数列の諸知識 | きょうさい対策ブログ

○数列の定義

・数を1列に並べたものを数列といい，数列の各数を項という．
・数列\( \displaystyle a_1, a_2, a_3, \cdots \) の\( \displaystyle n \)番目の項\( \displaystyle a_n \)を第\( \displaystyle n \)項といい，この数列を\( \displaystyle \{a_n\} \)で表す．
また，\( \displaystyle a_n \)が\( \displaystyle n \)の式で表されるとき，この式を一般項という．
・項数が有限の数列を有限数列といい，項が限りなく続く数列を無限数列という.
・第\( \displaystyle 1 \)項を初項，有限数列の最後の項を末項という．

◯等差数列・等比数列

・隣り合う項の差が一定である数列を等差数列といい，その差を公差という．
・初項\( \displaystyle a \)，公差\( \displaystyle d \)の等差数列\( \displaystyle \{a_n\} \)の一般項は\( \displaystyle a_n = a + (n-1)d \)
・隣り合う項の比が一定である数列を等比数列といい，その比を公比という．
・初項\( \displaystyle a \)，公比\( \displaystyle r \)の等比数列\( \displaystyle \{a_n\} \)の一般項は\( \displaystyle a_n = a \cdot r^{n-1} \)

○等差中項・等比中項の性質

(1) \( \displaystyle a,b,c \)がこの順で等差数列 \( \displaystyle \Longleftrightarrow 2b=a+c \)
(2) \( \displaystyle 0 \)でない \( \displaystyle 3 \)つの数 \( \displaystyle a,b,c \) に対し，
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \) \( \displaystyle a,b,c \)がこの順で等比数列 \( \displaystyle \Longleftrightarrow b^2=ac \)

○階差数列

・数列\( \displaystyle \{a_n\} \)に対し，数列\( \displaystyle \{a_{n+1}-a_n\} \)を\( \displaystyle \{a_n\} \)の階差数列という．
・階差数列の符号を調べることで，数列\( \displaystyle \{a_n\} \)の増減を把握することができる．

(例) \( \displaystyle a_n=2^n-40n \)で定義される数列\( \displaystyle \{a_n\} \)の最小値を求める．ただし，\( \displaystyle n \)は自然数とする．

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\( \displaystyle a_{n+1}-a_n=2^{n+1}-40(n+1)-(2^n-40n) \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =(2-1)\cdot 2^n-40 \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =2^n-40 \)
\( \displaystyle a_{n+1}-a_n=2^n-40<0 \)をみたす最大の自然数\( \displaystyle n \)は\( \displaystyle 5 \)．すなわち，
\( \displaystyle n \leqq 5 \)のとき，\( \displaystyle a_{n+1} \( \displaystyle n>6 \)のとき，\( \displaystyle a_{n+1}>a_n \)
よって，\( \displaystyle a_1>a_2>\cdots>a_5>a_6 数列\( \displaystyle \{a_n\} \)が最小となるのは\( \displaystyle n=6 \)のときで最小値は\( \displaystyle a_6=2^6-240=-176 \) (答)

○Σの定義とその性質

(1)数列\( \displaystyle \{a_n\} \)の第\( \displaystyle p \)項から第\( \displaystyle q \)項までの和を\( \displaystyle \sum_{k=p}^{q} a_k \) で表す
(2)\( \displaystyle \sum_{k=p}^{q} \{f(k+1)-f(k)\} = f(q+1)-f(p) \)
(3)\( \displaystyle \sum_{k=p}^{q} (a_k+b_k) = \sum_{k=p}^{q} a_k + \sum_{k=p}^{q} b_k \)
(4)\( \displaystyle \sum_{k=p}^{q} ca_k = c \sum_{k=p}^{q} a_k \) (\( \displaystyle c \):定数)

○よく使う\( \displaystyle f(k+1)-f(k) \)への変形
※暗記しておくものではなく，“おぼろげな記憶”を頼りにして，その場で計算・調整して導くのが普通．

○指数式のΣ公式

\( \displaystyle r \neq 1 \) を満たす実数 \( \displaystyle r \) と自然数\( \displaystyle q \) に対し，
\( \displaystyle \sum_{k=1}^{q} r^k = \frac{r(1-r^q)}{1-r} \textcolor{red}{\left( = \frac{\text{初項} \times \left( 1 – \text{公比}^{\text{項数}} \right)}{1 – \text{公比}} \right)} \)

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分母分子に\( \displaystyle 1-r \)をかけて，
\( \displaystyle \sum_{k=1}^{q} r^k = \sum_{k=1}^{q} \frac{r^k-r^{k+1}}{1-r} = \frac{r-r^{q+1}}{1-r} \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = \frac{r(1-r^q)}{1-r} \)

(例) \( \displaystyle \sum_{k=1}^{n} 3^k \) について，上の公式を導く方法で計算する．

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(例) \( \displaystyle \sum_{k=1}^{n} k \cdot 2^k \) について，上の公式を導く方法で計算する．

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○多項式のΣ公式

(1)\( \displaystyle \sum_{k=1}^{n} 1 = n \) (2)\( \displaystyle \sum_{k=1}^{n} k = \frac{1}{2} n(n+1) \)
(3)\( \displaystyle \sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{1}{6} n(n+1)(2n+1) \)
(4)\( \displaystyle \sum_{k=1}^{n} k^3 = \frac{1}{4} n^2 (n+1)^2 \left( = \left\{ \frac{1}{2} n(n+1) \right\}^2 \right) \)

