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○三平方の定理
\( \displaystyle \triangle \mathrm{ABC} \)について，\( \displaystyle \mathrm{AB}=c, \ \mathrm{BC}=a, \ \mathrm{CA}=b \)とする．
斜辺が\( \displaystyle \mathrm{AB}=c \)の直角三角形\( \displaystyle \mathrm{ABC} \)について，次のことが成り立つ．
(1) \( \displaystyle a^2+b^2=c^2 \) [三平方の定理]
(2) \( \displaystyle \angle \mathrm{B}=45^\circ \)のとき，\( \displaystyle a:b:c=1:1:\sqrt{2} \)
(3) \( \displaystyle \angle \mathrm{B}=30^\circ \)のとき，\( \displaystyle a:b:c=\sqrt{3}:1:2 \)
※以下特に断りがない場合，\( \displaystyle \triangle \mathrm{ABC} \)を扱うとき，\( \displaystyle \mathrm{AB}=c, \ \mathrm{BC}=a, \ \mathrm{CA}=b \)のように小文字を対応させることにする．
(関連)直角三角形
左図の直角三角形について，
\( \displaystyle a=c \cos \theta \)
\( \displaystyle b=c \sin \theta \)
\( \displaystyle b=a \tan \theta \)
○正弦定理
左図の三角形について，
\( \displaystyle \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \)
(例)\( \displaystyle \triangle \mathrm{ABC} \)について，\( \displaystyle a=\sqrt{6}, \ b=2, \ B=45^\circ \)のときの\( \displaystyle A \)を求める．
正弦定理により，\( \displaystyle \frac{2}{\sin 45^\circ} = \frac{\sqrt{6}}{\sin A} \)であるから，
\( \displaystyle \ \ \ \ \sin A = \frac{\sqrt{6}}{2} \cdot \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{6}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \therefore A = 60^\circ, \ 120^\circ \) (いずれも\( \displaystyle A+B \lt 180^\circ \)をみたす)(答)
※条件の与えられ方は「\( \displaystyle \mathrm{SSA} \)(二辺とその一辺の対角)」であり，角度を求める問題．
「2辺と2角」の情報を含む処理であるから正弦定理を使用した．
○余弦定理
左図の三角形について，
\( \displaystyle c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos \theta \)
\( \displaystyle \left( \Leftrightarrow \cos \theta = \frac{a^2 + b^2 – c^2}{2ab} \right) \)
※式の形から，「3辺と1角」の情報を含む方程式が作られる．
(例)\( \displaystyle \triangle \mathrm{ABC} \)について，\( \displaystyle a=8, \ b=7, \ B=60^\circ \)のときの\( \displaystyle c \)を求める．
余弦定理により，
\( \displaystyle 7^2=8^2+c^2-2 \cdot 8 \cdot c \cdot \cos 60^\circ \cdots \text{①} \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \text{①} \Leftrightarrow c^2-8c+15=0 \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Leftrightarrow (c-3)(c-5)=0 \)
\( \displaystyle \therefore c=3, \ 5 \) (答)
※条件の与えられ方は「\( \displaystyle \mathrm{SSA} \)(二辺とその一辺の対角)」であり，辺を求める問題．
「3辺と1角」の情報を含む処理であるから，余弦定理を使用した．
※求めた正の値\( \displaystyle c \ (\gt 0) \)ごとに，「2辺とその間の角」が指定された三角形が存在する．
なお，\( \displaystyle a, \ b, \ B \)が与えられた(\( \displaystyle \mathrm{SSA} \))のときの条件は以下の通り
◯中線定理
(例)\( \displaystyle a=7, \ b=8, \ c=5 \)の\( \displaystyle \triangle \mathrm{ABC} \)において，\( \displaystyle \mathrm{BC} \)の中点を\( \displaystyle \mathrm{M} \)とするとき，\( \displaystyle \mathrm{AM} \)を求める．
\( \displaystyle \angle \mathrm{AMB}=\theta \)とおくと，\( \displaystyle \triangle \mathrm{ABM} \)，\( \displaystyle \triangle \mathrm{ACM} \)に対する余弦定理により，
\( \displaystyle \ \ \ \ \ 5^2=\mathrm{AM}^2+\left( \frac{7}{2} \right)^2-2 \cdot \mathrm{AM} \cdot \left( \frac{7}{2} \right) \cos \theta \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ 8^2=\mathrm{AM}^2+\left( \frac{7}{2} \right)^2-2 \cdot \mathrm{AM} \cdot \left( \frac{7}{2} \right) \cos (180^\circ-\theta) \)
\( \displaystyle \cos (180^\circ-\theta)=-\cos \theta \)であるから，辺々を加えて\( \displaystyle \cos \theta \)を消去すると
