空間座標 | きょうさい対策ブログ

○空間ベクトルの成分表示

平面の場合と同様に，\( \displaystyle xyz \)空間上の\( \displaystyle 2 \)点\( \displaystyle \mathrm{O}(0,0,0), \mathrm{A}(a,b,c) \)に対し，\( \displaystyle \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OA}} \)を\( \displaystyle \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} \)で表す．
計算方法は平面の場合と同様．

○成分表示での計算

\( \displaystyle \vec{a}=\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}, \vec{b}=\begin{pmatrix} d \\ e \\ f \end{pmatrix} \)，\( \displaystyle k \)を実数とする．
\( \displaystyle (1) \vec{a}+\vec{b}=\begin{pmatrix} a+d \\ b+e \\ c+f \end{pmatrix} \ \ \ \) \( \displaystyle (2) \vec{a}-\vec{b}=\begin{pmatrix} a-d \\ b-e \\ c-f \end{pmatrix} \ \ \ \) \( \displaystyle (3) k\vec{a}=\begin{pmatrix} ka \\ kb \\ kc \end{pmatrix} \ \ \ \) \( \displaystyle (4) |\vec{a}|=\sqrt{a^2+b^2+c^2} \)
\( \displaystyle (5) \vec{a} \cdot \vec{b}=ad+be+cf \)
※いずれも平面座標の場合と同様に導ける．

○直線の方程式(空間座標版)

点\( \displaystyle \mathrm{A}(p,q,r) \)を通り，ベクトル\( \displaystyle \vec{d}=\begin{pmatrix} l \\ m \\ n \end{pmatrix} \)を方向ベクトルにもつ直線上の点\( \displaystyle \mathrm{P}(x,y,z) \)は，
ある実数\( \displaystyle t \)を用いて，\( \displaystyle \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AP}}=t\vec{d} \ \ \left(\Leftrightarrow \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OP}}=\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OA}}+t\vec{d}\right) \)と表される．すなわち，
\( \displaystyle \ \ \ \ \ x=p+lt, y=q+mt, z=r+nt \) （直線の媒介変数表示）
また，\( \displaystyle l,m,n \neq 0 \)のときは，\( \displaystyle t \)を消去することにより，
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \frac{x-p}{l}=\frac{y-q}{m}=\frac{z-r}{n} \) （直線の方程式）

(例，新潟県)
\( \displaystyle 2 \)点\( \displaystyle \mathrm{A}(-1,-2,-3), \mathrm{B}(7,4,7) \)を通る直線に，点\( \displaystyle \mathrm{P}(2,-1,4) \)から下ろした垂線の足を\( \displaystyle \mathrm{H} \)とおく．このとき，点\( \displaystyle \mathrm{H} \)の座標を求めよ．

説明例(クリックして下さい)

点\( \displaystyle \mathrm{H} \)は直線\( \displaystyle \mathrm{AB} \)上にあるから，実数\( \displaystyle t \)を用いて
\( \displaystyle \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OH}}=\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OA}}+t\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AB}} \)
と表される．よって，
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OH}}=\begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ -3 \end{pmatrix}+t\begin{pmatrix} 8 \\ 6 \\ 10 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1+8t \\ -2+6t \\ -3+10t \end{pmatrix}, \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{PH}}=\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OH}}-\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OP}}=\begin{pmatrix} -3+8t \\ -1+6t \\ -7+10t \end{pmatrix} \)

\( \displaystyle \mathrm{PH} \)は直線\( \displaystyle \mathrm{AB} \)と垂直であるから，\( \displaystyle \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{PH}} \cdot \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AB}}=0 \)．
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{PH}} \cdot \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AB}}=0 \Leftrightarrow \begin{pmatrix} -3+8t \\ -1+6t \\ -7+10t \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 8 \\ 6 \\ 10 \end{pmatrix}=0 \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Leftrightarrow 4 \cdot (-3+8t)+3 \cdot (-1+6t)+5 \cdot (-7+10t)=0 \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Leftrightarrow 100t-50=0 \Leftrightarrow t=\frac{1}{2} \)
よって，
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OH}}=\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \ \ \ \ \ \therefore \mathrm{H} \)の座標は\( \displaystyle (3,1,2) \) (答)