(2)-(4)の図形的な解釈

○1次式のΣ公式

\( \displaystyle \sum_{k=1}^{q} (ak+b) = \frac{\{(a+b)+(aq+b)\}q}{2} \color{red}{\left( = \frac{(\text{初項} + \text{末項})}{2} \times (\text{項数}) \right)} \)

○ Cを含む計算など

※\( \displaystyle {}_n\mathrm{C}_r \) は，\( \displaystyle \begin{pmatrix} n \\ r \end{pmatrix} \)とも表記する．この表現であれば，二項係数の性質は
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \begin{pmatrix} n \\ r \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n-1 \\ r-1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} n-1 \\ r \end{pmatrix} , \ \begin{pmatrix} n \\ r \end{pmatrix} = \frac{n}{r} \begin{pmatrix} n-1 \\ r-1 \end{pmatrix} \)
と表され，(特に\( \displaystyle 2 \)つ目は)形式的に覚えやすい形になる．

(例)以下の\( \displaystyle \sum \)計算を行う．
(1) \( \displaystyle \sum_{k=0}^{n} (-1)^k \cdot {}_n\mathrm{C}_k \ \ \ \ \) (2) \( \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \frac{{}_n\mathrm{C}_k}{3^k 5^{n-k}} \ \ \ \ \) (3) \( \displaystyle \sum_{k=0}^{n} k {}_n\mathrm{C}_k \)

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(1) \( \displaystyle \sum_{k=0}^{n} (-1)^k \cdot {}_n\mathrm{C}_k = \sum_{k=0}^{n} {}_n\mathrm{C}_k \cdot (-1)^k \cdot 1^{n-k} = (-1+1)^n = 0 \) (答)
(2) \( \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \frac{{}_n\mathrm{C}_k}{3^k 5^{n-k}} = \sum_{k=0}^{n} {}_n\mathrm{C}_k \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^k \left(\frac{1}{5}\right)^{n-k} – {}_n\mathrm{C}_0 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^0 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^n \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = \left(\frac{1}{3}+\frac{1}{5}\right)^n – \left(\frac{1}{5}\right)^n = \left(\frac{8}{15}\right)^n – \left(\frac{1}{5}\right)^n \) (答)
(3) \( \displaystyle \sum_{k=0}^{n} k {}_n\mathrm{C}_k = \sum_{k=1}^{n} n {}_{n-1}\mathrm{C}_{k-1} + 0 = n \sum_{k=0}^{n-1} {}_{n-1}\mathrm{C}_k = n \cdot 2^{n-1} \) (答)

◯数え上げの処理(格子点・群数列)

※格子点とは，\( \displaystyle x \)座標，\( \displaystyle y \)座標がともに整数である点のこと．

(例) \( \displaystyle xy \)平面において，不等式\( \displaystyle x \geqq 0 \)，\( \displaystyle y \geqq 0 \)，\( \displaystyle x+4y \leqq 4n \)(\( \displaystyle n \)は自然数)の表す領域に含まれる格子点の個数について，\( \displaystyle x=k \)で和をとるのと，\( \displaystyle y=k \)で和をとるのとどちらがよいか検討して，計算する．

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\( \displaystyle x=k \)とすると，\( \displaystyle 0 \leqq y \leqq \frac{4n-k}{4} \)で，これを満たす\( \displaystyle y \)の個数は\( \displaystyle \left[\frac{4n-x}{4}\right]+1 \)個(数えづらい)．
一方，\( \displaystyle y=k \)とすると，\( \displaystyle 0 \leqq x \leqq 4n-4k \)で，これを満たす\( \displaystyle x \)の個数は\( \displaystyle 4n-4k+1 \)個．よって，\( \displaystyle y=k \)で和をとって，
\( \displaystyle \sum_{k=0}^{n} (4n-4k+1) = 4 \sum_{k=0}^{n} (n-k) + \sum_{k=0}^{n} 1 \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = 4 \sum_{k=0}^{n} k + \sum_{k=0}^{n} 1 \)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = 4 \cdot \frac{1}{2} n(n+1) + (n+1) = (n+1)(2n+1) \)
よって，求める格子点の個数は\( \displaystyle (n+1)(2n+1) \)個 (答)

(例，三重県)数列
\( \displaystyle \frac{1}{1}, \frac{1}{2}, \frac{2}{2}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{3}{3}, \frac{1}{4}, \frac{2}{4}, \frac{3}{4}, \frac{4}{4}, \cdots \)
について，初項から第\( \displaystyle 100 \)項までの和を求める．

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のように，第\( \displaystyle n \)群に\( \displaystyle n \)個の項が含まれるように群を定める．
第\( \displaystyle n \)群までに，項は合計で\( \displaystyle 1+2+\cdots+n=\frac{1}{2}n(n+1) \)個ある．
\( \displaystyle 100 \geqq \frac{1}{2}n(n+1) \)を満たす最大の整数は\( \displaystyle 13 \)で，\( \displaystyle 100=\frac{1}{2} \cdot 13 \cdot 14 + 9 \)により，
第\( \displaystyle 100 \)項は第\( \displaystyle 14 \)群の\( \displaystyle 9 \)番目の項\( \displaystyle \left(\frac{9}{14}\right) \)である．

第\( \displaystyle n \)群に含まれる項の和は，
\( \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n} = \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{2}n(n+1) = \frac{n+1}{2} \)
であるから，求める和は，
\( \displaystyle \sum_{k=1}^{13} \frac{k+1}{2} + \sum_{k=1}^{9} \frac{k}{14} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}(2+14) \cdot 13 + \frac{1}{14} \cdot \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 10 \)

\( \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = 52 + \frac{45}{14} = \frac{773}{14} \) (答)

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