○固有値と固有ベクトル
(1) 正方行列 \( \displaystyle A \) に対して，\( \displaystyle A\vec{x}=\lambda \vec{x} \ (\vec{x} \neq \vec{0}) \) を満たす定数 \( \displaystyle \lambda \) を固有値，ベクトル \( \displaystyle \vec{x} \) を固有ベクトルという．
(2) 固有値は特性方程式 \( \displaystyle \det(A-\lambda E)=0 \) を解くことで求められる．
(3) 異なる固有値に対応する固有ベクトルは1次独立である．
(2)(3)説明例(クリックして下さい)
(2)ある \( \displaystyle \vec{x} \neq \vec{0} \) が存在して，\( \displaystyle A\vec{x}=\lambda \vec{x} \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \Leftrightarrow \vec{x} \) の方程式 \( \displaystyle (A-\lambda E)\vec{x}=\vec{0} \) が自明でない解をもつ
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \Leftrightarrow |A-\lambda E|=0 \)
(3)(3本の場合で示すが，一般でも同様)．異なる \( \displaystyle \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3 \) に対応する固有ベクトルをそれぞれ \( \displaystyle \vec{x_1}, \vec{x_2}, \vec{x_3} \) とするとき，
\( \displaystyle \ \ \ \ \ c_1 \vec{x_1} + c_2 \vec{x_2} + c_3 \vec{x_3} = \vec{0} \) …①
とおく．①の両辺に左から \( \displaystyle (A-\lambda_2 E)(A-\lambda_3 E) \) をかけると(この積は交換可能！)，\( \displaystyle (A-\lambda_2 E)\vec{x_2}=\vec{0}, (A-\lambda_3 E)\vec{x_3}=\vec{0} \) であることから，\( \displaystyle c_1 (\lambda_1-\lambda_2)(\lambda_1-\lambda_3)\vec{x_1}=\vec{0} \) となるが，
\( \displaystyle \lambda_1-\lambda_2 \neq 0, \lambda_1-\lambda_3 \neq 0, \vec{x_1} \neq \vec{0} \) であるから，\( \displaystyle c_1=0 \)
同様にして，\( \displaystyle (A-\lambda_1 E)(A-\lambda_3 E) \) や \( \displaystyle (A-\lambda_1 E)(A-\lambda_2 E) \) を①にかけることで，\( \displaystyle c_2=0, c_3=0 \) が得られる． |
◯行列の対角化
\( \displaystyle n \) 次正方行列 \( \displaystyle A \) に対し，\( \displaystyle n \) 個の1次独立な固有ベクトルが存在するとき，これらを列ベクトルとして並べた正則行列 \( \displaystyle P \) を用いることで，
\( \displaystyle \ \ \ \ \ P^{-1} AP = D \) (\( \displaystyle D \) は対角成分に固有値が並ぶ対角行列)
のように変形できる．
説明例(クリックして下さい)
※((1)について)\( \displaystyle n=3 \)の場合で説明する．
固有値 \( \displaystyle \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3 \) に対する1次独立な固有ベクトルを \( \displaystyle \vec{p_1}, \vec{p_2}, \vec{p_3} \) とし，\( \displaystyle P=(\vec{p_1}, \vec{p_2}, \vec{p_3}) \) とおくと，
\( \displaystyle AP=A(\vec{p_1}, \vec{p_2}, \vec{p_3})=(A\vec{p_1}, A\vec{p_2}, A\vec{p_3}) \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ =(\lambda_1 \vec{p_1}, \lambda_2 \vec{p_2}, \lambda_3 \vec{p_3})=(\vec{p_1}, \vec{p_2}, \vec{p_3})\begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_2 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_3 \end{pmatrix} \)
\( \displaystyle \vec{p_1}, \vec{p_2}, \vec{p_3} \) は1次独立であるから，行列 \( \displaystyle P \) は正則である．両辺に左から \( \displaystyle P^{-1} \) をかけることで \( \displaystyle P^{-1}AP=D \) が導かれる． |
(例)\( \displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} \) の固有値と固有ベクトルを求め，対角化を行う．
説明例(クリックして下さい)
\( \displaystyle \det(A-\lambda E)=\begin{vmatrix} 1-\lambda & 2 \\ 3 & -\lambda \end{vmatrix}=(1-\lambda)(-\lambda)-2\cdot 3 \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ =(\lambda-3)(\lambda+2) \)