○外積と平面の方程式

(1) \( \displaystyle \vec{a}=\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}, \vec{b}=\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} \)に対し，ベクトル\( \displaystyle \begin{pmatrix} a_2 b_3-a_3 b_2 \\ a_3 b_1-a_1 b_3 \\ a_1 b_2-a_2 b_1 \end{pmatrix} \)を，\( \displaystyle \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} \)の外積といい，\( \displaystyle \vec{a} \times \vec{b} \)で表す．
(2) \( \displaystyle \vec{a} \cdot (\vec{a} \times \vec{b})=0, \vec{b} \cdot (\vec{a} \times \vec{b})=0 \ \ (\to \vec{a} \times \vec{b} \neq \vec{0} \)のとき，\( \displaystyle \vec{a} \times \vec{b} \)は，\( \displaystyle \vec{a}, \vec{b} \)とそれぞれ垂直である)
(3) 点\( \displaystyle \mathrm{A}(p,q,r) \)を通り，ベクトル\( \displaystyle \vec{n}=\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} \)を法線ベクトルにもつ平面上の点\( \displaystyle \mathrm{P}(x,y,z) \)は，
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AP}} \cdot \vec{n}=0 \ \ \left(\Leftrightarrow \left(\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OP}}-\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OA}}\right) \cdot \vec{n}=0\right) \)を満たす．すなわち，\( \displaystyle a(x-p)+b(y-q)+c(z-r)=0 \) (平面の方程式)

○内積と外積

空間ベクトル\( \displaystyle \vec{a}, \vec{b} \)に対し，\( \displaystyle \vec{a}, \vec{b} \)のなす角を\( \displaystyle \theta \ (0 \leqq \theta \leqq \pi) \)とするとき，
(1) \( \displaystyle \vec{a} \cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta \) (内積の定義．平面ベクトルの場合と同様)
(2) \( \displaystyle |\vec{a} \times \vec{b}|=|\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta \)

説明例(クリックして下さい)

((2)の説明)
\( \displaystyle \vec{a}=\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}, \vec{b}=\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} \)とする．
\( \displaystyle |\vec{a} \times \vec{b}|^2+(\vec{a} \cdot \vec{b})^2 \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ =(a_2 b_3-a_3 b_2)^2+(a_3 b_1-a_1 b_3)^2+(a_1 b_2-a_2 b_1)^2+(a_1 b_1+a_2 b_2+a_3 b_3)^2 \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ =(a_2^2 b_3^2-2a_2 a_3 b_2 b_3+a_3^2 b_2^2)+(a_3^2 b_1^2-2a_1 a_3 b_1 b_3+a_1^2 b_3^2)+(a_1^2 b_2^2-2a_1 a_2 b_1 b_2+a_2^2 b_1^2) \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +(a_1^2 b_1^2+a_2^2 b_2^2+a_3^2 b_3^2+2a_1 a_2 b_1 b_2+2a_2 a_3 b_2 b_3+2a_3 a_1 b_3 b_1) \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ =a_1^2 b_1^2+a_1^2 b_2^2+a_1^2 b_3^2+a_2^2 b_1^2+a_2^2 b_2^2+a_2^2 b_3^2+a_3^2 b_1^2+a_3^2 b_2^2+a_3^2 b_3^2 \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ =(a_1^2+a_2^2+a_3^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2)=|\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 \)
よって，\( \displaystyle |\vec{a} \times \vec{b}|^2=|\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2-|\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 \cos^2\theta=(|\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta)^2 \)の両辺の平方根をとって成立．

○点と平面の距離・球面の方程式

(1) 点\( \displaystyle \mathrm{A}(X,Y,Z) \)と平面\( \displaystyle ax+by+cz+d=0 \)の距離は
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \frac{|aX+bY+cZ+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \)
(2) 点\( \displaystyle \mathrm{A}(a,b,c) \)を中心とする半径\( \displaystyle r \)の球面の方程式は，
\( \displaystyle \ \ \ \ \ (x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2 \)

補足(クリックして下さい)

※(1)は，平面座標の「点と直線の距離」での証明と同様に，平面上の任意の点を\( \displaystyle \mathrm{P}(x,y,z) \)，平面の法線ベクトル(の1つ)を\( \displaystyle \vec{n}=\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} \)として，\( \displaystyle d=\frac{|\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AP}} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|} \)から導ける．
※(1)は，平面座標の場合と同様に，\( \displaystyle \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AH}}=k\vec{n} \)とおく方法でも導ける．\( \displaystyle \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OH}}=\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OA}}+\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AH}} \)が平面上にあることから\( \displaystyle k=-\frac{aX+bY+cZ+d}{a^2+b^2+c^2} \)が導かれ，\( \displaystyle |\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AH}}|=|k||\vec{n}|=\frac{|aX+bY+cZ+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \)．この方法では\( \displaystyle \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OH}}=\begin{pmatrix} X+ka \\ Y+kb \\ Z+kc \end{pmatrix} \)から，\( \displaystyle \mathrm{H} \)の座標も求めることができる．
※(2)は\( \displaystyle |\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AP}}|=r \)を変形したものと考えられる．