\( \displaystyle 5^2+8^2=2 \left( \mathrm{AM}^2+\left( \frac{7}{2} \right)^2 \right) \)
整理して，
\( \displaystyle \mathrm{AM}^2=\frac{129}{4} \ \ \ \ \ \therefore \mathrm{AM}=\frac{\sqrt{129}}{2} \) (答)
※未知の\( \displaystyle \cos \theta \)の値を使って2式をたてて辺を求める手法であり，ときどき使われる．
※上の計算を一般化すると，次の公式が得られる．
中線定理
\( \displaystyle \mathrm{AB}^2+\mathrm{AC}^2=2(\mathrm{AM}^2+\mathrm{BM}^2) \)
※(補足)角の二等分線の公式
\( \displaystyle \mathrm{AD}=\sqrt{\mathrm{AB} \cdot \mathrm{AC}-\mathrm{BD} \cdot \mathrm{DC}} \)
も，角の二等分線の性質を使えば，中線定理の証明と同様に導くことができる．この場合，中点ではないので，\( \displaystyle \cos \theta \)の項を消す式変形が少し複雑になる．
○三角形の面積公式
左図の三角形の面積は，
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \frac{1}{2} ab \sin \theta \)
(例)\( \displaystyle a=6, \ b=5, \ c=7 \)の\( \displaystyle \triangle \mathrm{ABC} \)の面積を求める．
※上の計算を一般化すると，次の公式が得られる．
(ヘロンの公式)
3辺の長さが\( \displaystyle a, \ b, \ c \)の三角形の面積は，
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \ \ \ \ \ \left(s=\frac{a+b+c}{2}\right) \)
○内接円・外接円の半径
(1)\( \displaystyle \triangle \mathrm{ABC} \)の内接円の半径を\( \displaystyle r \)とすると，
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \triangle \mathrm{ABC} = \frac{1}{2} r(a+b+c) \)
(2)\( \displaystyle \triangle \mathrm{ABC} \)の外接円の半径を\( \displaystyle R \)とすると，
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R \) [正弦定理]
※(補足)七五三(\( \displaystyle 120 \)含む)，名古屋(\( \displaystyle 60 \)含む鋭角三角形)，なやみ(\( \displaystyle 60 \)ふくむ鈍角三角形)の知識は，
問題を作成する立場で便利．
○鋭角・直角・鈍角の判定
上図の三角形\( \displaystyle \mathrm{ABC} \)について，
\( \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} A \text{が鋭角} \Leftrightarrow a^2 \lt b^2+c^2 \\ A \text{が直角} \Leftrightarrow a^2=b^2+c^2 \\ A \text{が鈍角} \Leftrightarrow a^2 \gt b^2+c^2 \end{array} \right. \)
(例，山梨県)\( \displaystyle x-2, \ x+1, \ x+3 \)を3辺の長さとする三角形が鈍角三角形となるとき，実数\( \displaystyle x \)の値の範囲を求める．
◯円に内接する四角形
(例)円に内接する四角形\( \displaystyle \mathrm{ABCD} \)において，各辺の長さを
\( \displaystyle \mathrm{AB} = 4, \ \mathrm{BC} = 5, \ \mathrm{CD} = 5, \ \mathrm{DA} = 2 \)とする．
また，対角線\( \displaystyle \mathrm{AC} \)と\( \displaystyle \mathrm{BD} \)の交点を\( \displaystyle \mathrm{E} \)とするとき，次の値を求めよ．
(1) 対角線\( \displaystyle \mathrm{AC} \)の長さ
(2) 四角形\( \displaystyle \mathrm{ABCD} \)の面積\( \displaystyle S \)
(3) 線分\( \displaystyle \mathrm{DE} \)の長さ
(1)\( \displaystyle \angle \mathrm{ABC}=\theta \)とおく．\( \displaystyle \triangle \mathrm{ABC} \)と\( \displaystyle \triangle \mathrm{ADC} \)に対する余弦定理により，
\( \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} \mathrm{AC}^2=4^2+5^2-2 \cdot 4 \cdot 5 \cdot \cos \theta \\ \mathrm{AC}^2=2^2+5^2-2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot \cos (180^\circ-\theta) \end{array} \right. \)
すなわち
\( \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} \mathrm{AC}^2=41-40 \cos \theta \\ \mathrm{AC}^2=29+20 \cos \theta \end{array} \right. \)
\( \displaystyle \cos \theta \)を消去して，\( \displaystyle 3\mathrm{AC}^2=41+29 \cdot 2=99 \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \therefore \mathrm{AC}=\sqrt{33} \) (答)
(2)上の式で\( \displaystyle \cos \theta \)について解いて，\( \displaystyle \cos \theta=\frac{1}{5} \).