により，固有値は \( \displaystyle \lambda = 3, -2 \)．
\( \displaystyle \lambda=3 \) のとき，\( \displaystyle (A-3E)\vec{x}=\vec{0} \ \left(\Leftrightarrow \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 3 & -3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}\right) \) から，固有ベクトルの一つは \( \displaystyle \vec{p_1}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \)
\( \displaystyle \lambda=-2 \) のとき，\( \displaystyle (A+2E)\vec{x}=\vec{0} \ \left(\Leftrightarrow \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}\right) \) から，固有ベクトルの一つは \( \displaystyle \vec{p_2}=\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix} \)
\( \displaystyle P=(\vec{p_1}, \vec{p_2})=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & -3 \end{pmatrix} \) とおくと \( \displaystyle P \) は正則であり，\( \displaystyle AP=(A\vec{p_1}, A\vec{p_2})=(3\vec{p_1}, -2\vec{p_2})=(\vec{p_1}, \vec{p_2})\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} \)
よって，\( \displaystyle P^{-1}AP=\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} \) と対角化できる． |
○ケーリー・ハミルトンの定理
2次正方行列 \( \displaystyle A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \) において，\( \displaystyle A^2 – (a + d)A + (ad – bc)E = O \) が成り立つ．
※上式は，特性方程式 \( \displaystyle \det(A – \lambda E) = \lambda^2 – (a + d)\lambda + (ad – bc) = 0 \) の \( \displaystyle \lambda \) に行列 \( \displaystyle A \) を“代入”したものに相当する(ただし，全体の式が行列の和になるように，定数項は \( \displaystyle E \) の定数倍と考える)．3次以上の正方行列でも，特性多項式にその行列自身を“代入”すると零行列になることが知られている(一般のケーリー・ハミルトンの定理)．
◯行列の \( \displaystyle n \) 乗計算
\( \displaystyle A^n \) を計算する主な方法をまとめる(行列の次数が2として記述)
特性方程式が重解をもつとき (クリックして下さい)
※固有方程式が重解 \( \displaystyle k \) をもつとき，ケーリー・ハミルトンの定理から \( \displaystyle (A – kE)^2 = O \) であるから，\( \displaystyle A – kE = B \) とおくことで，
\( \displaystyle A = kE + B \ (B^2 = O) \) の形になることがわかる．このとき，二項定理から \( \displaystyle A^n = (kE)^n + {}_n\mathrm{C}_1 (kE)^{n-1} B \) と計算できる．
なお，このような「行列サイズ分の一次独立な固有ベクトルが存在しない」状況での \( \displaystyle A^n \) の計算について，「ジョルダン標準形」という概念を使って一般化する方法がある． |
(例)\( \displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} \) について，以下の方法でそれぞれ \( \displaystyle A^n \) を計算する．
(1)固有ベクトルによる対角化を利用する方法
(2)ケーリー・ハミルトンの定理を使って多項式の剰余を求める方法
(3)ケーリー・ハミルトンの定理を使って漸化式を利用する方法
説明例(クリックして下さい)
(1)前の例題から，\( \displaystyle P = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & -3 \end{pmatrix} \) を使って \( \displaystyle P^{-1} AP = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} \) となるから，両辺を \( \displaystyle n \) 乗して \( \displaystyle P^{-1} A^n P = \begin{pmatrix} 3^n & 0 \\ 0 & (-2)^n \end{pmatrix} \)
よって，
\( \displaystyle \ \ A^n = P \cdot \begin{pmatrix} 3^n & 0 \\ 0 & (-2)^n \end{pmatrix} P^{-1} \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \ = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3^n & 0 \\ 0 & (-2)^n \end{pmatrix} \frac{1}{-5} \begin{pmatrix} -3 & -2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \ = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 3^n & 2 \cdot (-2)^n \\ 3^n & -3 \cdot (-2)^n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \ = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 3^{n+1} + 2 \cdot (-2)^n & 2 \cdot 3^n – 2 \cdot (-2)^n \\ 3^{n+1} – 3 \cdot (-2)^n & 2 \cdot 3^n + 3 \cdot (-2)^n \end{pmatrix} \)
