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \) (対偶をとると「\( \displaystyle \{a_n\} \)が\( \displaystyle 0 \)に収束しない\( \displaystyle \Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} a_n \)は発散する」)
※「\( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n = S \)」のことを，「\( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n \)は\( \displaystyle S \)に収束する」ともいう．
また，\( \displaystyle \{S_n\} \)が発散するとき，「\( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n \)は発散する」という．

(例)\( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a \cdot r^{n-1} \) (無限等比級数)について
初項 \( \displaystyle a \)，公比 \( \displaystyle r \) の等比数列 \( \displaystyle \{a \cdot r^{n-1}\} \)について，第 \( \displaystyle n \) 項までの部分和 \( \displaystyle S_n \) は，
\( \displaystyle S_n = \begin{cases} na & (r = 1 \text{のとき}) \\ \frac{a(1 – r^n)}{1 – r} & (r \neq 1 \text{のとき}) \end{cases} \)
よって，\( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a \cdot r^{n-1} \) は，
\( \displaystyle \begin{cases} a = 0 \text{のとき} & \text{収束し，その和は } 0 \\ a \neq 0, |r| < 1 \text{のとき} & \text{収束し，その和は } \frac{a}{1 – r} \\ a \neq 0, |r| \geqq 1 \text{のとき} & \text{発散する} \end{cases} \)
※\( \displaystyle r \)についての条件で先に分岐させて，次のように整理してもよい
\( \displaystyle \begin{cases} |r| < 1 \text{のとき} & \text{収束し，その和は } \frac{a}{1 – r} \\ |r| \geqq 1, a \neq 0 \text{のとき} & \text{発散する} \\ |r| \geqq 1, a = 0 \text{のとき} & \text{収束し，その和は } 0 \end{cases} \)

(例，長崎県)無限級数
\( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n = \frac{1}{2} – \frac{2}{3} + \frac{2}{3} – \frac{3}{4} + \frac{3}{4} – \frac{4}{5} + \cdots \) ①
(ただし，\( \displaystyle k \) を自然数として，\( \displaystyle n = 2k-1 \) のとき \( \displaystyle a_n = \frac{k}{k+1} \)，\( \displaystyle n = 2k \) のとき \( \displaystyle a_n = -\frac{k+1}{k+2} \) とする)
について，初項から第 \( \displaystyle n \) 項までの部分和を \( \displaystyle S_n \)とする．
(1) \( \displaystyle S_{2n} \)を求めよ．
(2) ①の収束，発散を調べ，収束するときはその和を求めよ．

説明例(クリックして下さい)

(1) \( \displaystyle S_{2n} = \frac{1}{2} – \frac{2}{3} + \frac{2}{3} – \frac{3}{4} + \frac{3}{4} – \frac{4}{5} + \cdots + \frac{n}{n+1} – \frac{n+1}{n+2} = \frac{1}{2} – \frac{n+1}{n+2} \)
(2) 偶数項目までの和について， (1) の結果により，
\( \displaystyle \lim_{n \to \infty} S_{2n} = \lim_{n \to \infty} \left\{ \frac{1}{2} – \frac{n+1}{n+2} \right\} = \lim_{n \to \infty} \left\{ \frac{1}{2} – \frac{1 + \frac{1}{n}}{1 + \frac{2}{n}} \right\} = -\frac{1}{2} \)
奇数項目までの和について，
\( \displaystyle S_{2n+1} = S_{2n} + a_{2n+1} = \left( \frac{1}{2} – \frac{n+1}{n+2} \right) + \frac{n+1}{n+2} = \frac{1}{2} \)
とくに，\( \displaystyle \lim_{n \to \infty} S_{2n-1} = \frac{1}{2} \)
よって，偶数項目までの部分和の極限と，奇数項までの部分和の極限が一致しないため，部分和の数列 \( \displaystyle \{S_n\} \) は極限をもたず発散する．したがって，無限級数①は発散する．

○区分求積法

※教科書等の一般的な配列とは異なるが，「数列の極限」に該当するものとしてここで区分求積法を扱っておく．連続の定義や積分については別セクションでのちに扱う．

\( \displaystyle f \)は連続関数とする．
\( \displaystyle \int_{0}^{1} f(x)dx \quad (= \lim_{n \to \infty} (n\text{個の長方形の和})) \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left( \frac{k}{n} \right) = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f\left( \frac{k}{n} \right) \)

補足 (クリックして下さい)

※積分の定義(リーマン和)にあたるものだが，極限の計算問題としては逆向きの「\( \displaystyle \lim_{n \to \infty} (n\text{個の長方形の和}) = \int_{0}^{1} f(x)dx \)」の変形を使う．
※一般に，区間\( \displaystyle [a, b] \)において\( \displaystyle n \)個の長方形を考えれば，\( \displaystyle \ \ \int_{a}^{b} f(x)dx = \lim_{n \to \infty} \frac{b-a}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left( a + \frac{b-a}{n} k \right) \) と表せる．
※区分求積法において，\( \displaystyle \Sigma \)の開始位置や終了位置が有限個(\( \displaystyle n \)依存しない値)ずれていても，
極限には影響しない．例えば
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \frac{1}{n} \sum_{k=10}^{n} f\left( \frac{k}{n} \right) = \frac{1}{n} \left\{ \sum_{k=1}^{n} f\left( \frac{k}{n} \right) – \left( f\left( \frac{1}{n} \right) + \cdots + f\left( \frac{9}{n} \right) \right) \right\} \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left( \frac{k}{n} \right) – \frac{1}{n} \left\{ f\left( \frac{1}{n} \right) + \cdots + f\left( \frac{9}{n} \right) \right\} \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \to \int_{0}^{1} f(x)dx – 0 \cdot (9\text{個の}f(0)\text{の和}) = \int_{0}^{1} f(x)dx \)

(例，沖縄県)\( \displaystyle n \)を自然数とする．
\( \displaystyle a_n = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \frac{1}{n+3} + \cdots + \frac{1}{n+3n} \)
とおくとき，\( \displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n \) を求めよ．

説明例(クリックして下さい)

\( \displaystyle a_n = \sum_{k=1}^{3n} \frac{1}{n+k} = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{3n} \frac{1}{1 + \frac{k}{n}} \to \int_{0}^{3} \frac{1}{1+x} dx \quad (n \to \infty) \)
ここで，
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \int_{0}^{3} \frac{1}{1+x} dx = \left[ \log (1+x) \right]_{0}^{3} = \log 4 = 2 \log 2 \)
であるから，\( \displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = 2 \log 2 \) (答)

※「長方形の横幅の逆数(上の例で\( \displaystyle n \))」と「長方形の個数(上例で\( \displaystyle 3n \))」を一致させて計算したい場合は，
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{3n} \frac{1}{1 + \frac{k}{n}} = \frac{1}{3n} \sum_{k=1}^{3n} \frac{3}{1 + 3 \cdot \frac{k}{3n}} \to \int_{0}^{1} \frac{3}{1+3x} dx \quad (n \to \infty) \)
とすればよい．

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