(例，沖縄県改題)
\( \displaystyle 4 \)点\( \displaystyle \mathrm{A}(2,0,0), \mathrm{B}(0,2,0), \mathrm{C}(0,0,4), \mathrm{D}(2,4,6) \)があるとき，
(1) \( \displaystyle \triangle \mathrm{ABC} \)の面積を，公式を用いて求める．
(2) 平面\( \displaystyle \mathrm{ABC} \)の方程式を外積を利用して求める．
(3) 四面体\( \displaystyle \mathrm{ABCD} \)の体積について，点と平面の距離公式を利用して求める．

説明例(クリックして下さい)

(1)
\( \displaystyle \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AB}}=\begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}, \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AC}}=\begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} \)，
\( \displaystyle |\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AB}}|^2=(-2)^2+2^2+0^2=8, |\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AC}}|^2=(-2)^2+0^2+4^2=20 \)，
\( \displaystyle \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AB}} \cdot \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AC}}=(-2) \cdot (-2)+2 \cdot 0+0 \cdot 4=4 \)
であるから，
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \triangle \mathrm{ABC}=\frac{1}{2}\sqrt{|\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AB}}|^2 |\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AC}}|^2-\left(\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AB}} \cdot \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AC}}\right)^2} \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{1}{2}\sqrt{8 \cdot 20-4^2}=\frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{2 \cdot 5-1}=6 \) (答)
(2)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AB}} \times \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{AC}}=\begin{pmatrix} 2 \cdot 4-0 \cdot 0 \\ 0 \cdot (-2)-(-2) \cdot 4 \\ (-2) \cdot 0-(-2) \cdot 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 8 \\ 8 \\ 4 \end{pmatrix}=4\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \)
により，平面\( \displaystyle \mathrm{ABC} \)は点\( \displaystyle \mathrm{A}(2,0,0) \)を通り，\( \displaystyle \vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \)を法線ベクトルにもつから，平面\( \displaystyle \mathrm{ABC} \)の方程式は
\( \displaystyle \ \ \ \ \ 2 \cdot (x-2)+2 \cdot (y-0)+1 \cdot (z-0)=0 \ \ \ \therefore 2x+2y+z-4=0 \)

(3) 点\( \displaystyle \mathrm{D}(2,4,6) \)と平面\( \displaystyle \mathrm{ABC} \)の距離は，
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \frac{|2 \cdot 2+2 \cdot 4+1 \cdot 6-4|}{\sqrt{2^2+2^2+1^2}}=\frac{14}{3} \)
\( \displaystyle \therefore (\text{四面体}\mathrm{ABCD}\text{の体積})=\frac{1}{3} \cdot 6 \cdot \frac{14}{3}=\frac{28}{3} \) (答)

※(2)について，本問題では座標の設定が簡単のため，外積を使わなくても方程式が簡単に分かる．
実際，\( \displaystyle \mathrm{A}(2,0,0), \mathrm{B}(0,2,0), \mathrm{C}(0,0,4) \)を通ることから，\( \displaystyle \frac{x}{2}+\frac{y}{2}+\frac{z}{4}=1 \ \ \ \therefore 2x+2y+z-4=0 \)
※(3)について，垂線の足を\( \displaystyle \mathrm{H} \)として，\( \displaystyle \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{DH}}=k\vec{n} \)とおく方法で\( \displaystyle \mathrm{D} \)と平面\( \displaystyle \mathrm{ABC} \)の距離を求めることもできる．実際，\( \displaystyle \overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OH}}=\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{OD}}+\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{DH}} \)が平面上にあることから\( \displaystyle k=-\frac{14}{9} \)が導かれ，\( \displaystyle |\overset{\xrightarrow{\quad}}{\mathrm{DH}}|=|k||\vec{n}|=\frac{14}{9} \cdot 3=\frac{14}{3} \)と導ける．

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