(2) 多項式 \( \displaystyle x^n \) を \( \displaystyle x^2 – x – 6 = (x – 3)(x + 2) \) で割った商を \( \displaystyle Q(x) \)，余りを \( \displaystyle px + q \) とおくと，
\( \displaystyle \ \ \ x^n = (x – 3)(x + 2) Q(x) + px + q \ \ \ \ \ \dots \) ①
\( \displaystyle x = 3, x = -2 \) を代入して，
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \ \left\{ \begin{array}{l} 3^n = 3p + q \\ (-2)^n = -2p + q \end{array} \right. \ \ \ \ \ \left( \Leftrightarrow p = \frac{3^n – (-2)^n}{5}, q = \frac{2 \cdot 3^n + 3 \cdot (-2)^n}{5} \right) \)
①に \( \displaystyle A \) を“代入”すると，ケーリー・ハミルトンの定理により \( \displaystyle (x – 3)(x + 2) Q(x) \) に対応する項は \( \displaystyle O \) になるから，
\( \displaystyle \ \ A^n = pA + qE = \left( \frac{3^n – (-2)^n}{5} \right) A + \left( \frac{2 \cdot 3^n + 3 \cdot (-2)^n}{5} \right) E \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = \frac{1}{5} (3^n – (-2)^n) \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} + \frac{1}{5} (2 \cdot 3^n + 3 \cdot (-2)^n) \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 3^n – (-2)^n + \{2 \cdot 3^n + 3 \cdot (-2)^n\} & 2(3^n – (-2)^n) \\ 3(3^n – (-2)^n) & \{2 \cdot 3^n + 3 \cdot (-2)^n\} \end{pmatrix} \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 3^{n+1} + 2 \cdot (-2)^n & 2 \cdot 3^n – 2 \cdot (-2)^n \\ 3^{n+1} – 3 \cdot (-2)^n & 2 \cdot 3^n + 3 \cdot (-2)^n \end{pmatrix} \)
(3) ケーリー・ハミルトンの定理により \( \displaystyle A^2 – A – 6E = O \) で隣接3項間漸化式 \( \displaystyle A^{n+2} – A^{n+1} – 6A^n = O \) が得られる．
特性方程式 \( \displaystyle x^2 – x – 6 = 0 \) の解が \( \displaystyle 3, -2 \) であるから，
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \ \left\{ \begin{array}{l} A^{n+2} – 3A^{n+1} = -2(A^{n+1} – 3A^n) \\ A^{n+2} + 2A^{n+1} = 3(A^{n+1} + 2A^n) \end{array} \right. \)
すなわち，(\( \displaystyle A^2 = A + 6E \) も使って整理すると)
\( \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} A^{n+1} – 3A^n = (-2)^{n-1} (A^2 – 3A) = (-2)^{n-1} (-2A + 6E) = (-2)^n (A – 3E) \ \ \ \ \ \dots ① \\ A^{n+1} + 2A^n = 3^{n-1} (A^2 + 2A) = 3^{n-1} (3A + 6E) = 3^n (A + 2E) \ \ \ \ \ \dots ② \end{array} \right. \)
②―①により，
\( \displaystyle \ \ \ 5A^n = (3^n – (-2)^n)A + (2 \cdot 3^n + 3 \cdot (-2)^n)E \)
成分を計算すると，
\( \displaystyle \ \ A^n = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 3^n – (-2)^n + \{2 \cdot 3^n + 3 \cdot (-2)^n\} & 2(3^n – (-2)^n) \\ 3(3^n – (-2)^n) & \{2 \cdot 3^n + 3 \cdot (-2)^n\} \end{pmatrix} \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \ = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 3^{n+1} + 2 \cdot (-2)^n & 2 \cdot 3^n – 2 \cdot (-2)^n \\ 3^{n+1} – 3 \cdot (-2)^n & 2 \cdot 3^n + 3 \cdot (-2)^n \end{pmatrix} \) |