よって，\( \displaystyle \sin \theta=\frac{2\sqrt{6}}{5} \)であるから，
\( \displaystyle \ \ \ \ \ S=\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 5 \cdot \frac{2\sqrt{6}}{5}+\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 5 \cdot \frac{2\sqrt{6}}{5}=6\sqrt{6} \) (答)
(3)\( \displaystyle \mathrm{DE}=x \)とおく．\( \displaystyle \mathrm{AC} \)が計算出来ているので，\( \displaystyle \mathrm{AE} \)や\( \displaystyle \mathrm{EC} \)を\( \displaystyle x \)で表すようにする．
\( \displaystyle \triangle \mathrm{AED} \sim \triangle \mathrm{BEC} \)で，その相似比が\( \displaystyle 2:5 \)であるから，
\( \displaystyle \mathrm{EC}=\frac{5}{2}x \)．同様に，\( \displaystyle \triangle \mathrm{DEC} \sim \triangle \mathrm{AEB} \)で相似比\( \displaystyle 5:4 \)であるから，\( \displaystyle \mathrm{AE}=\frac{4}{5}x \).
\( \displaystyle \mathrm{AE}+\mathrm{EC}=\mathrm{AC} \)により，
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \frac{4}{5}x+\frac{5}{2}x=\sqrt{33} \ \ \ \ \ \therefore x=\frac{10}{33}\sqrt{33} \)
※例の(1)を一般化して，２つの対角線について計算すると次の定理が得られる．
(トレミーの定理)
円に内接する四角形について，
\( \displaystyle \mathrm{AD} \cdot \mathrm{BC} + \mathrm{AB} \cdot \mathrm{CD} = \mathrm{AC} \cdot \mathrm{BD} \)
図のように記号を設定する．
余弦定理により，
\( \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} \mathrm{AC}^2=a^2+b^2-2ab \cos \theta \\ \mathrm{AC}^2=c^2+d^2-2cd \cos (180^\circ-\theta) \end{array} \right. \)
すなわち
\( \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} \mathrm{AC}^2=a^2+b^2-2ab \cos \theta \\ \mathrm{AC}^2=c^2+d^2+2cd \cos \theta \end{array} \right. \cdots \text{①} \)
①から\( \displaystyle \cos \theta \)を消去して，
\( \displaystyle \ \ \ \ \ (ab+cd)\mathrm{AC}^2=ab(c^2+d^2)+cd(a^2+b^2) \)
\( \displaystyle \mathrm{AC}=\sqrt{\frac{abc^2+abd^2+a^2cd+b^2cd}{ab+cd}}=\sqrt{\frac{(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}} \)
同様に，\( \displaystyle \mathrm{BD}=\sqrt{\frac{(ac+bd)(ab+cd)}{ad+bc}} \)であるから，
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \mathrm{AC} \cdot \mathrm{BD}=ac+bd=\mathrm{AD} \cdot \mathrm{BC}+\mathrm{AB} \cdot \mathrm{CD} \) ■
※(1)の，トレミーの定理を利用した別解
※((1)の考察)以下の要領で，トレミーの定理を活用して\( \displaystyle \mathrm{AC} \)を求める方法がある (参考：AKITOさんhttps://x.com/Akito_ut/status/1710573972461674799)．
(この状況では\( \displaystyle x=z \)となるが，一般的な説明のため，\( \displaystyle z \)を用いている)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ xy = 4 \cdot 5 + 5 \cdot 2 = 30 \cdots \text{①} \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ xz = 4 \cdot 2 + 5 \cdot 5 = 33 \cdots \text{②} \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ yz = 4 \cdot 5 + 2 \cdot 5 = 30 \cdots \text{③} \)
\( \displaystyle x \)を求めるには，\( \displaystyle (\text{①} \times \text{②}) \div \text{③} \)とすればよく，
\( \displaystyle \ \ \ \ \ x^2 = \frac{30 \cdot 33}{30} = 33 \ \ \ \ \ \therefore x = \sqrt{33} \)
\( \displaystyle y, \ z \)も同様に求められる．\( \displaystyle (\text{①} \times \text{③}) \div \text{②} \)，\( \displaystyle (\text{②} \times \text{③}) \div \text{①} \)とすることで，
\( \displaystyle \ \ \ \ \ y^2 = \frac{30 \cdot 30}{33} = \frac{30^2}{33} \ \ \ \ \ \therefore y = \frac{30}{\sqrt{33}} \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ z^2 = \frac{33 \cdot 30}{30} = 33 \ \ \ \ \ \therefore z = \sqrt{33} \)
※例(2)を一般化すると次の定理が得られる．
(ブラーマグプタの公式)
円に内接する四角形の面積 \( S \) は，4辺の長さを \( a, b, c, d \) とすると，
\( \displaystyle S = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)} \ \ \ \ \left( s = \frac{a+b+c+d}{2} \right) \)
※(3)対角線がつくる線分比を，周辺の辺の長さから求めることについて
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